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2.3.1幂函数的图象性质与应用_图文

◆数学?必修1?(配人教A版)◆ 基本初等函数(Ⅰ) 2.3 2.3.1 幂函数 幂函数的图象、性质与应用 金品质?高追求 我们让你更放心 ! ◆数学?必修1?(配人教A版)◆ 金品质?高追求 我们让你更放心! 返回 ◆数学?必修1?(配人教A版)◆ 1.通过具体实例了解幂函数的图象和性质. 2.类比研究指数函数、对数函数的过程与方法,研 究幂函数的图象和性质. 3.体会幂函数图象的变化规律及蕴含其中的对称性, 并能进行简单的应用. 金品质?高追求 我们让你更放心! 返回 ◆数学?必修1?(配人教A版)◆ 金品质?高追求 我们让你更放心! 返回 ◆数学?必修1?(配人教A版)◆ 基础梳理 1.形如y=xα(α∈R)的函 幂函数 ,其中α为常数, 数叫做________ 只研究α为有理数的情形. 例如:函数y=x2,y=x4的 幂函数,而函数y=2x2不是幂函 数. 2.幂函数y=x,y= , y=x2,y=x-1,y=x3的图象, 如右图所示. 金品质?高追求 我们让你更放心! 返回 ◆数学?必修1?(配人教A版)◆ 3.幂函数的性质 (1)过定点:y=xα恒过定点________.当α>0时,所 有幂函数都过定点________. (2)单调性:当α>0时,y=xα在(0,+∞)上单调 ________;当α<0时,y=xα在(0,+∞)的单调________. (3)奇偶性:当α为整数且为奇数时,y=xα为 ________;当α为整数且为偶数时,y=xα为________;当 x为分数时可将y=xα化为根式再判断. 3.(1)(1,1) (0,0)和(1,1) (3)递增 数 偶函数 金品质?高追求 我们让你更放心! 递减 (3)奇函 返回 ◆数学?必修1?(配人教A版)◆ 思考应用 1.我们知道,形如y=xα(其中幂指数α是常数)的函数叫 幂函数,而形如y=ax(其中a是大于0且不为1的常数)的函数叫 指数函数,那么指数函数与幂函数的区别在哪里? 解析:这两个函数都具有幂指数mn的形式,但幂函数y =xα中,自变量在底数的位置,而指数函数y=ax中,自变量在 幂指数的位置,这两个函数的自变量所在的位置不同. 金品质?高追求 我们让你更放心! 返回 ◆数学?必修1?(配人教A版)◆ 2.从幂函数的形式:y=xα来看,它的表达式中只含 有一个常数字母,确定一个待定系数通常只要一个条 件.若已知幂函数y=xα过某个定点,你能确定这个幂函数 吗? 解析:一般来说, 由幂函数y=xα所经过的定点,可 以确定这个幂函数.但若只告诉幂函数过原点,那我们只 能判断幂指数α>0;若只告诉幂函数过点(1,1),那告诉的 这个点没有任何作用,因为所有的幂函数都过点(1,1);若 只告诉幂函数过点(-1,1), 那我们只能判断这个幂指数的 图象关于y轴对称,这个幂指数是偶函数.除这三个点之 外,由幂函数所经过的定点,可以确定这个幂函数的表达 式. 金品质?高追求 我们让你更放心! 返回 ◆数学?必修1?(配人教A版)◆ 3.如何根据幂函数的图象确定幂指数的大小? 解析:作直线x=t(t>1),它与各幂函数图象相交,交点 在第一象限,按交点从下到上的顺序,幂指数按从小到大的 顺序排列. 金品质?高追求 我们让你更放心! 返回 ◆数学?必修1?(配人教A版)◆ 自测自评 1.设 则a,b,c的大小关系是( A.a>c>b ) B.a>b>c C.c>a>b 解析:y= D.b>c>a 2?x 在x>0时是增函数,所以a>c,y= ? ? ? ?5? 在x>0时是减函数,所以c>b. 答案:A 金品质?高追求 我们让你更放心! 返回 ◆数学?必修1?(配人教A版)◆ 2.下列四类函数中,具有性质“对任意的x>0,y>0, 函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)”的是( ) A.幂函数 B.对数函数 C.指数函数 D.余弦函数 解析 :本题考查幂的运算性质 f(x)f(y) = axay = ax + y = f(x+y). 答案:C 3.设函数f(x)= 1-x (1)指出函数的定义域; (2)判断函数在定义域上的单调性. 3.(1)(-∞,1],(2)在区间(-∞,1]上是减函数. 返回 金品质?高追求 我们让你更放心! ◆数学?必修1?(配人教A版)◆ 金品质?高追求 我们让你更放心! 返回 ◆数学?必修1?(配人教A版)◆ 幂函数概念的理解应用 函数f(x)= 是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,求f(x)的解 析式. 解析:根据幂函数定义得 m2-m-1=1,解得m=2或m=-1, 当m=2时,f(x)=x3在(0,+∞)上是增函数, 当m=-1时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数, 不合要求,故f(x)=x3. 金品质?高追求 我们让你更放心! 返回 ◆数学?必修1?(配人教A版)◆ 跟踪训练 1.已知函数f(x)=(2m2+m)xm2+m-1为幂函数且是 奇函数,则实数m的值是________. 解析:∵f(x)为幂函数, 1 2 ∴2m +m=1,得 m= 或 m=-1. 2 1 1 1 当 m= 时,f(x)=x- = , 2 4 4 x 定义域为 x>0,显然不具有奇偶性; 1 -1 当 m=-1 时,f(x)=x = ,是奇函数. x 答案:-1 金品质?高追求 我们让你更放心! 返回 ◆数学?必修1?(配人教A版)◆ 利用幂函数的性质比较大小 比较下列各组中两个数的大小: 金品质?高追求 我们让你更放心! 返回 ◆数学?必修1?(配人教A版)◆ 点评:利用幂函数单调性比较大小. 金品质?高追求 我们让你更放心! 返回 ◆数学?必修1?(配人教A版)◆ 跟踪训练 金品质?高追求 我们让你更放心! 返