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高中数学必修5人教A教案1.1.1正弦定理


1.1.1 正弦定理
(一)教学目标 1. 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理的内容及其证明方 法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关 系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用 的实践操作。 3.情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情 推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间 的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 (二)教学重、难点 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 (三)学法与教学用具 ,接着就一般斜 ? ? sin A sin B sinC 三角形进行探索,发现也有这一关系;分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导, 让学生发现向量知识的简捷,新颖。 教学用具:直尺、投影仪、计算器 学法:引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系: (四)教学设想 [创设情景] 如图 1.1-1,固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动。 思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? C

a

b

c

A

B

[探索研究] (图 1.1-1) 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等 式关系。如图 1.1-2,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数

a b c ? sin A , ? sin B ,又 sin C ? 1 ? , c c c a b c 则 ? ? ?c sin A sin B sinC a b c 从而在直角三角形 ABC 中, ? ? sin A sin B sin C
的定义,有

A b C a (图 1.1-2) c B

思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:

3

如图 1.1-3,当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的 定义,有 CD= a sin B ? b sin A ,则 同理可得 从而

a
sin A

?

b
sin B

, b A

C a c B

c
sinC ?

?

b
sin B ?



a
sin A

b
sin B

c
sin C

(图 1.1-3) 思考: 是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题, 从而可以考虑用向量来研究 这个问题。 ? ??? ? ? (证法二) :过点 A 作 j ? AC , C 由向量的加法可得 则

AB ? AC ? CB
? ??? ?

???

??? ??? ?
? ??? ??? ? ?

j ? AB ? j ?(AC ? CB )
? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ∴ j ? AB ? j ? AC ? j ? CB

A

B

? ? j

? ??? ? ? ??? ? j AB cos? 900 ? A ? ? 0 ? j CB cos? 900 ? C ?
∴ csin A? asinC ,即

a c ? sin A sin C

? ??? ? 同理,过点 C 作 j ? BC ,可得
从而

b c ? sin B sin C

a

sin A sin B sin C 类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。 (由学生课后自己推导) 从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

?

b

?

c

a

sin A sin B sin C [理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即 存在正数 k 使 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC ;
(2)

?

b

?

c

a

sin A sin B sin C 从而知正弦定理的基本作用为:

?

b

?

c

等价于

a
sin A

?

b
sin B



c
sinC

?

b
sin B



a
sin A

?

c
sin C

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ?

b sin A ; sin B
a b

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 sin A ? sin B 。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。

4

[例题分析] 例 1.在 ?ABC 中,已知 A ? 32.00 , B ?81.80 , a ? 42.9 cm,解三角形。 解:根据三角形内角和定理,

C ?1800 ? ( A ? B) ?1800 ? (32.00 ? 81.80 )

? 66.20 ; 根据正弦定理,

asin B 42.9sin81.80 ? ?80.1(cm) ; sin A sin32.00 根据正弦定理, b? asin C 42.9sin66.20 ? ? 74.1(cm). sin A sin32.00 评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例 2.在 ?ABC 中,已知 a ? 20 cm, b ? 28 cm, A? 400 ,解三角形(角度精确到 10 ,边 长精确到 1cm) 。 解:根据正弦定理, c?

bsin A 28sin400 ? ? 0.8999. a 20 因为 00 < B < 1800 ,所以 B ? 640 ,或 B ?1160. ⑴ 当 B ? 640 时, sin B ?
C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ? 640 ) ? 760 ,

c?

asin C 20sin760 ? ? 30(cm). sin A sin400

⑵ 当 B ?1160 时,

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ?1160 ) ? 240 ,

asin C 20sin240 ? ?13(cm). sin A sin400 评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 [随堂练习]第 5 页练习第 1(1) 、2(1)题。 c?
例 3.已知 ? ABC 中, ? A ? 600 , a ? 3 ,求 分析:可通过设一参数 k(k>0)使 证明出

a ? b ?c sin A ? sin B ? sin C
?

a
sin A

?

b
sin B

c
sin C

?k ,

a
sin A

?

b
sin B ?

?

c
sinC ?

?

a ? b ?c sin A ? sin B ? sin C

? k(k >o) sin A sin B sinC 则有 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC
解:设 从而

a

b

c

a ? b ?c k sin A ? k sin B ? k sinC = =k sin A ? sin B ? sin C sin A ? sin B ? sinC
5



a
sin A

?

a ? b ?c 3 =2 ? 2 ? k ,所以 0 sin A ? sin B ? sin C sin 60

评述:在 ? ABC 中,等式

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

?

a ? b ?c ? k ? k ? 0? sin A ? sin B ? sinC

恒成立。 [补充练习]已知 ? ABC 中, sin A :sin B :sinC ? 1:2:3 ,求 a :b :c (答案:1:2:3) [课堂小结](由学生归纳总结) (1)定理的表示形式:

a

sin A sin B sinC 或 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC (k ? 0)
(2)正弦定理的应用范围: ①已知两角和任一边,求其它两边及一角; ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。 (五)评价设计 ①课后思考题: (见例 3)在 ? ABC 中,

?

b

?

c

?

a ? b ?c ? k ? k ? 0? ; sin A ? sin B ? sinC

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

? k(k >o),这个 k 与 ? ABC 有

什么关系? ②课时作业:第 10 页[习题 1.1]A 组第 1(1) 、2(1)题。

6


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