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河南省新乡市2016年高三第二次调研考试(二模)理科数学试卷含答案


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新乡 2016 届高三第二次调研考试 理科数学答案 1-6 ADCBDD 13. 7-12 ADBCCD

? 3

14.

4 7

15.

9 10

16. (1,

5 ?1 ] 2

17.解: (Ⅰ)由题意, ?

? a1 ? 2d ? b1 ? q 4 ? 56 , 2 ?a1 ? 4d ? b1 ? q ? 26

………………2 分

? 2 ? 2d ? 3 ? q 4 ? 56 代入得 ? ,消 d 得 2q 4 ? q 2 ? 28 ? 0 , 2 2 ? 4 d ? 3 ? q ? 26 ?

………………3 分

(2q 2 ? 7)(q 2 ? 4) ? 0 ,? ?bn ? 是各项都为正数的等比数列,? q ? 2
所以 d ? 3 ,? an ? 3n ? 1, bn ? 3 ? 2n ?1 (Ⅱ)记 cn ? ………………6 分

3 ? 2n ?1 2n ? 1

cn ?1 ? cn ? 3 ? 2n ?1 ?

2n ? 1 ?0 (2n ? 1)(2n ? 3)

………………8 分

所以 cn 最小值为 c1 ? 1 , 所以 ? x 2 ? 3 x ? 2 ,解得 x ? 2, 或 x ? 1 所以 x ? (??,1] ? [2, ??) . 18.解: (1) 利用时间充分 走读生 住宿生 总计 ………………………2 分 100×(50×15-25×10) K= ≈5.556 ……………4 分 75×25×40×60
2 2

………………9 分

………………12 分

利用时间不充分 25 15 40

总计 75 25 100

50 10 60

由于 K >3.841,所以有 95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关……6 分 1 1 1 4 (2) 设第 i 组的频率为 P( P1= ×30= , P2= ×30= , i i=1,2,…,8),则由图可知: 3000 100 750 100 1 10 P3= ×30= ,可得:第①组 1 人,第②组 4 人,第③组 10 人。………8 分 300 100
i 3?i C5 C10 则 X 的所有可能取值为 0,1,2,3, P( X ? i ) ? (i ? 0,1, 2,3), 3 C15

2

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0 3 C5 C10 24 ? P( X ? 0) ? ? 3 C15 91

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P( X ? 1) ?

1 2 1 3 0 C5 C10 45 C52C10 C5 C10 2 20 ? , P ( X ? 2) ? ? , P ( X ? 3) ? ? …..10 分 3 3 3 C15 91 C15 91 C15 91

? X 的分布列为:
P X 0 1 2 3

24 91

45 91

20 91

2 91

24 45 20 2 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 91 91 91 91 5 ? 1) ……………..12 分 (或由 X 服从超几何分布,? E ( X ) ? 3 ? 15 E( X ) ? 0 ?
19. 解:不妨设正三角形 ABC 的边长为 3 . (1)在图 5 中,取 BE 的中点 D,连结 DF. 而∠A=60 ,∴△ADF 是正三角形,
0

∵AE : EB=CF : FA=1 : 2,∴AF=AD=2,

又 AE=DE=1,∴EF⊥AD

在图 6 中,A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB 为二面角 A1-EF-B 的平面角. 由题设条件知此二面角为直二面角,∴A1E⊥BE.……………………….3 分 又 BE∩EF=E,∴A1E⊥平面 BEF,即 A1E⊥平面 BEP ……………………..4 分 (2)建立分别以 EB、 EF、 EA1 为 x 轴、 y 轴、 z 轴的空间直角坐标系, 则 E(0,0,0),A1(0,0,1),

3 ,0), P (1, 3 ,0),则 ???? ??? ? ???? A1E ? (0,0, ?1) , A 1B ? (2,0, ?1), BP ? (?1, 3,0) ?? ??? ? PE ? (?1, ? 3,0) .设平面 A1BP 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1, z1 ) ,
B(2,0,0),F(0,

? ? 2 x1 ? z1 ? 0, ? ? ? x1 ? 3 y1 ? 0. ?? 令 x1 ? 3 ,得 y1 ? 1, z1 ? 2 3 , n1 ? ( 3,1, 2 3) .……..8 分 ?? ? 设平面 A1PE 向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) . ?? ? ?? ? ???? ?? ? ??? ? ?? ? 由 n2 ? 平面 A1PE 知, n2 ? A ,即 可得 E , n ? PE n 1 2 2 ? ( 3, ?1,0) . ?? ?? ? ?? ?? n1 ? n2 3 ? 3 ? 1? (?1) ? 2 3 ? 0 1 ? ? cos ? n1 , n1 ?? ?? ?? ? , 2 2 2 2 2 2 4 | n1 | ? | n2 | ( 3) ? 1 ? (2 3) ? 0 ? 1 ? ( 3)
由 n1 ? 平面 ABP 知, n1 ? A 1B, n 1 ? BP ,即 ?

??

??

???? ??

??? ?

所以二面角 B-A1P-E 余弦值是

1 ………………………………12 分 4

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20.解: (1) F (0,

p ) 2

当 l 的倾斜角为 45? 时, l 的方程为 y ? x ?

p 2

设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )

p ? ?y ? x ? 2 得 x 2 ? 2 px ? p 2 ? 0 ? ? x 2 ? 2 py ?
得 AB 中点为 D ( p,

x1 ? x2 ? 2 p, y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? p ? 3 p
AB 中垂线为 y ?

3 p ) …………3 分 2

3 5 x ? 0 代入得 y ? p ? 5 ? p ? 2 ……6 分 p ? ?( x ? p ) 2 2 P 2 (2)设 l 的方程为 y ? kx ? ,代入 x ? 2 py 得 x 2 ? 2 Pkx ? P 2 ? 0 2 P AB ? y1 ? y2 ? P ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 P ? 2 Pk 2 ? 2 P AB 中点为 D( Pk , Pk 2 ? ) 2
令 ?MDN ? 2?

S ? 2? ?

1 AB ? ? ? AB 2

?

S ? ? …………8 分 AB

D 到 x 轴的距离 DE ? Pk 2 ?

P 2

P DE 2 ? 1 ? 1 …………10 分 cos ? ? ? 2 1 2k 2 ? 2 AB Pk ? P 2 1 当 k 2 ? 0 时 cos ? 取最小值 2 Pk 2 ?

? 的最大值为

? 3



S ? 的最大值为 .……………………12 分 AB 3

21. 解: (1) f ?( x) ?

1 1 ? a ?ax 2 ? x ? a ? 1 ?(ax ? a ? 1)( x ? 1) (x>0)…1 分 ?a? 2 ? ? x x x2 x2

令 g ( x) ? ? ?ax ? (1 ? a)? ( x ?1) 当 a ? 0 时, g ( x) ? x ? 1 ,x∈(1,+∞)时,g(x)>0? f ?( x ) >0? f(x)单调递增,

a <0 时,由 x>0,得 ax ? (1 ? a) <0,所以 x∈(1,+∞)时,g(x)>0? f ?( x ) >0? f
(x)单调递增, 当 a >0 时, g ( x) ? ?a ?( x ? 当 0< a <

? ?

1? a 1 1? a ? ? 1 ,则 a ? )( x ? 1) ? ,若 a 2 a ?

1 1? a , x∈(1, ), f ?( x ) >0, f ( x ) 单调递增, 2 a
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1 ,f(x)在(0,+∞)上无递增区间, 2 1 1? a 当 <a≤1 时,x∈( ,1),f′(x)>0, f ( x ) 单调递增, 2 a
当 a= 当 a>1 时,x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 综上所述, a≤0 时,单调递增区间为(1,+∞) ;

1 1? a 0< a < 时,单调递增区间为(1, ); 2 a 1 a= 时, 无单调递增区间; 2 1 1? a <a≤1 时, 单调递增区间为( ,1); 2 a
a>1 时, 单调递增区间为(0,1).…………5 分 (2)由题知函数

1 1? a ? f ?( x) ? ? a ? 2 ? ? x x
① 当 a ?? ,

a( x ? 1)( x ? x2

1? a ) a .

1? a 1? 2 a 1? a ?1 1? , ??) 时 , ) x?( ? 时 , a ? 1 ? a > 0 , 于 是 x ? ( 0 , 1和 a ?3 2? 1? a 1? a ) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增; ? 2, 要 又因为 a a

x ? (1, f ?( x)? 0 , f (x ) 单调递减;

对任意实数 t ?? 2,3? ,当 x ? ? 0, t ? 时,函数 f ( x ) 的最小值为 f (t ), 只需要 f (2) ? f (1), 即

ln 2 ? 2a ?

1? a 1 1 ? 1 ? ?2a ? 2 ,解得 a ? 2 ln 2 ? 1.? ? 2 ln 2 ? 1,? 2 ln 2 ? 1 ? a ? ; 2 2 2

……………………7 分

1 ? ( x ? 1)2 1 1? a ②当 a ? 时, ? 1, f ?( x) ? 2 2 , 在 x ? (0, ??) 上,恒有 f ?( x) ? 0, ,有且仅 2 a x
有 f ?(1) ? 0, 故 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减,显然成立。…………8 分

③当

1 1? a 1? a 1 ? 2a ? 1? a ? ? a ? 1 时, ? 0, ?1 ? ? 0, 于是 x ? ? 0, ? 和 x ? ?1, ?? ? 时, 2 a a a a ? ?

1? a ) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增;要对任意实数 a 1? a ), 即 t ?? 2,3? ,当 x ? ? 0, t ? 时,函数 f ( x) 的最小值为 f (t ), 只需要 f (2) ? f ( a 1? a 1? a 1? a 9 3 ln ? (1 ? a) ? a+1≥ ln 2 ? 2a ? ? 1 ? ln ? a≥ ln 2+ ; ………10 分 a 2 a 2 2

f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减; x ? (1,

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令 g (a) ? ln

1 9 (3a ? 1) (3a ? 2) 1? a 9 ?1 ? ? ? , ? a, a ? ? ,1? , g ?(a) ? a(a ? 1) 2 2a(a ? 1) a 2 ?2 ?
2 ?1 2? ?2 ? , ? 上单调递减,在 ? ,1? 上单调递增减,g(a)≥ g( )=3-ln 2 > 3 ?2 3? ?3 ?

所以 g (a ) 在 ? ln2 +

3 ,所以此时恒定满足题意. 2

综上所述: a ?? 2ln 2 ?1,1? 。…………12 分 22.解:(1) ? PE, PB 分别是⊙O2 的割线,

? PA ? PE ? PD ? PB

①……2 分

又? PA, PB 分别是⊙O1 的切线与割线,

? PA2 ? PC ? PB

② ……..4 分

由①,②得 PA ? PD ? PE ? PC ……..5 分 (2)连接 AC,DE, ? BC是 ⊙O1 的直径,

??CAB ? 900
由(1)知,

……..6 分

PA PC ? ,? AC ? ED,? AB ? DE. PE PD

……..8 分

AB 是⊙O2 的直径,? ? AD ? ? AE,? AD ? AE.

……..10 分

23. 解: (1) 曲线 C1 的直角坐标方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 , 所以 C1 极坐标方程为 ? ? 4 cos ?
2 2 曲线 C2 的直角坐标方程为 x ? ( y ? 2) ? 4 ,所以 C2 极坐标方程为 ? ? 4sin ?

4分

(2)设点 P 极点坐标 ( ?1 , 4cos ? ) ,即 ?1 ? 4cos ? 点 Q 极坐标为 ( ? 2 , 4sin(? ?

?
6

))

即 ? 2 ? 4sin(? ?

?
6

)

则 | OP | ? | OQ |? ?1 ? 2 ? 4 cos ? ? 4sin(? ?

?
6

) = 16cos ? ? (

3 1 sin ? ? cos ? ) 2 2

? 8sin(2? ? ) ? 4 …….8 分 6 ? ? 5? ? ? ? ? (0, ) ,? 2? ? ? (? , ) , 2 6 6 6
当 2? ?

?

?

6

?

?

2

, 即? ?

?

3

时, | OP | ? | OQ | 取最大值 4.…….10 分

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24.解:(1) f ( x) ? 4, 即 x ? a ? 4

可得 ?4 ? x ? a ? 4

? x ? 4 ? a ? x ? 4 ,故而 ?1 ? a ? 2 ,
即 a ? [?1, 2] . (2) f ( x ? a ) ? f ( x ? a ) ? x ? 2a ? x , 又? x ? 2 a ? x ? 2a , 故而 ?2 a ? x ? 2a ? x ? 2 a ,

? 存在实数 x ,使得 f ( x ? a) ? f ( x ? a) ? 2a ? 1 成立, ??2 a ? 2a ?1即可. 1 当a ? 0时, 有 ? 2a ? 2a ? 1, 解得a ? ; 当a ? 0时, 有2a ? 2a ?1 ,矛盾,故舍去 ; 4
综上所述,实数 a ?

?1 ? , +? ? . ? ?4 ?

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