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2012届高三数学第三轮复习题型整理分析(10部分)


2012 届高三数学第三轮复习题型整理分析 第一部分
1、在集合运算中一定要分清代表元的含义. [举例 1]已知集 P ? { y | y ? x 2 , x ? R }, Q ? { y | y ? 2 x , x ? R } ,求 P ? Q . 分析:集合 P、Q 分别表示函数 y ? x 与 y ? 2 在定义域 R 上的值域,所以 P ? [ 0 , ?? ) , Q ? ( 0 , ?? ) , P ? Q ? ( 0 , ?? ) .
2 x

集合与函数

[举例 2]函数 f ( x ) ? ?

?x

(x ? P)

?? x ( x ? M ) F ( P ) ? { y | y ? f ( x ), x ? P }, F ( M ) ? { y | y ? f ( x ), x ? M } .给出下列四个判断:

,其中 P、M 是实数集 R 的两个非空子集,又规定:

(1) P ? M ? ? , F ( ) ? ( ) 若 则 P FM (2) 则 P FM ? ? ; 若P ? M ? ? , F( ) ? ( ) ??; (3)若 P ? M ? R , 则 F ( P ) ? F ( M ) ? R ;(4)若 P ? M ? R , 则 F ( P ) ? F ( M ) ? R . 其中正确的判断有( ) A、1 个; B、2 个; C、3 个; D、4 个. 分析:这是一道比较难的题,涉及到函数的概念,集合的意义. F ( P ) 是函数 y ? x ( x ? P ) 的值域, F ( M ) 是函数 y ? ? x ( x ? M ) 的值域.取 P ? [ 0 , ?? ) , M ? ( ?? , 0 ) 可知(1)、 (3)不正确.由函数的定义可知,函数定义域内的任意一个值只能与一个函数值对应,所 以若 P ? M ? ? ,只能是 P ? M ? { 0} ,此时 F ( P ) ? F ( M ) ? {0} ,(2)正确.对于命 题(4):设 a ? P ? M , 则 a ? P 且 a ? M ,若 a ? 0 ,显然有 0 ? F ( P ) 且 0 ? F ( M ) , 所以有 F ( P ) ? F ( M ) ? R ;若 a ? 0 ,由 a ? P 则 a ? F ( P ) ,由 a ? M ,则 ? a ? F ( M ) . 若有 a ? F ( M ) ,则 ? a ? M ,所以 ? a ? P ,则 ? a ? F ( P ) ,所以 ? a ? F ( P ) ? F ( M ) , 则 F ( P ) ? F ( M ) ? R .同理可证,若 ? a ? F ( P ) ,则有 a ? F ( P ) ? F ( M ) .(4)也正确, 选 B. 2、空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集. [举例]若 A ? { x | x 2 ? a }, B ? { x | x ? 2} 且 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围. 分析:集合 A 有可能是空集.当 a ? 0 时, A ? ? ,此时 A ? B ? ? 成立;当 a ? 0 时,
A ? (? a, a ) ,若 A ? B ? ? ,则

a ? 2 ,有 0 ? a ? 4 .综上知, a ? 4 .

注意:在集合运算时要注意学会转化 A ? B ? A ? A ? B 等. 3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定:若 A ? B ,则 x ? A 是 x ? B 的充分条件; 若 A ? B , x ? A 是 x ? B 的必要条件; A ? B 且 A ? B 即 A ? B , x ? A 是 x ? B 则 若 则 的充要条件.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价,“逆命题”与“否命题”等价转 换去判定也很方便. 充要条件的问题要十分细心地去辨析:“哪个命题”是“哪个命题”的充分(必要) 条件;注意区分: “甲是乙的充分条件(甲 ? 乙)”与“甲的充分条件是乙(乙 ? 甲)”, 是两种不同形式的问题.
2 2 [举例] 设有集合 M ? {( x , y ) | x ? y ? 2}, N ? {( x , y ) | y ? x ? 2} , 则点 P ? M 的_

______条件是点 P ? N ;点 P ? M 是点 P ? N 的_______条件. 分析:集合 M 是圆 x ? y ? 2 外的所有点的集合,N 是直线 y ? x ? 2 上方的点的集合.
2 2

显然有 N ? M .(充分不必要、必要不充分) 4、掌握命题的四种不同表达形式,会进行命题之间的转化,会正确找出命题的条件与结 论.能根据条件与结论判断出命题的真假. [举例]命题:“若两个实数的积是有理数,则此两实数都是有理数”的否命题是___ _____________________,它是____(填真或假)命题. 5 、 若 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 关 于 直 线 x ? a 对 称 , 则 有 f (a ? x) ? f (a ? x) 或 f ( 2 a ? x ) ? f ( x ) 等,反之亦然.注意:两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自 身的对称问题.函数 y ? f ( x ) 的图像关于直线 x ? a 的对称曲线是函数 y ? f ( 2 a ? x ) 的 图像,函数 y ? f ( x ) 的图像关于点 ( a , b ) 的对称曲线是函数 y ? 2 b ? f ( 2 a ? x ) 的图像. [举例 1]若函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则 y ? f ( x ) 的图像关于______对称. 分析:由 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则有 f ( ? x ? 1) ? f ( x ? 1) ,即 f ( ? 1 ? x ) ? f ( ? 1 ? x ) , 所以函数 y ? f ( x ) 的图像关于直线 x ? ? 1 对称.或函数 y ? f ( x ? 1) 的图像是由函数 y ? f ( x ) 的图像向右平移一个单位而得到的, y ? f ( x ? 1) 的图像关于 y 轴对称,故函数
y ? f ( x ) 的图像关于直线 x ? ? 1 对称.

[举例 2]若函数 y ? f ( x ) 满足对于任意的 x ? R 有 f ( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ) ,且当 x ? 2 时
f ( x) ? x
2

? x ,则当 x ? 2 时 f ( x ) ? ________.
2

分析:由 f ( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ) 知,函数 y ? f ( x ) 的图像关于直线 x ? 2 对称,因而有
f ( x ) ? f ( 4 ? x ) 成立. x ? 2 ,则 4 ? x ? 2 ,所以 f ( x ) ? f ( 4 ? x ) ? ( 4 ? x ) ? ( 4 ? x ) .
2 即 x ? 2 时 f ( x ) ? x ? 9 x ? 20 .

6、若函数 y ? f ( x ) 满足: f ( x ? a ) ? f ( x ? a )( a ? 0 ) 则 f ( x ) 是以 2 a 为周期的函数.注 意:不要和对称性相混淆.若函数 y ? f ( x ) 满足: f ( x ? a ) ? ? f ( x )( a ? 0 ) 则 f ( x ) 是以
2 a 为周期的函数.(注意:若函数 f ( x ) 满足 f ( x ? a ) ? ?
1 f (x)

,则 f ( x ) 也是周期函数)

[举例]已知函数 y ? f ( x ) 满足:对于任意的 x ? R 有 f ( x ? 1) ? ? f ( x ) 成立,且当 x ? [ 0 , 2 ) 时, f ( x ) ? 2 x ? 1 ,则 f (1) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? ? ? f ( 2006 ) ? ______. 分析:由 f ( x ? 1) ? ? f ( x ) 知: f ( x ? 2 ) ? f [( x ? 1) ? 1] ? ? f ( x ? 1) ? f ( x ) ,所以函数 y ? f ( x ) 是以 2 为周期的周期函数. f ( 2006 ) ? f ( 2004 ) ? ? ? ? f ( 2 ) ? f ( 0 ) ? ? 1 , f ( 2005 ) ? f ( 2003 ) ? ? ? ? f ( 3 ) ? f (1) ? 1 ,故意原式值为 0. 7、奇函数对定义域内的任意 x 满足 f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0 ;偶函数对定义域内的任意 x 满足 f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0 .注意:使用函数奇偶性的定义解题时,得到的是关于变量 x 的恒等式 而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于 y 轴对称;若函数 y ? f ( x ) 是奇 函数或偶函数,则此函数的定义域必关于原点对称;反之,若一函数的定义域不关于原点 对称,则该函数既非奇函数也非偶函数.若 y ? f ( x ) 是奇函数且 f ( 0 ) 存在,则 f ( 0 ) ? 0 ; 反之不然. [举例 1]若函数 f ( x ) ?
2 1
x

?1

? a 是奇函数,则实数 a ? _______;
1 2

分析:注意到 f ( 0 ) 有意义,必有 f ( 0 ) ? 0 ,代入得 a ? 时若能灵活运用,则事半功倍.

.这种特值法在解填空、选择题

[举例 2]若函数 f ( x ) ? ax 2 ? ( b ? 2 ) x ? 3 是定义在区间 [ 2 a ? 1, 2 ? a ] 上的偶函数, 则此函 数的值域是__________. 分析:函数是偶函数,必有 ( 2 a ? 1) ? ( 2 ? a ) ? 0 ,得 a ? ? 1 ;又由 y ? f ( x ) 是偶函数, 因而 b ? 2 .即 f ( x ) ? ? x ? 3 ( x ? [ ? 3 ,3 ] ,所以此函数的值域为 [ ? 6 , 3 ] . 8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致,偶函数在关于原点对称的区间内增减性 相反.若函数 y ? f ( x ) 的图像关于直线 x ? a 对称,则它在对称轴的两侧的增减性相反; 此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式(即函数不等式)”多用 函数的单调性,但必须注意定义域. [举例]若函数 y ? f ( x ) 是定义在区间 [ ? 3 , 3 ] 上的偶函数,且在 [ ? 3 , 0 ] 上单调递增,若实
2

数 a 满足: f ( 2 a ? 1) ? f ( a 2 ) ,求 a 的取值范围. 分析:因为 y ? f ( x ) 是偶函数, f ( 2 a ? 1) ? f ( a 2 ) 等价于不等式 f (| 2 a ? 1 |) ? f ( a ) ,
2

又此函数在 [ ? 3 , 0 ] 上递增, 则在 [ 0 , 3 ] 递减.所以 3 ? | 2 a ? 1 |? a , 解得 ? 1 ? a ? ? 1 ? 2 . 9、要掌握函数图像几种变换:对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数 y ? f ( x ) 的图 像,作出函数 y ? f ( ? x ), y ? f (| x |), y ? | f ( x ) |, y ? f ( x ? a ), y ? f ( x ) ? a 的图像.(注 意:图像变换的本质在于变量对应关系的变换);要特别关注 y ? f (| x |), y ? | f ( x ) | 的 图像. [举例]函数 f ( x ) ? | log 2 | 2 x ? 1 | ? 1 | 的单调递增区间为_____________.
2

分析:函数 f ( x ) ? | log 到的: 先将函数 y ? log

2

| 2 x ? 1 | ? 1 | 的图像是由函数 y ? log

2

x 的图像经过下列变换得
1 2

2

x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的
2

(或将函数 y ? log
2

2

x

的图像向上平移 1 个单位) 得到函数 y ? log 关于 y 轴对称得到函数 y ? log 个单位,得到函数 y ? log 1 个单位得到函数 y ? log
2 2

2 x 的图像, 再将函数 y ? log
2

2 x 的图像作
1 2

| 2 x | 的图像, 再将函数 y ? log
2

| 2 x | 的图像向右平移

| 2 x ? 1 | 的图像,再将函数 y ? log

| 2 x ? 1 | 的图像向下平移

2

| 2 x ? 1 | ? 1 ,最后将函数 y ? log

2

| 2 x ? 1 | ? 1 的图像在 x 轴

下方部分翻折到 x 轴上方得到函数 f ( x ) ? | log 2 | 2 x ? 1 | ? 1 | 的图像.注意在变化过程中函 数图像与坐标轴的交点的变化(尤其是与 x 轴的交点不要搞错),从图像上可以看出此函 数的单调递增区间是 [ ?
1 2 ,1) 与 [ 3 2 , ?? ) .

需要注意的是:函数图像变化过程: y ? f ( x ) ? y ? f (| x |) ? y ? f (| x ? a |) 与变化 过程: y ? f ( x ) ? y ? f ( x ? a ) ? y ? f (| x ? a |) 不同.前者是先作关于 y 轴对称后平 移,而后者是先平移后再作关于直线 x ? a 对称. 10、研究方程根的个数、超越方程(不等式)的解(特别是含有参量的)、二次方程根的 分布、二次函数的值域、三角函数的性质(包括值域)、含有绝对值的函数及分段函数的 性质(包括值域)等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准 确:即找准特殊的点(函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等)、递增递减的区间、 最值等. [举例 1]已知函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 , g ( x ) ? ax ? 1 ,若不等式 f ( x ) ? g ( x ) 的解集不为空 集,则实数 a 的取值范围是____________.

分析:不等式 f ( x ) ? g ( x ) 的解集不为空集,亦即函数 y ? f ( x ) 的图像上有点在函数 y ? g ( x ) 的图像的上方. 函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 的图像是 x 轴上方的半 支抛物线,函数 g ( x ) ? ax ? 1 的图像是过点
( 0 ,1) 斜率为 a 的直线.当 a ?

y

1 O
1 2

x

l1 2 ? 1 时直线与抛物线相切,由图像知: a ?
y

2 ? 1 .(注意

图中的虚线也满足题义) [举例 2]若曲线 y ? | x | ? 1 与直线 y ? kx ? b 没有公共点, 则 k , b 应当满足的条件是 .
2

分析:曲线 y ? | x | ? 1 是由 y ? x ? 1( x ? 0 ) 与 y ? ? x ? 1( x ? 0 ) 组成,它们与 y 轴的交点为 ( 0 ,1) 和 ( 0 , ? 1) ,图像如图(实线部分).
2 2 2

1 O -1
x

可以看出若直线 y ? kx ? b 曲线 y

2

? | x | ? 1 的图像没有公共点,

此直线必与 x 轴平行,所以 k ? 0 , ? 1 ? b ? 1 . 11、一条曲线可以作为函数图像的充要条件是:曲线与任何平行于 y 轴的直线至多只有一 个交点. 一个函数存在反函数的充要条件是:定义域与值域中元素须一一对应,反应在图像上 平行于 x 轴的直线与图像至多有一个交点.单调函数必存在反函数吗?(是的,并且任何函 数在它的每一个单调区间内总有反函数).还应注意的是:有反函数的函数不一定是单调 函数,你能举例吗? [举例]函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 ax ? 1 ,( x ? [ 0 ,1] ? [ 3 , 4 ] ),若此函数存在反函数,则实数 a 的取值范围是__________. 分析:由函数存在反函数的充要条件是定义域与值域中的元素一一对应,平行于 x 轴的直 线与函数的图像至多只有一个交点.又由二次函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 ax ? 1 图像的对称轴为直 线 x ? a 知: a ? 0 或 a ? 4 必存在反函数, 0 ? a ? 1 或 3 ? a ? 4 必不存在反函数.当 a ? [1, 3 ] 时 如 何 讨 论 ? 注 意 到 函 数 在 区 间 [ 0 ,1] 上 递 减 , 在 [ 3 , 4 ] 上 递 增 , 所 以 只 要
f ( 4 ) ? f (1) 或 f ( 3 ) ? f ( 0 ) 即可.亦即

5 2

? a ? 3 或1 ? a ?

3 2

.综上知,实数 a 的取值范围

是 ( ?? , 0 ] ?
[1, 3 2 )?( 5 2 , 3 ] ? [ 4 , ?? ) .

12、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域,反函数的定义域不能单从反函数的表 达式上求解,而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解(关于 x 的)方程的过 程.注意:函数的反函数是唯一的,尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定.
2 [举例]函数 f ( x ) ? log 2 ( x ? 2 x ? 2 ), ( x ? ( ?? , ? 2 ]) 的反函数为________.
2 2 y 2 y 分析:令 y ? log 2 ( x ? 2 x ? 2 ) ,则 x ? 2 x ? 2 ? 2 ? ( x ? 1) ? 2 ? 1 .因为 x ? ? 2 ,
y 所以 x ? 1 ? ? 1 ,则 x ? 1 ? ? 2 ? 1 , x ? ? 1 ?

2

y

? 1 .又原函数的值域为 [1, ?? ) ,所
x

以原函数的反函数为 f

?1

( x) ? ?1 ?

2 ? 1 ( x ? 1) . 若是从反函数表达式得 2 ? 1 ? 0 求 (
x

得 x ? 0 就不是反函数的定义域). 13、原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域;原函数与反函数

的图像关于直线 y ? x 对称;若函数 y ? f ( x ) 的定义域为 A,值域为 C, a ? A , b ? C , 则有 f ( f
?1

( b )) ? b , f

?1

( f ( a )) ? a . b ? f ( a ) ? a ? f
?1
?1

?1

( b ) .需要特别注意一些复合函

数的反函数问题.如 y ? f ( 2 x ) 反函数不是 y ? f

(2 x) .

[举例 1]已知函数 y ? f ( x ) 的反函数是 y ? f ( x ) ,则函数 y ? 2 f ? 1 ( 3 x ? 4 ) 的反函 数的表达式是_________. 分析: 求函数的反函数是解方程的过程, 即用 y 表示 x , 然后将 x , y 互换即得反函数的表达 式.由 y ? 2 f
?1

( 3 x ? 4 ) 可得 f

?1

(3 x ? 4 ) ?
1

y 2

? 3x ? 4 ? f (

y 2

)? x ?

1 3

[f(

y 2

) ? 4 ] .所

以函数 y ? 2 f

?1

( 3 x ? 4 ) 的反函数为 y ?

x [ f ( ) ? 4] . 3 2

[举例 2]已知 f ( x ) ? ?

?2 x , ? log
2

x ? 0 (? x) , ? 2 ? x ? 0

,若 f

?1

( a ) ? 3 ,则 a ? ____.

分析:由 f ? 1 ( a ) ? 3 得 a ? f ( 3 ) ,所以 a ? 8 . 14、判断函数的单调性可用有关单调性的性质(如复合函数的单调性),但证明函数单调 性只能用定义,不能用关于单调性的任何性质,用定义证明函数单调性的关键步骤往往是 因式分解.记住并会证明:函数 y ? ax ? [举例]已知函数 f ( x ) ? ax ? 围. 分析:函数 y ? ax ?
b x , ( a , b ? 0 ) 称为“耐克”函数,由基本不等式知:当 x ? 0 时,函 1 x

b x

, ( a , b ? 0 ) 的单调性.

( a ? 0 ) 在 x ? [1, ?? ) 上是单调增函数,求实数 a 的取值范

数的最小值是 2 ab , x ? 当

b a

时等号成立. x ? ( 0 ,

b a

] 时, 函数递减;x ? [

b a

, ?? ) 时,

函数递增.记住此结论在解选择、填空等小题时用起来比较方便.函数
f ( x ) ? ax ? 1 x ( a ? 0 ) 在 [1, ?? ) 上递增,则

1 a

? 1 ,得 a ? 1 .但若是大题推理就不能这

样描述性的说明,必需要按函数单调性的定义有严格的论证. 任设 x 1 , x 2 ? [1, ?? ), 且 x 1 ? x 2 . f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ( x 1 ? x 2 )( a ? 调增函数,则 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,而 x 1 ? x 2 ? 0 ,则 a ?
x 1 , x 2 ? [1, ?? ), 且 x 1 ? x 2 恒成立,因
1 x1 x 2 ? 1 ,故 a ? 1 . 1 x1 x 2 ) ,由函数 f ( x ) 是单

1 x1 x 2

? 0 .所以 a ?

1 x1 x 2

对于

需要说明的是:在考试中若“小题大做”则浪费时间,因为“小题”只要结果;而“大题 小做”则失分,因为“大题”需要严格的论证过程. 15、一元二次函数是最基本的初等函数,要熟练掌握一元二次函数的有关性质.一元二次 函数在闭区间上一定存在最大值与最小值,应会结合二次函数的图像求最值.

[举例]求函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 ax ? 1 在区间 [ ? 1, 3 ] 的最值. 分析:求开口向上的二次函数在闭区间上的最小值要根据二次函数的对称轴与区间的位置 关系分三种情况进行讨论,但求开口向上的二次函数在闭区间上的最大值只要根据区间端 点与对称轴之间的距离分两种情况进行讨论即可.
( a ? ? 1) ?2 ? 2a ?10 ? 6 a ( a ? 1) ? 2 ? ? ( ? 1 ? a ? 3) . , f ( x ) min ? ?1 ? a ? 2 ? 2 a ( a ? 1) ?10 ? 6 a ( a ? 1) ?

f ( x ) max

16、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点.解一元二 次不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的 解集”,可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.特别对于含参一元二 次不等式的讨论比较方便.还应当注意的是;一般地,不等式解集区间的端点值是对应方 程的根(或增根). [举例 1]已知关于 x 的不等式 | ax ? 3 |? 5 的解集是 [ ? 1, 4 ] ,则实数 a 的值为 . 分析:若是从解不等式入手,还应考虑常数 a 的正负进行讨论.如合理利用方程与不等式 之间的关系则可迅速得到答案:解集端点值 ? 1, 4 是方程 | ax ? 3 |? 5 的根.则 ?
? a ? ? 2或 8 ? 得? 1 ,知 a ? ? 2 . ? a ? ? 2或 2 ?

? | ? a ? 3 |? 5 ? | 4 a ? 3 |? 5

[举例 2]解关于 x 的不等式: ax 2 ? 2 ax ? 1 ? 0 ( a ? R ) . 分析: 首先要注意的是此不等式是否是一元二次不等式.当 a ? 0 时, 此不等式是恒成立的, 2 则其解集为 R .当 a ? 0 时,才是二次不等式.与其对应的方程为 ax ? 2 ax ? 1 ? 0 ,根判
2 别式 ? ? 4 a ? 4 a .当 ? ? 0 ,即 a ? 1 或 a ? 0 时,方程两根为 x 1 , 2 ?

?a? a a

a

2

?a

;当

? ? 0 ,即 a ? 1 时,方程有等根 x ? ? 1 ;当 ? ? 0 ,即 0 ? a ? 1 时,方程无实根.结合二

次函数的图像知: a ? 1 时不等式的解集为 ( ?? ,

, ?? ) ; a a 当 a ? 1 时,不等式的解集为 ( ?? , ? 1) ? ( ? 1, ?? ) ;当 0 ? a ? 1 时,不等式的解集为 R ; )?(

?a?

a

2

?a

?a?

2

?a

当 a ? 0 时,不等式的解集为 (

?a? a

a

2

?a

,

?a? a

a

2

?a

).

第二部分
17、基本不等式 a ? b ? 2 ab , ab ? (
a?b 2
2

不等式
) 要记住等号成立的条件与 a , b 的取值范围.

“一正、二定、三相等”,“积定和有最小值、和定积有最大值”,利用基本不等式求最 值时要考虑到等号是否成立.与函数相关的应用题多有基本不等式的应用. [举例]已知正数 a , b 满足 a ? 2 b ? 3 ,则
1 a ? 1 b

的最小值为______.

分析:此类问题是典型的“双变量问题”,即是已知两变量的一个关系式,求此两变量的

另一代数式的最值(或取值范围)问题.其解决方法一是“减元”,即由关系中利用一个变 量表示另一变量代入到所求关系式中,转化为一元函数的最值问题;另一方法是构造基本 不等式.由
1 a ? 2b a ? 2b 1 2b a 1 ( ? ) ? (3 ? ? ) ? (3 ? 2 2 ) , 当 且 仅 当 a b 3 a b 3 a b 3 3 3 2b a ,b ? ? 等号成立,此时 a ? . a b 2 ?1 2? 2 1 ? 1 ?

18、学会运用基本不等式: || a | ? | b || ? | a ? b |? | a | ? | b | . [举例 1]若关于 x 的不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? a 的解集是 R,则实数 a 的取值范围是_ _; 分析:由不等式的解集为 R ,则 a 大于 | x ? 1 | ? | x ? 2 | 的最大值.由绝对值不等式的性质 知: | x ? 1 | ? | x ? 2 |? | ( x ? 1) ? ( x ? 2 ) |? 1 ,所以 a ? 1 . [举例 2]若关于 x 的不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? a 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是 _. 分析: | x ? 1 | ? | x ? 2 |? | ( x ? 1) ? ( x ? 2 ) |? 1 ,知 a ? 1 . 19、解分式不等式不能轻易去分母,通常采用:移项(化一边为零)→通分→转化为整式 不等式→化所有因式中的变量系数为正,(即不等式两边同除以变量系数,若它的符号不 能确定即需要讨论)→“序轴标根” (注意比较各个根的大小,不能比较时即需要讨论); 解绝对值不等式的关键是“去绝对值”,通常有①利用绝对值不等式的性质②平方③讨论. 特别注意:求一个变量的范围时,若分段讨论的也是这个变量,结果要“归并”.
? 1( a ? 0 ) . x?2 ( a ? 1) x ? ( a ? 2 ) ? 0 ? ( x ? 2 )[( a ? 1) x ? ( a ? 2 )] ? 0 .注意到此 分析:原不等式化为: x?2 不等式二次项系数含有变量, 故要讨论. 1) a ? 1 时, ( 当 不等式的解集为 { x | x ? 2} ; (2)

[举例]解关于 x 的不等式:

a ( x ? 1)

当 0 ? a ? 1 时,注意到此时对应的二次函数开口向下,对应方程两根 x 1 ? 2 , x 2 ? 而
a?2 a ?1 ?1? 1 1? a ? 2 ,此时不等式的解集为 ( 2 , a ?2 a ?1

a?2 a ?1



) ;(3)当 a ? 1 时,同样可得不

等式的解集为 ( ?? ,

a?2 a ?1

) ? ( 2 , ?? ) .

20、求最值的常用方法:①用基本不等式(注意条件:一正、二定、三相等);②二次函 数;③单调性;④逆求法(包括判别式法);⑤换元法;⑥数形结合.一般而言:在用基 本不等式求最值因“不相等”而受阻时,常用函数 y ? x ?
a x , ( a ? 0 ) 的单调性;求二次

函数(自变量受限制)的值域,先配方、再利用图像、单调性等;求分式函数的值域(自 变量没有限制)常用“逆求”(即判别式法);求分式函数的值域(自变量受限制)通常 分子、分母同除一个式子,变分子(分母)为常数. [举例 1] 已知函数 f ( x ) ? ax ? 求实数 a 的值.
3 2 x 的最大值不大于
2

1 6

, 又当 x ? [ , ] 时, f ( x ) ?
4 2

1 1

1 8



分析: f ( x ) ? ?

3 2

(x ?

a 3

) ?
2

a

2

,则

a

2

?

1 6

? a

2

? 1 ,又此二次函数开口向下,则有

6

6

1 ? 1 ? f (4) ? 8 ? 开口向下的二次函数在闭区间上的最小值是区间一 ? a ? 1 .知 a ? 1 .注意到: ? ? f (1) ? 1 ? 2 8 ?

端点对应的函数值;同样开口向上的二次函数在闭区间上的最大值也是区间一端点对应的 函数值. [举例 2]求函数 f ( x ) ?
x x?3
2

? 6 x ? 13

在区间 [ ? 2 , 2 ] 上的最大值与最小值.

分析:因为函数的定义域不是一切实数, 用判别式法所求的结果不一定是正确.可利用换元 转化成基本不等式型的应用.设 x ? 3 ? t , f ( x ) ? 则
t
4 t 4 t
1 4

t
2

?4

?

1 t? 4 t

,t ? [1, 5 ] .当 t ? 2 时,

t?

取最小值 4;当 t ? 5 时, t ? ,最小值为
5 29

取最大值

29 5

.所以函数 f ( x ) 在区间 [ ? 2 , 2 ] 上的最大

值为

.注意:此类函数的值域(最值)问题在解几的最值中经常涉及,要

能熟练地掌握其解法. 21、遇到含参不等式(或含参方程)求其中某个参数的取值范围通常采用分离参数法,转 化为求某函数的最大值(或最小值);但是若该参数分离不出来(或很难分离),那么也 可以整体研究函数 y ? f ( a , x ) 的最值.特别注意:双变量问题在求解过程中应把已知范围 的变量作为主变量,另一个作为参数. [举例](1)已知不等式 4 ? a ? 2 ? 2 ? 0 对于 x ? [ ? 1, ?? )恒成立,求实数 a 的取值 范围. (2)若不等式 4 ? a ? 2 ? 2 ? 0 对于 a ? (?? ,3 ] 恒成立,求实数 x 的取值范围.
x 分析: (1)由 4 ? a ? 2 ? 2 ? 0 得:a ? 2 ?

x

x

x

x

x

x

2 2
x

x 对于 x ? [ ? 1, ?? )恒成立,因 2 ?

1 2



所以 2 ?
x

2 2
x

? 2 2 ,当 2
x

x

?
x

2 时等号成立.所以有 a ? 2 2 .

(2)注意到 4 ? a ? 2 ? 2 ? 0 对于 a ? (?? ,3 ] 恒成立是关于 a 的一次不等式.不妨 设 f ( a ) ? ? 2 ? a ? ( 4 ? 2 ) , 则 f ( a ) 在 a ? (?? ,3 ] 上 单 调 递 减 , 则 问 题 等 价 于
x x

f (3) ? 0 , 所 以 4 ? 3 ? 2 ? 2 ? 0 ? 2
x x

x

? 2 或 2

x

?1 , 则 x 取 值 范 围 为

( ?? , 0 ) ? (1, ?? ) .

第三部分
22、若 ? ? ( 0 ,
?
2

三角函数

) ,则 sin ? ? ? ? tan ? ;角的终边越“靠近” y 轴时,角的正弦、正切

的绝对值就较大,角的终边“靠近” x 轴时,角的余弦、余切的绝对值就较大.

[举例 1]已知 ? ? [ 0 , ? ] ,若 sin ? ? | cos ? |? 0 ,则 ? 的取值范围是_______. 分析:由 sin ? ? | cos ? |? 0 且 ? ? [ 0 , ? ] ,即 | sin ? |? | cos ? | 知其角的终边应“靠近” y 轴,所以 ? ? (
). 4 4 [举例 2]方程 sin x ? x 的解的个数为____个. 分析:在平面直角坐标系中作出函数 y ? sin x 与 y ? x 的图像,由函数 y ? sin x , y ? x 都 ,

?

3?

是奇函数,而当 x ? 1 时 x ? sin x 恒成立.在 x ? (0,

?
2

) 时, sin x ? x ,所以两函数图像只

有一个交点(坐标原点),即方程 sin x ? x 只有一个解. ? ? 同样:当 x ? ( ? , ) 时,方程 tgx ? x 只有唯一解 x ? 0 .
2 2

23、求某个角或比较两角的大小:通常是求该角的某个三角函数值(或比较两个角的三角 函数值的大小),然后再定区间、求角(或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小). 比如:由 tg ? ? tg ? 未必有 ? ? ? ;由 ? ? ? 同样未必有 tg ? ? tg ? ;两个角的三角函数 值 相 等 , 这 两 个 角 未 必 相 等 , 如 sin ? ? sin ? ; 则 ? ? 2 k ? ? ? ; 或 ? ? 2 k ? ? ? ? ? , k ? Z ;若 cos ? ? cos ? ,则 ? ? 2 k ? ? ? , k ? Z ;若 tg ? ? tg ? , 则? ? k? ? ? , k ? Z . [举例 1]已知 ? , ? 都是第一象限的角,则“ ? ? ? ”是“ sin ? ? sin ? ”的――( ) A、充分不必要条件;B、必要不充分条件;C、充要条件;D、既不充分又不必要条件. ? 13 ? 分析:? , ? 都是第一象限的角, 不能说明此两角在同一单调区间内.如 , 都是第一象
3 6

? sin .选 D. 3 6 [举例 2] 已知 ? ? 0, ? ? 0, ? ? ? ? ? , “ ? ? ? ” “ s 则 是 n i

限的角,

?

?

13 ? 6

但 sin

?

13 ?

3

? ?s n i

的――― ( ? ”



A、充分不必要条件;B、必要不充分条件;C、充要条件;D、既不充分又不必要条件. 分析:注意到由 ? , ? , ? ? ? ? ( 0 , ? ) ,则 ? , ? 可以看作是一三角形的两内角.选 C. 24、已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小,一定要根据角的范围来 确定;能熟练掌握由 tg ? 的值求 sin ? , cos ? 的值的操作程序;给(一个角的三角函数) 值求(另一个三角函数)值的问题,一般要用“给值”的角表示“求值”的角,再用两角 和(差)的三角公式求得. [举例 1]已知 ? 是第二象限的角,且 cos ? ? a ,利用 a 表示 tg ? ? _____; 分析:由 ? 是第二象限的角, cos ? ? a 知 sin ? ?
1? a
2

, tg ? ?
?
2

sin ? cos ?

?

1? a a

2

.

2 2 [举例 2]已知 6 sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos ? ? 0 , ? ? (

, ? ) ,求 sin( 2 ? ?

?
3

) 的值.
1

2 2 分析:由 6 sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos ? ? 0 得: 6 tg ? ? tg ? ? 2 ? 0 ,则 tg ? ?

2

或 ,

tg ? ? ?

2 3

.又 ? ? (

?
2

, ? ) ,所以 tg ? ? ?

2 3

.由万能公式得 sin 2 ? ?

2 tg ? 1 ? tg ?
2

? ?

2 12

13

cos 2 ? ?

1 ? tg ?
2

1 ? tg ?
2

?

5 13
1 2

.知 sin( 2 ? ?

?
3

) ?

5 3 ? 12 26

.

25、欲求三角函数的周期、最值、单调区间等,应注意运用二倍角正(余)弦公式,半角 公式降次即:sin
?
2

x ?

(1 ? cos 2 x ), cos

2

x ?

1 2

(1 ? cos 2 x ) ;引入辅助角(特别注意

?
3



经常弄错)使用两角和、差的正弦、余弦公式(合二为一),将所给的三角函数式化为

6 y ? A sin( ? x ? ? ) ? B 的形式.函数 y ? | A sin( ? x ? ? ) | 的周期是函数 y ? A sin( ? x ? ? )

周期的一半. [举例]函数 f ( x ) ? 2 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 的最小正周期为_____;最大值 为__; 单调递增区间为______________; 在区间 [ 0 , 2 ? ] 上, 方程 f ( x ) ? 1 的解集为___________. 5? ) .所 分析:由 f ( x ) ? 2 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ?
6

以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? ;最大值为 2;单调递增区间满足 2 x ?
2 k? ?
2x ?

5? 6

? [2 k? ?

?
2


1 2

?
2

]( k ? Z ) ,即 [ k ? ?
? 2 k? ?

2? 3 5?
6

, k? ?

?
6

]( k ? Z ) ;由 f ( x ) ? 1 ,则 sin( 2 x ?
5? 6

5? 6

) ?



5? 6

?
6

或 2x ?
2? 3 , 5? 3

? 2 k? ?

得 x ? k? ?

?
3

或 x ? k? (k ? Z ) , 又 由

x ? [ 0 , 2 ? ] 得解集为 {

,0 , ? ,2? } .

注意:辅助角 ? 的应用: a sin x ? b cos x ?

a

2

? b sin( x ? ? ) .其中 tg ? ?
2

b a

,且

角 ? 所在的象限与点 ( a , b ) 所在象限一致. 26、当自变量 x 的取值受限制时,求函数 y ? A sin( ? x ? ? ) 的值域,应先确定 ? x ? ? 的 取值范围,再利用三角函数的图像或单调性来确定 sin( ? x ? ? ) 的取值范围,并注意 A 的 正负;千万不能把 x 取值范围的两端点代入表达式求得. [举例]已知函数 f ( x ) ? 2 sin x (sin x ? cos x ), x ? [ 0 , ? ] ,求 f ( x ) 的最大值与最小值.
2 分 析 : 函 数 f ( x) ? 2 s in x ? 2 s in x cos x ? 1 ? cos 2 x ? s in 2 x ?

2 s i n (x ?

?
4

) ? 1 .由

x ? [ 0 , ? ] ,则 x ?

?
4

? [?

?
4

,

3? 4

] , sin( x ?

?
4

) ? [?

2 2

,1] ,所以函数 f ( x ) 的最大 、最

小值分别为 2 ? 1 与 0 . 27、三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角(或边)处理.有关 a , b , c 的齐次式 (等式或不等式) 可以直接用正弦定理转化为三角式; , 当知道△ABC 三边 a , b , c 平方的和差关系,常联想到余弦定理解题;正弦定理应记为 (其中 R 是△ABC 外接圆半径.
a sin A ? b sin B ? c sin C ? 2R

[举例]在△ABC 中, a , b , c 分别是 ? A , ? B , ? C 对边的长.已知 a , b , c 成等比数列,且
a
2

?c

2

? ac ? bc ,求 ? A 的大小及

b sin B c
2

的值.
2

分析:由 a , b , c 成等比数列得 b 2 ? ac ,则 a ? c 余 弦 定 理 得 cos A ?
b s i nB c

? ac ? bc 化成 b ? c ? a
2 2

2

? bc ,由

b ?c ?a
2 2

2

?
3

1 2

, ?A ?

?
3

. 由 b 2 ? ac 得

b c

?

a b

,所以

2 bc

=

a sin B b

? sin A ? sin

?

?

.

3 2 28、 在△ABC 中:a ? b ? A ? B ? sin A ? sin B ;sin( B ? C ) ? sin A ,cos( B ? C ) ?

? cos A , cos

B ?C 2

? sin

A 2

sin ,

B ?C 2

? cos

A 2

等常用的结论须记住.三角形三内角 A、

B、C 成等差数列,当且仅当 B ?

?

.

3 [举例 1](1)已知△ABC 三边 a , b , c 成等差数列,求 B 的范围;(2)已知△ABC 三

边 a , b , c 成等比数列,求角 B 的取值范围. 分析:(1)由△ABC 的三边 a , b , c 成等差数列,则 2 b ? a ? c , co s B ? 消去 b 化得 co s B ?
3( a ? c )
2 2

a ?c ?b
2 2

2



2ac

?

1 4

?

6ac 8ac

?

1 4

?

1 2

.所以 B ? ( 0 ,

?
3

].

8ac

(2)同样可以求得 B ? ( 0 ,

]. 3 [举例 2]在△ABC 中,若 2 cos B sin A ? sin C ,则△ABC 的形状一定是(

?

A、等腰直角三角形; B、直角三角形; C、等腰三角形; 分析: 在三角形 ABC 中:sin C ? sin( A ? B ) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 2 cos B sin A , 则 sin A cos B ? cos A sin B ? 0 ? sin( A ? B ) ? 0 ? A ? B .所以△ABC 是等腰三角形. [举例 3]△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a , b , c ,已知 a , b , c 成等比数列,且
cos B ? 3 4

) D、等边三角形.

.
3

(1)求 ctgA ? ctgC 的值;(2)设 BA ? BC ? 分析: 先切化弦:ctgA ? ctgC ? (1)
2 成等比, b ? ac ? sin 2

,求 a ? c 的值.
? sin( A ? C ) sin A sin C ? sin B

.由 a , b , c sin A sin C 1 3 B ? sin A sin C ,所以 ctgA ? ctgC ? .由 cos B ? 得 s in B 4
sin A sin C
4 7 7

cos A

?

2 cos C

sin B ?

7 4

,则 ctgA ? ctgC ?

.
ac ? 3 2
2 ,所以 ac ? 2 ,则 b ? 2 .又由余弦定理得:

(2)注意到 BA ? BC ? ac cos B ?
b
2

3 4

? a

2

? c ? 2 ac cos B , a 得
2

2

?c

2

( ? 5 ,a ? c)

2

? a ? 2 ac ? c
2

2

?9, 所以 a ? c ? 3 .

29、 sin x ? cos x , sin x ? cos x , sin x cos x 这三者之间的关系虽然没有列入同角三角比的 基本关系式,但是它们在求值过程中经常会用到,要能熟练地掌握它们之间的关系式:
(sin x ? co s x ) ? 1 ? 2 sin x co s x .求值时能根据角的范围进行正确的取舍.
2

[举例 1]已知关于 x 的方程 sin 2 x ? a (sin x ? cos x ) ? 2 ? 0 有实数根,求实数 a 的取值 范围. 分
s


ix ? c n





(

s x ? c n ox ) s ? s i
2
2

i xn 2 s ?
2

ix cn ox ?s c

o x s? 1 ? s
2
2

i2 x n ,



ox ?s t ,则 sin 2 x ? t ? 1 ,其中 t ? [ ? 2 ,
2

2 ] .则关于 t 的方程 t

? at ? 1 ? 0

在 t ? [ ? 2 , 2 ] 上有解.注意到方程 t ? at ? 1 ? 0 两根之积为 1,若有实根必有一根在
[ ? 1,1] 内,只要△ ? 0 即可,得 a ? 2 或 a ? ? 2 .

[举例 2]已知 ? ? ( 0 , ? ), 且 sin ? ? cos ? ? ?

1 5

,则 tg ? ? _____.

分析:此类问题经常出现在各类考试中, 而且错误率都比较高.原因是不能根据角所在的象 限,对函数值进行正确的取舍.由 sin ? ? cos ? ? ? 由
s

1 5

平方得 2 sin ? cos ? ? ? .
49 25

24 25

? 0 ,又

? ? (0, ? )
? ? 0, i c
3 5


2

? ?(

?
2

,? )


7 5

有 .有

.o ? ? 0 n (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? s
4 5

,得 sin ? ? cos ? ?

sin ? ?

, cos ? ? ?

,所以 tg ? ? ?

3 4

.

30、正(余)弦函数图像的对称轴是平行于 y 轴且过函数图像的最高点或最低点,两相邻 对称轴之间的距离是半个周期;正(余)弦函数图像的对称中心是图像与“平衡轴”的交 点,两相邻对称中心之间的距离也是半个周期. k? , 0 ), k ? Z .两相邻 函数 y ? tgx , y ? ctgx 的图像没有对称轴,它们的对称中心为 (
2

对称轴之间的距离也是半个周期. [举例 1]已知函数 f ( x ) ? sin 2 x ,且 f ( x ? t ) 是偶函数,则满足条件的最小正数 t ? _ _; 分析: f ( x ? t ) ? sin( 2 x ? 2 t ) 是偶函数,则 x ? 0 是它图像的一条对称轴. x ? 0 时,函数 取最大(小)值. sin 2 t ? ? 1 , 2 t ? k ? ?
?
2 ( k ? Z ) .所以满足条件的最小正数 t ?

?
4

.

[举例 2]若函数 f ( x ) ? a sin x ? cos x 的图像关于点 ( ? 分 析 : 由 f ( x ) ? a sin x ? cos x 的 图 像 关 于 点 ( ?
a ? 3 3

?
3

, 0 ) 成中心对称,则 a ? __.

?
3

,0 ) 成 中 心 对 称 知 f ( ?

?
3

) ? 0 ,

.

第四部分

复数

31、复数问题实数化时,设复数 z ? a ? bi ,不要忘记条件 a , b ? R .两复数 z 1 ? a ? bi ,
z 2 ? c ? di , ( a , b , c , d ? R ) , z 1 ? z 2 的条件是 a ? c , b ? d .这是复数求值的主要依据.根

据条件,求复数的值经常作实数化处理. [举例]若复数 z 满足: z ? z ? ( z ? z ) i ?
3?i 2?i

,则 z ? _____.
?a 2 ? b 2 ? 1 ?2a ? ?1

分析:设 z ? a ? bi ( a , b ? R ) ,原式化为 a 2 ? b 2 ? 2 ai ? 1 ? i ,得 ?
z ? ? 1 2 ? 3 2

,求得

i.

32、实系数一元二次方程若存在虚根,则此两虚根互为共轭.若虚系数一元二次方程存在 实根不能用判别式判断. [举例]若方程 x 2 ? bx ? 2 ? 0 ( b ? R ) 的两根 ? , ? 满足 | ? ? ? |? 2 ,求实数 b 的值. 分析:在复数范围内 | ? ? ? | ? (? ? ? ) 不一定成立,但 | (? ? ? ) |? | ? ? ? | 一定成立.
2 2 2 2

对于二次方程, 韦达定理在复数范围内是成立的. ? 则 b 2 ? 4 或 b 2 ? 12 ,所以 b ? ? 2 或 b ? ? 2 3 .

?? ? ? ? ? b ??? ? 2

| , (? ? ? ) | ? | b ? 8 | ? 4 ,
2 2

33、| z 1 ? z 2 | 的几何意义是复平面上 z 1 , z 2 对应点之间的距离,| z ? z 0 |? r 的几何意义是 复平面上以 z 0 对应点为圆心, r 为半径的圆. [举例] | z ? 2 i | ? | z ? z 0 |? 4 表示的动点的轨迹是椭圆, | z 0 | 的取值范围是___. 若 则 分析:首先要理解数学符号的意义: | z ? 2 i | ? | z ? z 0 |? 4 表示复数 z 对应的动点到复数
2 i 与 z 0 对应的两定点之间的距离之和等于 4.而根据椭圆的定义知,两定点之间的距离要

小于定值 4,所以有 | z 0 ? 2 i |? 4 ,而此式又表示 z 0 对应的点在以 2 i 对应点为圆心,4 为 半径的圆内,由模的几何意义知 | z 0 |? [ 0 , 6 ) . 34、对于复数 z ,有下列常见性质:(1) z 为实数的充要条件是 z ? z ;(2) z 为纯虚
2 数的充要条件是 z ? z ? 0 且 z ? 0 ;(3) z ? z ? | z | ;(4) | z1 z 2 |? | z1 || z 2 | .

[举例]设复数 z 满足:(1) z ? 分析:由 z ?
4 z ? R, 则 z ?

4 z

? R , (2) | z ? 2 |? 2 ,求复数 z .

4 z

? z?

4 z

? ( z ? z )(| z | ? 4 ) ? 0 ? z ? z 或 | z |? 2 .当 z ? z
2

时,则 z ? R ,由 | z ? 2 |? 2 得 z ? 4 或 z ? 0 (舍去);当 | z |? 2 时,可求得 z ? 1 ? 综上知: z ? 4 , z ? 1 ?
3i .

3i .

第五部分

数列与极限
d 2 n
2

35、 等差数列{ a n }中, 通项 a n ? dn ? b , n 项和 S n ? 前

? cn ( d 为公差,n ? N ) .

证明某数列是等差 (比) 数列, 通常利用等差 (比) 数列的定义加以证明, 即证:a n ?1 ? a n 是常数 ( n ? N ) (
a n ?1 an

=常数, n ? N ) ,也可以证明连续三项成等差(比)数列.即对于任
a n?2 a n ?1 ? a n ?1 an

意的自然数 n 有: a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ?1 ? a n ( [举例]数列 { a n } 满足: a 1 ? 1, a n ? 1 ? (1)求证:数列 {
1 an

).

2an an ? 2

(n ? N ) .

} 是等差数列;(2)求 { a n } 的通项公式.

分析: 注意是到证明数列 { 所以
1 a n ?1 ?
2 n ?1

1 an

} 是等差数列, 则要证明
1 an } 是等差数列.又 1 a1

1 a n ?1

?

1 an
1 an

是常数.而
?1? 1 2

1 a n ?1

?

an ? 2 2an



1 an

?

1 2

.即数列 {

?1, 则

( n ? 1) ?

n ?1 2

, 所

以an ?

.

36、等差数列前 n 项和、次 n 项和、再后 n 项和(即连续相等项的和)仍成等差数列;等 比数列前 n 项和(和不为 0)、次 n 项和、再后 n 项和仍成等比数列.类比还可以得出:等 比数列的前 n 项的积、次 n 项的积、再后 n 项的积仍成等比数列. [举例 1]已知数列 { a n } 是等差数列,S n 是其前 n 项的和,S 4 ? 8 , S 8 ? 20 , S 12 ? _; 则 分析:注意到 S 4 , S 8 ? S 4 , S 12 ? S 8 是等差数列的连续 4 项的和,它们成等差数列.可以得 到 S 12 ? S 8 ? 16 ,所以 S 12 ? 36 . [举例 2]已知数列 { a n } 是等比数列, T n 是其前 n 项的积, T 4 ? 5 , T 8 ? 20 ,则 T 12 ? _. 分析:由 T 4 ,
T 8 T 12 T 2 T 3 T , 成等比,则 ( 8 ) ? T 4 ? 12 ,所以 T 12 ? ( 8 ) ? 64 . T 4 T8 T4 T8 T4

37、在等差数列 { a n } 中,若 m ? n ? p ? q ( m , n , p , q ? N ) ,则 a m ? a n ? a p ? a q ;在 等比数列 { a n } 中,若 m ? n ? p ? q ( m , n , p , q ? N ) ,则 a m ? a n ? a p ? a q 等差(等比) 数列中简化运算的技巧多源于这条性质. [举例] 数列 { a n } 是等比数列,a 4 ? a 7 ? ? 512 , a 3 ? a 8 ? 124 , 且公比 q 为整数, a 10 的 则 值为_______. 分析:由 a 4 ? a 7 ? a 3 ? a 8 得 ? 为整数,所以 ?
?a3 ? ?4 ? a 8 ? 128

? a 3 ? 128 ?a3 ? ?4 ? ? 或? ,又此数列的公比 ? a 8 ? 128 ? a 3 ? a 8 ? ? 512 ?a8 ? ?4 ? a 3 ? a 8 ? 124

2 公比 q ? ? 2 ,则 a 10 ? a 8 q ? 512 .

38、等差数列当首项 a 1 ? 0 且公差 d ? 0 ,前 n 项和存在最大值.当首项 a 1 ? 0 且公差
d ? 0 ,前 n 项和存在最小值.求等差数列前 n 项和的最值可以利用不等式组

? a n ? 0(? 0) 来确定 n 的值;也可以利用等差数列的前 n 项的和是 n 的二次函数(常数 ? ? a n ?1 ? 0 ( ? 0 )

项为 0)转化成函数问题来求解. [举例 1]若 { a n } 是等差数列,首项 a 1 ? 0 , a 2006 ? a 2007 ? 0 , a 2006 ? a 2007 ? 0 ,则(1)使 前 n 项和 S n 最大的自然数 n 是__;(2)使前 n 项和 S n ? 0 的最大自然数 n ?
4012 ( a 1 ? a 4012 ) 2



分析: 由条件可以看出 a 2006 ? 0 , a 2007 ? 0 , 可知 S 2006 最大, 则使 S n 最大的自然数为 2006;
S 由 a 2006 ? a 2007 ? 0 知 a 1 ? a 4012 ? 0 , 4012 ? ? 0 , 4013 ? 4013 ? a 2007 , S

所以 S 4013 ? 0 ,则使 S n ? 0 的最大自然数为 4012. [举例 2]在等差数列 { a n } 中,满足 3 a 4 ? 7 a 7 且 a 1 ? 0 , S n 是数列前 n 项的和.若 S n 取得 最大值,则 n ? _____. 分析:首项、公差(比)是解决等差(比)数列的最基本出发点.等差(比)数列的运算多 可 以 通 过 首 项 与 公 差 ( 比 ) 来 解 决 . 由 3a 4 ? 7 a 7 知
3( a1 ? 3d ) ? 7 ( a1 ? 6 d ) ? d ? ? 4 33 a 1 ,则 a n ? a 1 ?

4 ( n ? 1) a 1 33

?

37 ? 4 n 33

a 1 .当 n ? 9

时 a n ? 0 ,当 n ? 10 时 a n ? 0 ,所以 n ? 9 . 39 、 数 列 { a n } 是 等 比 数 列 , 其 前 n 项 的 和 S n 是 关 于 q 的 分 段 函 数
Sn q ?1 ? na 1 ? n ? ? a (1 ? q ) ,在求和过程中若公比不是具体数值时,则要进行讨论. 1 ,q ?1 ? ? 1? q
1 a1
n? ?

[举例 1]数列 { a n } 是等比数列,前 n 项和为 S n ,且 lim S n ?

,求 a 1 的取值范围.

分析:注意到等比数列的公比是不为零的常数,前 n 项和存在的前提条件是 | q |? 1 ,且
lim S n ?
n? ?

a1 1? q

, 知
2)

a1 1? q

?

1 a1

, 则 a 1 ? 1 ? q , 有 a 1 ? ( 0 ,1) ? (1, 2 ) , 则

2

2

a 1 ? ( 0 ,1) ? (1,

? ( ? 2 , ? 1) ? ( ? 1, 0 ) .

[举例 2]数列 { a n } 是等比数列,首项 a 1 ? 1 ,公比 q ? ? 1 ,求 lim

1 Sn

n? ?

的值.

分析:涉及到等比数列的前 n 项和的问题不能直接的应用公式,要考虑到公比的取值情况. 当 q ? 1 时, S n ? na 1 ? n ,此时 lim
lim 1 Sn

1 Sn

n? ?

? lim

1 n

n? ?

? 0 ;当 q ? 1 时, S n ?

1? q

n

1? q

,则

n? ?

= lim

1? q 1? q
n

n? ?

?1 ? q , (| q |? 1) ? ? . (| q | ? 1) ? 0,

40、等差数列、等比数列的“基本元”是首项、公差(比),当觉得不知如何用性质求解 时,可以把问题转化成“基本元”解决.学会用任意两项关系:若 { a n }是等差数列,则对

于任意自然数 m , n 有 a n ? a m ? ( n ? m ) d ;若 { a n }是等比数列,则对于任意的自然数
m , n ,有 a n ? a m ? q
n?m

.在这两关系式中若取 m ? 1 ,这就是等差(比)数列的通项公式.

[举例 1]已知数列 { a n } 是等差数列,首项 a 1 ? 0 ,且 3 a 5 ? 5 a 7 ? 0 .若此数列的前 n 项 和为 S n ,问 S n 是否存在最值?若存在, n 为何值?若不存在,说明理由. 分析:对于本题来说,等差数列的基本性质用不上,可以化归为首项与公差来解决.设此数 列的公差为 d ,则 3 ( a 1 ? 4 d ) ? 5 ( a 1 ? 6 d ) ? 0 ,即 d ? ?
4 21 a 1 ,由 a 1 ? 0 知 d ? 0 ,所

以 数 列 {a n } 是 递 减 数 列 , 故 S n 有 最 大 值 而 无 最 小 值 . 由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 知 :
a n ? a 1 ? ( n ? 1)( ? 4 21 a1 ) ? 25 ? 4 n 21 a 1 ,当 n ? 6 时, a n ? 0 ,当 n ? 7 时, a n ? 0 .所以

S 6 最大.综上知,当 n ? 6 时, S n 最大,不存在最小值.

[举例 2]已知正项等比数列 { a n } 中,首项 a 1 ? 1 ,且 a 5 ? a 7 ? 1 .若此数列的前 n 项积为
T n ,问 T n 是否存在最值?说明理由.

3

5

分析:与举例 1 联系起来,这是数列中的“类比”问题.其解决的思想方法是一样的.对于 单调正项数列,前 n 项积 T n 最大(小),则应满足 ?
?a n ? 1 ? a n ?1
?

?a n ? 1 (? ). ? 1 ? a n ?1 ? 1
4

4 3 6 4 设此数列公比为 q ,则 ( a 1 q ) ? ( a 1 q ) ? 1 ,则 q ? a 1

21

. a n ? a1 ? ( a1

?

4 21

)

n ?1

? a1

25 ? 4 n 21

.

由 a 1 ? 1 知: n ? 6 时, a n ? 1, n ? 7 时, a n ? 1 .所以当 n ? 6 时, T 6 最大, T n 没有最小 值. [特别注意]等差数列与正项等比数列之间存在的类比关系实际上是运算上的变化,这种变 化可以由等差数列与等比数列的一个性质来揭示.我们知道:若数列 { a n } 是正项等比数列, 记 b n ? log
bn ? m
an

m

a n ( m ? 0 , m ? 1) ,则数列 { b n } 是等差数列.反之若数列 { a n } 是等差数列,记

( m ? 0 ) ,则数列 {b n } 是等比数列.

41、已知数列的前 n 项和 S n ,求数列的通项公式时,要注意分段 a n ? ? 当 a 1 满足 a n ? S n ? S n ?1 , ( n ? 2 ) 时,才能用一个公式表示.

?S1

n ?1

? S n ? S n ?1 , n ? 2

.

[举例] 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? ( a ? 2 ) n ? n ? a .若 { a n } 是等差数列, { a n } 的 求
2

通项公式. 分析:证明一个数列是等差数列或是等比数列,要从等差、等比数列的定义出发.等差、等 比数列的性质不能作为证明的理由. 由 S n ? ( a ? 2 ) n ? n ? a 知,n ? 1 时,a 1 ? S 1 ? 2 a ? 1 , n ? 2 时,a n ? S n ? S n ?1 ? 当
2

2 ( a ? 2 ) n ? ( 3 ? a ) .当 n ? 2 时,a n ? 1 ? a n ? 2 ( a ? 2 ) , a 2 ? a 1 ? a ? 4 .若数列 { a n } 是 而

等差数列,则 2 ( a ? 2 ) ? a ? 4 ,所以 a ? 0 .则 a n ? ? 4 n ? 3 . 42、形如: a n ?1 ? a n + f ( n ) 的递推数列,求通项用叠加(消项)法;形如:
a n ?1 an ? g (n)

的递推数列,求通项用连乘(约项)法. [举例]数列 { a n } 满足 a 1 ? 1, a n ? 3
n ?1

? a n ?1 ( n ? 2 ) ,求数列 { a n } 的通项公式.
a n ?1 an

分析:解决这种递推数列的思想方法实质上是等差、等比数列求通项公式的思想方法.等差 数列的基本递推关系: a n ?1 ? a n ? d ,等比数列的递推关系:
a n ? a n ?1 ? 3 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3
n ?1

? q.

n?2

由题知: a n ? 2 ? a n ? 3 ? 3 n ? 3
??? a 2 ? a1 ? 3
a n ? a1 ? 3
n ?1

1

? ? ? ? ? ( n ? 2 ) 相加得: ? ? ? ?
3 (1 ? 3 2
n ?1

?3

n?2

?? ?3 ? ?
n

)

, a1 ? 1 , 又 所以 a n ?

3 ?1
n

2

(n ? 2) , a1 而

满足此式,则 a n ?

3 ?1 2

(n ? N ) .

43、一次线性递推关系:数列 { a n } 满足: a 1 ? a , a n ? 1 ? b ? a n ? c , ( a , b , c 是常数)是最 重要的递推关系式,可以看出当 b ? 1 时,此数列是等差数列,当 c ? 0 ( b ? 0 ) 时,此数 列是等比数列.解决此递推的方法是通过代换(令 b n ? a n ? k ) 化成等比数列求解. [举例]已知数列 { a n } 满足: a 1 ? 1, a n ? 1 ? 2 a n ? 1, ( n ? N ) ,求此数列的通项公式. 分析:由 a n ? 1 ? 2 a n ? 1 得: a n ? 1 ? 1 ? 2 ( a n ? 1) 知数列 { a n ? 1} 是等比数列,首项为 2,
n n 公比为 2,所以 a n ? 1 ? 2 ,知 a n ? 2 ? 1 .

44、在解以数列为模型的数学应用题时,要选择好研究对象,即选择好以“哪一个量”作 为数列的“项”,并确定好以哪一时刻的量为第一项;对较简单的问题可直接寻找“项” 与“项数”的关系,对较复杂的问题可先研究前后项之间的关系(即数列的递推公式), 然后再求通项. [举例]某企业去年底有资金积累 a 万元,根据预测,从今年开始以后每年的资金积累会 在原有的基础上增长 20%, 但每年底要留出 b 万元作为奖励金奖给职工.企业计划用 5 年时 b 的最大值. 间使资金积累翻一番,求 分析:与年数相关的应用题在解答过程中要注意项数与年数之间的关系,在设数列时就要 指明.特别注意年底、年初的不同. 设从今年开始每年底该企业的资金积累为 a n 万元,则 a 1 ? a (1 ? 20 %) ? b ? 元) a n ? 1 ? a n (1 ? 20 %) ? b ? , 是以 a 1 ? 4 b ?
a n ? 4b ? ( 5 4
5 4

5 4

a ? b (万

5 4

a n ? b , a n ?1 ? 4 b ? 则
5 4

5 4

( a n ? 4 b ) .所以数列 { a n ? 4 b }

a ? 5 b 为首项,

为公比的等比数列,所以 a n ? 4 b ? (

5 4

a ? 5 b )(

5 4

)

n ?1



a ? 5 b )(

5 4

)

n ?1

. 由 题 知 a 5 ? 2 a , 则 4 b ? (1 . 2 a ? 5 b )( 1 . 2 ) ? 2 a , 求 得 :
4

b ?

763 9950

a ? 0 . 08 a .即 b 的最大值大约为 8% a .

45 、 常 见 的 极 限 要 记 牢 : lim q
n? ?

n

q ?1 ?1, ? ? ?0, | q |? 1 , 注 意 lim q n 存 在 与 n? ? ? ? 不存在, | q | ? 1或 q ? ? 1
f (n) g (n)
n? ?

n? ?

lim q

n

? 0 是不相同的;若 f ( n ), g ( n ) 是关于 n 的多项式函数,要会求 lim

.

[举例 1]求下列各式的值:( lim

a 2

n n

?2 ?a

n n

n? ?

(a

2

? 4) .

分析:对于指数型的分式型极限,一般是分子、分母同除以幂底数绝对值较大的幂,这样
a n ( ) ?1 可以求出极限.当 | a |? 2 时,原式 ? lim 2 ? 1; n? ? a n 1? ( ) 2 2 n 1? ( ) a 当 | a |? 2 时,原式 ? lim ? ?1 . n? ? 2 n ( ) ?1 a

[举例 2]若 lim

an

2

? bn ? 2

n? ?

3n ? 4

? 1 ,则 a ? ____; b ? ____.

分析:对于分子分母是关于 n 的整式的分式型极限,若分子的最高的幂指数大于分母的最 高的幂指数,则此式极限不存在;当分子的最高的幂指数与分母的最高的幂指数相同时, 极限是分子、分母的最高次幂的系数比;当分子的最高的幂指数小于分母的最高的幂指数 时,极限是零. 注意到此式极限为 1 是存在的,由上分析知 a ? 0 , 46、理解极限是“无限运动的归宿”. [举例]已知△ABC 的顶点分别是 A ( 0 , ), B ( 0 , ?
n 2 2 n ), C ( 4 ? 2 n , 0 )( n ? N ) ,记△ABC 的
b 3 ? 1 ,所以 a ? 0 , b ? 3 .

外接圆面积为 S n ,则 lim S n ? _____.
n? ?

分析: 本题若要先求出三角形 ABC 的面积后再求极限则是 “漫长” 的工作, 注意到当 n ? ? 时 A、B、C 点的变化,不难看出△ABC 被“压扁”成一条长为 4 的线段,而此线段就是 此三角形外接圆的直径.从而有 lim S n ? 4 ? .
n? ?

第六部分

排列、组合与概率

47、解排列组合应用题是首先要明确需要完成的事件是什么,其次要分清完成该事件是分 类还是分步,另外要有逐一列举思想、先选后排思想、正难则反(即淘汰法)思想.简单 地说:解排列、组合问题要搞清“做什么?怎么做!”分步做时要考虑到每一步的可行性 与“步”与“步”之间的连续性.尤其是排列问题,更要注意“特殊元素、特殊位置”之

间的关系,一般地讲,从正面入手解决时,“特殊元素特殊照顾,特殊位置特殊考虑.” 相邻问题则用“捆绑”,不邻问题则用“插空”.特别提醒:解排列、组合问题时防止记 数重复与遗漏. [举例]对于问题:从 3 位男同学,5 位女同学这 8 位同学中选出 3 人参加学校一项活动, 求至少有 2 位女同学的选法种数.一位同学是这样解的:先从 5 位女同学中选出 2 名有 C 5
1 2

种选法,再在剩下的 6 位同学中任选一位有 C 6 种选法,所以共有 C 5 ? C 6 种不同的选法. 请分析这位同学的错误原因,并给出正确的解法. 分析:这位同学的解法中犯了计数重复的错误.不妨设女同学的编号为 A、B、C、D、E, 1 如先选的 C 52 为 A、B,再选的 C 6 为 C,和先选的为 A、C,再选的为 B 是同一种选法.本 解法中作为两种不同的结果计数,所以重复. 正确解法有两种:方法一:(分类讨论)选出的 3 人中至少有 2 名女同学,则为 2 女 1 1 男有 C 52 ? C 3 种不同选法,3 位都为女同学有 C 53 种不同选法.两种结果都能完成这件事,
1 所以有 C 52 ? C 3 ? C 53 ? 40 种不同的选法.方法二: (去杂法)8 位同学中选出 3 人不满足条 1 件和选法为 3 男与 2 男 1 女.所有选法为 C 83 ,则满足题义的选法为: C 83 ? C 33 ? C 32 ? C 5 .

2

1

48、简单地说:事件 A 的概率是含有事件 A 的“个体数”与满足条件的事件的“总体数” 的比值.现行高考中的概率问题实际上是排列、组合问题的简单应用. [举例]定义非空集合 A 的真子集的真子集为 A 的“孙集”,集合 A ? {1,3 ,5 , 7 ,9} 的真子 集可以作为 A 的“孙集”的概率是______. 分析:本例是“即时性”学习问题.要正确理解“孙集”的定义——“真子集的真子集”. 元素为 n 个的集合的真子集有 2 ? 1 个,其真子集的元素最多有 n ? 1 个.有 n ? 1 个元素的 集合的真子集最多有 n ? 2 个元素.所以有 n 个元素的集合的“孙集”实际上是原集合中的
n

小于等于 n ? 2 个元素的真子集.故其概率 ?

C5 ? C5 ? C5 ? C5
0 1 2

3

2 ?1
5

?

26 31

.

第七部分
形法则”,
1 2
? ?

向量

49、 向量加法的几何意义: 起点相同时适用平行四边形法则 (对角线) 首尾相接适用 , “蛇
( AB ? AC ) 表示△ABC 的边 BC 的中线向量.向量减法的几何意义:起点相

同适用三角形法则,(终点连结而成的向量,指向被减向量), | AB | 表示 A、B 两点间
b a 的距离; a 、 为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量 a + b 、 ? b(或 b ? a ) 以 .

[举例]已知非零向量 a , b 满足: | a ? b |? | a ? b | ,则向量 a , b 的关系是( ) A、平行; B、垂直; C、同向; D、反向. 分析:注意到向量运算的几何意义: | a ? b | 与 | a ? b | 表示以 a 和 b 为一组邻边的平行四 边形的两对角线的长.我们知道:对角线相等的平行四边形是矩形,从而有 a ? b .选 B. 另一方面,本例也可以利用向量的运算来进行求解.
| a ? b |? | a ? b |? ( a ? b )
2

? ( a ? b ) ,化简得: a ? b ? 0 ,有 a ? b .
2

50、理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义.与非零向量 a 同向的单位向量 a 0 ?

a |a|



反向的单位向量 a 0 ? ?

a |a|

.
AB | AB | AC | AC | ), ( ? ? R ) 则点 P 的轨迹是(

[举例]已知△ABC,点 P 满足 AP ? ? ( A、BC 边上的高所在直线; C、 ? A 平分线所在直线;

?



B、BC 边上的中线所在直线; D、BC 边上中垂线所在直线.
AB | AB | ? AC | AC |
AB , AC

分析:这是一道很“漂亮”的与向量相关的问题. AP ? ? (

), ( ? ? R ) ,它涵

盖了单位向量、向量加法的意义、数与向量乘积的概念等.注意到
AB AC

分别是

| AB | | AC |

是以 AB , AC 上的单位向量为邻边的菱形的对 | AB | | AC | ??? ? ???? ??? ? AB AC ? 角线上的向量,所以 A P ? ? ( ??? ? ???? ) 所在直线是 ? A 平分线所在直线,则 P 点的 | AB | | AC | 轨迹是 ? A 平分线所在直线.选 C. 51、 两向量所成的角指的是两向量方向所成的角.两向量数量积 a ? b ? | a || b | cos ? a , b ? ;
? ? ?

AB , AC 上的单位向量,则

?

其中 | b | cos ? a , b ? 可视为向量 b 在向量 a 上的射影. [举例 1]已知△ABC 是等腰直角三角形, ? C =90°,AC=BC=2,则 AB ? BC =_; 分析:特别注意的是,向量 AB 与 BC 的夹角不是△ABC 的内角 B, AB 与 BC 的夹角 是 ? B 的外角.(如图)由 AC ? BC ? 2 ,则 AB ? 2 2 ,则
AB ? BC ? | AB | ? | BC | cos 3? 4 ? 2 2 ? 2 ? (? 2 2 ) ? ?4 .

A A C P D B

[举例 2]P 是△ABC 边 BC 的中线 AD 上异于 A、D 的动点, AD=4,则 PA ? ( PB ? PC ) 的取值范围是________. 分析:由 D 是 BC 的中点知 PB ? PC ? 2 PD , PA 与
PD 反向,它们所成角为 ? .设 | PA |? x ( 0 ? x ? 4 ) ,则

B

C

| PD |? 4 ? x .那么 PA ? ( PB ? PC ) ? 2 PA ? PD ? ? 2 x ( 4 ? x )( 0 ? x ? 4 ) .所以其取值范

围为 [ ? 8 , 0 ) .
2

52、向量运算中特别注意 a 运算. [举例]已知 | a |?
| CD | .

? | a | 的应用.研究向量的模常常先转化为模平方再进行向量

2

2 , | b |? 1 ,且 a , b 的夹角为

?
4

,又 OC ? ? a ? 3 b , OD ? 2 a ? b ,求

分析: CD ? OD ? OC ? ( 2 a ? b ) ? ( ? a ? 3 b ) ? 3 a ? 4 b ,则 | CD |? | 3 a ? 4 b | ,由题知

a ? b ? 1 ,所以 | CD |?

(3 a ? 4 b )

2

?

9 a ? 24 a ? b ? 16 b

2

2

?

10 .

注意:有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解,本例就可以由作图得解.请同学 们自己完成. 53、向量的坐标运算是高考中的热点内容,要熟练掌握.已知 a ? { x 1 , y 1 }, b ? { x 2 , y 2 } 则
a ? b ? { x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 }, a ? b ? x 1 ? x 2 ? y 1 ? y 2 .若 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 AB ? { x 2

- x 1 , y 2 ? y 1 } ,其坐标形式中是向量的终点坐标减去起点坐标.请注意:向量的坐标形式 实质上是其分解形式 x ? i ? y ? j 的“简记”.其中 i, j 分别表示与 x 轴、 y 轴正方向同向的 单位向量.与向量坐标运算最重要的两个结论:若向量 a ? { x 1 , y 1 }, b ? { x 2 , y 2 } 是非零向 量则有: a ? b ? x 1 ? x 2 ? y 1 ? y 2 ? 0 ; a // b ? x 1 ? y 2 ? x 2 ? y 1 ? 0 .
OA [举例] O 是直角坐标原点, ? 2 i ? 3 j , OB ? 4 i ? j , x 轴上求一点 P, AP ? BP 设 在 使 最小,并求此时 ? APB 的大小.

分析:设 P ( x , 0 ) ,则 AP ? { x ? 2 , ? 3}, BP ? { x ? 4 ,1}, 则 AP ? BP ? ( x ? 2 )( x ? 4 ) ? 3 =
x ? 6 x ? 5 ? ( x ? 3) ? 4 , 所以当 x ? 3 时,AP ? BP 的最小值为 ? 4 . 此时 AP ? {1, ? 3} ,
2 2

BP ? {? 1,1} , AP , BP 所夹角等于 ? APB , 所以 cos ? APB ?
2 5 5

AP ? BP | AP || BP |

? ?

2 5 5

.所以

? APB ? ? ? arccos

.

54、利用向量求角时,要注意范围.两向量所成角的范围是 [ 0 , ? ] .特别注意 a ? b ? 0 不能等 同于 a , b 所成角是锐角.当 a , b 同向时也满足 a ? b ? 0 . [举例 1]已知△ABC,则“ AB ? AC ? 0 ”是“△ABC 为钝角三角形”的( A、充分不必要条件; B、必要不充分条件; C、充分必要条件; D、既不充分又不必要条件. )

分析:对于△ABC,由 AB ? AC ? 0 可知 ? A 是钝角,但△ABC 为钝角三角形,不一定 A 是钝角.选 A. [举例 2] l 是过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 ) 焦点的直线,它与抛物线交于 A、B 两点,O 是 坐标原点,则△ABO 是( ) A、锐角三角形; B、直角三角形; C、钝角三角形; D、不确定与 P 值有关.
? y 2 ? 2 px p p ? 分析:由直线 l 过焦点 F ( , 0 ) ,设其方程为 x ? my ? ,联立得: ? p ,即: 2 2 ? x ? my ? 2 ?
2

y ? 2 pmy ? p
2

2

? 0 , A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) , y 1 ? y 2 ? ? p , x 1 ? x 2 ? 设 则 又
2

y1

2

?

y2

2

=

2p

2p

p 4

2

.则 OA ? OB ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? ?

3p 4

2

? 0 ,则 ? AOB 一定是钝角.选 C.

55、关注向量运算与其它知识的联系,与三角函数综合是高考中的常见题型.

[举例]已知向量 a ? { 2 cos x ,1}, b ? {cos x , 3 sin 2 x }, x ? R .设 f ( x ) ? a ? b . (1)若 f ( x ) ? 1 ?
3 且 x ? [?

? ?
, 3 3

] ,求 x 的值;

(2)若函数 y ? 2 sin 2 x 的图像按向量 c ? { m , n }(| m |? 图像,求实数 m , n 的值. 分析: (1)由题知: f ( x ) ? 2 cos 由题: sin( 2 x ?
?
6 ) ? ? 3 2
2

?
2

) 平移后得到函数 y ? f ( x ) 的

x?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ?

3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 1,

,又 x ? [ ?

? ?
, 3 3

] ,所以 x ? ?

?
4

.
?
12

(2) 函数 y ? 2 sin( 2 x ? 而得,所以 m ? ?
?
12

?
6

) ? 1 是由函数 y ? 2 sin 2 x 向左平移

, 再向上平移 1 个单位

,n ? 1 .

56、 关注点、 函数图像 (曲线) 按某向量平移导致的坐标、 解析式 (方程) 的变化; M ( x , y ) 点 按向量 a ? { m , n } 平移得到点的坐标是 M / ( x ? m , y ? n ) ;曲线 C: f ( x , y ) ? 0 按向量
a ? { m , n } 平移得到曲线 C 的方程为 f ( x ? m , y ? n ) ? 0 .在实际应用过程中不必要死记
/

公式,可结合图形将函数图像(曲线)按某向量平移的问题可以先“翻译”成向左(右)、 向上(下)平移,再用函数图像变换的规律操作. [举例 1] 将椭圆
( x ? 2) 4
2

?

( y ? 3) 3

2

? 1 对应的曲线按向量 a 平移后得到的曲线的方程为

标准方程,则 a ? ____; 分析: 椭圆
( x ? 2) 4
2

?

( y ? 3) 3

2

? 1 的中心为 ( 2 , ? 3 ) , 平移后中心为 ( 0 , 0 ) , 则点 ( 2 , ? 3 ) 为

向量 a 的起点,点 ( 0 , 0 ) 为向量 a 的终点,所以 a ? {? 2 , 3} . [举例 2]平移坐标轴,将原点按向量 a 平移后,使椭圆 中化成为标准方程,则向量 a =_______. 分析:本例与上例平移方向相反.是将原点从 ( 0 , 0 ) 平移到 ( 2 , ? 3 ) ,因此 a ? { 2 , ? 3} . 注意到曲线(函数图像)的平移坐标系不变,而坐标轴的平移是曲线(函数图像)不变. 两者的方向是不同的,即向量的起点与终点恰好相反.
( x ? 2) 4
2

?

( y ? 3) 3

2

? 1 在新坐标系

第八部分

空间图形

57、平面的基本性质是高考中立体几何的重点内容.要掌握平面的基本性质,特别注意: 不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时,要注意讨论点在平面的同侧还 是两侧,会根据不同的情况作出相应的图形.

[举例 1]已知线段 AB 长为 3,A、B 两点到平面 ? 的距离分别为 1 与 2,则 AB 所在直 线与平面 ? 所成角的大小为_________; 分析:要注意到点 A、B 是平面 ? 同侧还是在平面 ? 的两侧的情况.当 A、B 在平面 ? 的 同侧时,AB 所在直线与平面 ? 所成角大小为 arcsin 所在直线与平面 ? 所成角为
?
2

1 3

;当 A、B 在平面 ? 的两侧时,AB

.

[举例 2]判断命题:“平面 ? 上有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则平面 ? 与平面 ? 是平行平面”的真假. 分析:这是一个假命题.只有当这三点在平面 ? 的同侧时,两平面才平行. 58、线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”;三类垂直的共同点是“成角 90°”. 线面平行、面面平行,最终化归为线线平行.线面垂直、面面垂直,最终化归为线线垂直. ? // ? ? [举例]已知平面 ? , ? ,直线 a , b .有下列命题:(1) ? ? a // ? ; a ? ??
a // b ? a // b ? ? ? (2) ? ? a // ? (3) a ? ? ? ? ? // ? ;(4) a ? ? ? ? ? // ? .其中正确的命 a ? ? ? b ? ?? b ? ?? ? ?

? ? ??

题序号是______. 分析:立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点,基本上每年的高考在选 择或填空题中都会有涉及,要充分理解符号语言所体现的几何意义.(1)体现的是两平面 平行的一个性质:若两平面平行,则一个平面内的任一直线与另一平面平行.(2)要注意 的是直线 a 可能在平面 ? 内.(3)注意到直线与平面之间的关系:若两平行直线中的一条 与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.(4)根 据两平面平行的判定知, 一个平面内两相交直线与另一个平面平行, 两平面才平行.由此知: 正确的命题是(1)与(3). ? ? 59、直线与平面所成角的范围是 [ 0 , ] ;两异面直线所成角的范围是 ( 0 , ] .一般情况下,
2 2

求二面角往往是指定的二面角,若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角(直角)情 况即可. [举例]设 A、B、C、D 分别表示下列角的取值范围:(1)A 是直线倾斜角的取值范围; (2)B 是锐角;(3)C 是直线与平面所成角的取值范围;(4)D 是两异面直线所成角的 取值范围.用“ ? ”把集合 A、B、C、D 连接起来得到__________. ? 分析:直线倾斜角的范围是 [ 0 , ? ) ,锐角的范围是 ( 0 , ) .由此: B ? D ? C ? A .
2

60、立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与 平面所成角的计算是重点(二面角的计算文科不要求).求两异面直线所成角可以利用平 移的方法将角转化到三角形中去求解,也可以利用空间向量的方法(要在方便建立坐标系 时用),特别要注意的是两异面直线所成角的范围.当求出的余弦值为 a 时,其所成角的大 C1 小应为 arccos | a | . B1 [举例]正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 AB 中点,则异面 D1 A1 直线 DE 与 BD1 所成角的大小为______. 分析:取 CD 中点 F,则 BF//DE.那么 ? D1BF 是异面直线 C B F E D A

DE 与 BD1 所成的角(或补角).设正方体的棱长为 2,可求 得: BD 1 ? 2 3 , BF ?
cos ? D 1 BF ? 15 5
5 , D1 F ? 5 .在△BFD1 中,求得

,所以异面直线 DE 与 BD1 所成角的大小为 arccos

15 5

.

对于异面直线所成角的计算,在便于建系的立体图形中(垂直关系明显:如正方体、长方 体或有一侧棱与底面垂直的棱锥等)也可以利用建系的方法进行求解, 但要注意到空间坐标系的建立方法,确定好坐标轴. z 建立如图坐标系,设正方体的棱长为 2,则 D 1 ( 2 , 0 , 2 )
B ( 0 , 2 , 0 ) , D ( 2 , 0 , 0 ) , E (1, 2 , 0 ) . BD 1 ? { 2 , ? 2 , 2 } ,

C1 D1 C D A E
x

B1 A1 B
y

DE ? {? 1, 2 , 0 } ,设向量 BD 1 与 DE 所成角为 ? ,则
cos ? ? BD 1 ? DE | BD 1 || DE | ? ?6 2 3? 5 ? ? 15 5
15 5

.所以异面直

线 DE 与 BD1 所成角的大小为 arccos

.

特别需要注意的是:两向量所成的角是两向量方向所成的角,它与两向量所在的异面直 线所成角的概念是不一样的.本题中的向量 BD 1 与 DE 所成的角大小是两异面直线 DE 与 BD1 所成角的补角. 61、直线与平面所成角的求解过程中,要抓住直线在平面上的射影,转化到直角三角形中 去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法,也可以利用三棱锥的体积转化. [举例]正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长是 2,BC1 与平面 ACC1A1 所成角为 30°.试 求:(1)三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积;(2)点 C 到平面 BAC1 的距离. C1 分析:(1)求三棱柱的体积,只要求出其高即可.由 BC1 与平面 A1 ACC1A1 所成角为 30°,则要作出 BC1 在平面 ACC1A1 上的射影. B1 取 AC 中点 E,则 BE ? AC ,所以 BE ? 平面 ACC1A1,则 EC1 是 BC1 在平面 ACC1A1 上的射影.有 ? BC 1 E =30°.由 BE ?
3,

知 C 1 E ? 3 ,所以 CC 1 ? 2 2 .则三棱柱的体积 V= C C 1 ? S ? A B C

E

C

A B =2 6 . (2)若直接求点 C 到平面 BAC1 的距离,则需要作垂线、定垂足,比较麻烦.利用体积转 化则比较简单.注意到三棱锥 C—ABC1 即为三棱锥 C1—ABC,其体积为 面 BAC1 的距离为 h , 则 的距离为
2 66 11
2 3 6

,设 C 到平

2 6 3

1 ? 3

? h ? S ? A B C .容易求得 S ? A B C ? 1 1

11 , 所以点 C 到平面 BAC1

.

62、长方体、正方体是最基本的几何体,要熟练掌握它们中的线面关系.长方体的长、宽、 高分别为 a , b , c ,对角线长为 l ,则 l
2

? a

2

?b

2

? c .利用这一关系可以得到下面两个结
2

2

2 论: 若长方体的对角线与三棱所成角分别为 ? , ? , ? , cos ? ? cos (1) 则

? ? cos

2

? ? 1;

(2)若长方体的对角线与三面所成角分别为 ? , ? , ? ,则 cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? 2 . [举例]长方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 AC1 与过 A 点的三条棱所成的角分别为 ? ? ,? ? ,则 ? =( ) ? , ? , ? ,若 ? ?
4

A、

?
6



B、

3 ? 4
2


? ? cos
2

C、

?
3


2

D、不确定.
1 4

分析:根据 cos 2 ? ? cos

? ? 1 得 cos

? ?

,则 cos ? ?

1 2

,? ?

?
3

.选 C.

63、正方体中线面关系可以说是高考中的重点内容,相当一部分的高考题是以正方体作为 载体进行命题,或是截取正方体的一部分进行命题.请特别关注正方体表面按不同形式的 展开图,会由展开的平面图形想象立体图形. [举例 1]如图是一正方体的平面展开图,在这个正方体中: (1)AF 与 CN 所在的直线平行; (2)CN 与 DE 所在的直线异面; (3)CN 与 BM 成 60°角; (4)DE 与 BM 所在的直线垂直. 以上四个命题中正确的命题序号是___________; 分析:将此展开图还原成正方体(如图).可以看出:(2)、(3)、(4)是正确命题.
N D C M

N E F D

M

E

A

B F

C A B

[举例 2]ABCD-A1B1C1D1 是单位正方体,黑、白两只蚂蚁从点 A 出发以相同速度沿棱 向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是 AA 1 ? A1 D 1 ? ? ? , 黑蚂蚁爬行的路线是 AB ? BB 1 ? ? ? ,在爬行过程中它们都遵循如下规则:所爬行的 第 n ? 2 段与第 n 段所在直线必须是异面直线 (其中 n ? N ) .设黑、 白两只蚂蚁都爬完 2007 段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、白两个蚂蚁的距离是( ) A、1; B、 2 ; C、 3 ; D、0. D1 3 分析:注意到它们的运动规律, C1 D1 4 C1 2 都是呈周期运动,运动周期为 6. A1 3 B1 A1 经过 2007 次运动, B1 4 5 由 2007 ? 6 ? 334 ? 3 知, 它们运动后所停位置就是 2 1 D C D C 第 3 次运动后所停位置. 5 6 则它们都到达 C1 点,所 6 A B 1 B 以这两蚂蚁之间的距离为 0,选 D. A 64、三棱锥顶点在底面三角形内射影为三角形的外心、内心、垂心的条件要分清楚. 外心:三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等(充要条件);

内心:三侧面与底面所成的二面角相等(充要条件); 垂心:相对的棱垂直(充要条件)或三侧棱两两垂直(充分条件). [举例]三棱锥的“三侧棱与底面所成的角相等且底面是正三角形”是“三棱锥为正三棱 锥”的( ) A、充分不必要条件;B、必要不充分条件;C、充要条件;D、既不充分又不必要条件. 分析:三侧棱与底面所成的角相等,则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心,又底面 是正三角形,则外心就是中心,知此三棱锥是正三棱锥.反之也成立,选 C. 65、关注正棱锥中的几个直角三角形. (1)高、斜高、底面边心距组成的直角三角形;(2)侧棱、斜高、底面棱长的一半组成 的直角三角形;(3)底面上的边心距、底面外接圆半径、底面棱长的一半组成的直角三 角形.(4)高、侧棱、底面外接圆半径组成的直角三角形. 进一步关注的是:侧棱与底面所成角、侧面与底面所成二面角的平面角都体现在这些 直角三角形中. [举例]若一正三棱锥的底面边长是 a ,体积为
3a 12
3

,则此三棱锥的侧棱与底面所成角

的大小为____;侧面与底面所成二面角的大小为____;此三棱锥的侧面积为__ __. 分析:如图,设正三棱锥 A—BCD 的高为 h .由题知: A
1 3 ? 3 4 a ?h ?
2

3 12

a ,则 h ? a .设 BC 中点为 E,顶点 A
3

在底面上的射影为 O.注意三角形 ADO 中含有侧棱与底面所 成角即 ? ADO 与侧面底面所成二面角的平面角即 ? AEO .由 底面是正三角形且边长为 a 知 EO ?
tg ? ADO ?

B E
?
3

D O

3 6

a , DO ?

3 3

a ,则

3 , tg ? AEO ? 2 3 .所以侧棱与底面所成角大小为

C ,侧面与底面所成二面

角大小为 arctg 2 3 .由 AE ?

39 6

a 知,可求得侧面积为

39 4

a .求侧面积也可以利用面

2

积射影定理,由侧面与底面所成二面角正切值为 2 3 ,则此二面角的余弦值为 三棱锥各侧面与底面所成的二面角都相等,则
S底 S侧 ? 1 13

1 13

,正

,所以 S 侧 ?

39 4

a .

2

66、直线与直线所成的角,直线与平面所成的角,二面角在计算过程中都有射影定理.两 直线所成角余弦值的大小是一直线上的线段在另一直线上的射影长 (过此线段两端点向另 一直线作垂线,两垂足之间的线段长,若两直线垂直,则两垂足重合,射影长为 0)与原 线段长的比;二面角的平面角(或其补角)的余弦值等于
/

S S

/

,其中 S 是一个半平面上的 D1 C1 A1 B1 F D A E B C

图形面积, S 是此图形在另一平面上的射影图形面积. [举例]如图,E 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CD 的中 点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的大小为______. 分析:B 点在直线 CD1 上的射影是 C 点,过 E 作 EF ? CD1

于 F,则 F 是 E 在直线 CD1 上的射影.设正方体棱长为 2, 则 BE ?
co s ? ?

5 ,CF ?
CF BE ? 10 10

2 2

.设 BE 与 CD1 所成角为 ? ,则
10 10

.所以 BE 与 CD1 所成角大小为 arcco s

.

说明:利用这种方法在解选择、填空等问题时比较方便,但要注意的此法解大题时慎用. 67、特别注意有一侧棱与底面垂直且底面为正方形、直角梯形、菱形等四棱锥,关注四个 面都是直角三角形的三棱锥.它们之间的线面关系也是高考命题的热点内容. [举例 1]如图三棱锥 S-ABC 中,SA ? 平面 ABC, ? ACB ? 90°,则此三棱锥的四个 面中的直角三角形的个数有_____个. 分析:此三棱锥的四个面都是直角三角形.此图中有三垂线定理 S (?
? SA ? 面 ABC ? BC ? AC ? BC ? SC );线面角( ? SCA 是 SC 与平面

ABC 所成的角, ? SBA 是 SB 与平面 ABC 所成的角);二面角的 平面角( ? SCA 是二面角 S—BC—A 的平面角)等. [举例 2]如图在底面是直角梯形的四棱锥

A
1 2

C . B

S-ABCD 中, ? ABC ? 90°,SA ? 平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= (1)求四棱锥 S-ABCD 的体积; 分析:(1)底面积 S=
1 2 ( AD ? BC ) ? AB ?

(2)求 SC 与 AB 所成角的大小.
3 4

,V ?

1 3

? S ? SA ?

1 4

.

(2)建立如图坐标系,则
S ( 0 , 01 ), C (1,1, 0 ), B ( 0 ,1, 0 ), SC ? {1,1, ? 1}, AB ? { 0 ,1, 0} , z

设向量 SC 与 AB 所成角为 ? , 则 cos ? ?
SC ? AB | SC || AB | ? 3 3
3 3

S
y

, B . A D

C
x

即 SC 与 AB 所成角的大小为 arccos

68、对平面图形的翻折问题要有所了解:翻折后,在同一半平面内的两点、点线及两线的 位置关系是不变的,若两点分别在两个半平面中,两点之间的距离一般会发生变化.要认 清从平面图形到空间图形之间的联系,能够从平面图形的关系过渡到空间图形的关系,根 据问题画出空间图形. [举例]如图在正三角形 ABC 中,D、E、F 分别是各边的中点,G、H、I 分别是 DE、FC、 EF 的中点.将三角形 ABC 沿 DE、 DF 折成三棱锥后, 与 IH 所成角的大小为 EF、 BG ( ) A、
?
6



A

B、

?
3



C、 arccos

2 3


ABC H

D、 arccos

3 3

.

D G B E I

F H C D G E I F

分析:平面图形翻折成三棱锥后,A、B、C 重合于一点,BG 是△BED 的中线,HI//BE. ? 所以 BG 与 HI 所成角为 .选 A.
6

69、图形的分解、组合是立几命题的新思路,学会平面到空间、空间到平面的转化. [举例]下面的一组图形为一四棱锥 S-ABCD 的侧面与底面. A
a a

D
a

a

a

2a

2a

B

a

C

a

a

a

a

(1)请画出四棱锥 S-ABCD 的示意图,是否存在一条侧棱垂直于底面?如果存在的话, 指出是示意图中的哪一条,说明理由. (2)求出此四棱锥的体积; (3)设 E 是最长侧棱的中点,F 是底面正方形 ABCD 的边中与最长侧棱异面的边的中点, 求 EF 与最短侧棱所成角的大小. S 分析:这是一道比较新颖的立体几何题.要能根据侧面与底面 的形状先把它拼起来后,再解题.问题是从立几中解决,因此 对于作图能力有一定的要求,作不出图则无法解决. E (1)如图知,侧棱 SA ? 底面 ABCD.因为侧面 SAB、SAD A 都是等腰直角三角形. D 1 3 F (2)该四棱锥的体积 V ? a ; C B 3 (3)最长侧棱是 SC,E 是 SC 中点,取底面边 AB 的中点为 F,最短侧棱为 SA.即求 EF ? 与 SA 所成角的大小.不难求出此角为 .
4

第九部分

直线与圆锥曲线

70、 直线的倾斜角是直线向上方向与 x 轴正方向所成的角, 当直线是 x 轴或与 x 轴平行时, 直线的倾斜角是 0°,直线倾斜角的范围是 [ 0 , ? ) .当直线与 x 轴不垂直时,倾斜角的正切 值称为直线的斜率. [举例]已知直线 l1 的斜率是
3 3

,直线 l 2 过坐标原点且倾斜角是 l1 倾斜角的两倍,则直

线 l 2 的方程为_________. 分析:由 l1 的斜率是
3 3

,知直线 l 1 的倾斜角为
3x .

?
6

,所以直线 l 2 的倾斜角为

?
3

,则 l 2 的斜

率为 3 ,所以直线 l 2 的议程为 y ?

71、若直线的倾斜角为 ? ,直线的斜率为 k ,则 ? 与 k 的关系是:

? ? ? ? tg ? , ? ? [ 0 , 2 ) ? ( 2 , ? ) k ? 0 ? arctgk , ? ?=? ; . k ? ? ? ? ? arctgk , k ? 0 ? 不存在, ? = ? ? 2 ? [举例]已知直线 l 的方程为 ax ? by ? c ? 0 , ( ab ? 0 ) 且 l 不经过第二象限,则直线 l 的倾

斜角大小为( A、 arctg
a b

) B、 arctg ( ?
a );



C、 ? ? arctg

a b



D、 ? ? arctg

a b

.

分析:注意到直线 l 的斜率 k ? ? 角为 arctgk ,选 B.

b a b

,又直线不过第二象限,则 k ? 0 ,所以此直线的倾斜

72、常见直线方程的几种形式及适用范围要熟悉:(1)点斜式 y ? y 0 ? k ( x ? x 0 ) ,过定 点 ( x 0 , y 0 ) 与 x 轴不垂直;(2)斜截式 y ? kx ? b ,在 y 轴上的截距为 b 与 x 轴不垂直; (3) 截距式
x a ? y b ? 1 , x 轴 y 轴上的截距分别为 a , b 与坐标轴不平行且不过坐标原点. 在

特别注意的是当直线过坐标原点(不是坐标轴)时,直线在两坐标轴上的截距也相等,直 线在两坐标轴上的截距相等,则此直线的斜率为-1,或此直线过原点. [举例]与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 1 相切,且在两坐标轴上截距相等的直线有( ) A、2 条; B、3 条; C、4 条; D、5 条. 分析:注意到截距与距离之间的区别,截距指的是曲线(直线)与坐标轴交点的一个坐标, 它有正负(也可以是 0)之分.选 B. 73、求直线的方程时要特别注意直线的斜率是否存在的情况,不确定时要注意分类讨论, 漏解肯定是斜率不存在的情况.要明确解析几何是“用代数方法解决几何问题”的道理, 所以做解析几何问题不要“忘形”. [举例]过点 P ( 2 ,3 ) 与坐标原点距离为 2 的直线方程是___________. 分析:若仅用点斜式设出直线方程,再用点到直线的距离来求解,则会漏解,这是因为在 设立方程的时候就排除了斜率存在的情况.考虑到直线 x ? 2 满足题义,故所求直线有两 条,其方程为: 5 x ? 12 y ? 26 ? 0 与 x ? 2 . 74、两直线位置关系讨论的主要依据是两直线的斜率,要注意斜率不存在时的情况.掌握 点到直线的距离公式、两平行直线之间的距离公式、两直线的夹角公式.由一般式方程判 断 两 直 线 之 间 的 关 系 : 直 线 l1 : A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 , ( A 1 , B 1 不 全 为 0 ) 、 l 2 :
A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 ,( A 2 , B 2 不全为 0).则 l1 // l 2 的充要条件是 A1 B 2 ? A 2 B 1 ? 0 且
A1 C 2 ? A 2 C 1 与 B 1 C 2 ? B 2 C 1 至 少 有 一 个 不 为 零 ; l1 ? l 2 的 充 要 条 件 是

A1 A 2 ? B 1 B 2 ? 0 ; l1 与 l 2 相交的充要条件是 A1 B 2 ? A 2 B 1 ? 0 .

[举例 1]直线 l 1 , l 2 斜率相等是 l1 // l 2 的( ) A、充分不必要条件;B、必要不充分条件;C、充要条件;D、既不充分又不必要条件. 分析:直线 l 1 , l 2 斜率相等,两直线可能重合,不一定有 l1 // l 2 ;又两直线 l1 // l 2 ,考虑到 特殊情况,若 l 1 , l 2 都与 x 轴垂直,则它们的斜率不存在,就谈不上斜率相等了.选 D. [举例 2]直线 l 过点 P ( 2 ,3 ) 与以 A ( 3 , 2 ), B ( ? 1, ? 3 ) 为端点的线段 AB 有公共点,则直线 l 倾斜角的取值范围是_________.

分析:直线与线段之间的关系可借助于数形结合的方法来解决,先确定出“极限”位置时 直线的倾斜角(斜率),再从旋转的角度进行变化研究. k PA ? ? 1, k PB ? 2 .若直线 l 与线段 AB 有公共点,则其斜率 k 存在时的取值范围是: k ? ? 1 或 k ? 2 ,或其斜率不存在.因此 3? 直线 l 倾斜角的取值范围是 [ arctg 2 , ].
4

利用数形结合解决这类问题时, 困惑的是要求的直线斜率的取值范围问题.可以这样来 确定:过定点 P 的直线(倾斜角为 ? )与线段 AB 有公共点(PA、PB 与 x 轴不垂直), PA、PB 的倾斜角分别为 ? , ? (? ? ? ) ,则 ? ? ? ? ? .若直线 l 的斜率为 k (存在的话), PA、PB 的斜率分别为 k 1 , k 2 ( k 1 ? k 2 ) ,当 k 1 ? k 2 ? 0 时,则有 k 1 ? k ? k 2 ;当 k 1 ? k 2 ? 0 时,则有 k ? k 1 或 k ? k 2 . 在解这类问题时也可以利用线性规划的有关知识来求解 .设直线 l 的方程为 f ( x , y ) ? 0 , A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,若 l 与线段 AB 有公共点(A、B 两点在直线 l 的两侧 或有一点在直线上),则 f ( x 1 , y 1 ) ? f ( x 2 , y 2 ) ? 0 ;若 l 与 AB 没有公共点(A、B 两点在 直线 l 的同侧),则 f ( x 1 , y 1 ) ? f ( x 2 , y 2 ) ? 0 .这样可很方便地求出直线 l 的斜率. 75、点 A、B 关于直线 l 对称即 l 是线段 AB 的垂直平分线,垂直是斜率关系,平分说明 AB 的中点在 l 上.特别注意:当对称轴所在直线的斜率为 1 或-1 时,对称点的坐标可用 代入的方法求得.即点 ( x 0 , y 0 ) 关于直线 x ? y ? c ? 0 的对称点是 ( ? y 0 ? c , ? x 0 ? c ) ;点
( x 0 , y 0 ) 关于直线 x ? y ? c ? 0 的对称点是 ( y 0 ? c , x 0 ? c ) .

[举例 1]将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点 A ( 2 , 0 ) 与点 B (0, 6 ) 重合,若点 C ( 3 , 0 ) 与点 D 重合,则点 D 的坐标为_____; 分析:实际上这是一个对称的问题,对称轴是 AB 的垂直平分线 l : x ? 2 y ? 5 ? 0 ,D 点 是 C 点关于直线 l 的对称点.求点关于直线的对称点的坐标要紧紧抓住垂直(斜率关系)平 分(中点坐标)这两个方面列方程组求解.设 D 点的坐标为 ( a , b ) ,则
a?3 2 ? 2? b 2
2

b a?3

? ? 2 ,且

? 5 ? 0 ,求得: D (

1 28 , ). 5 5

[举例 2]抛物线 C1: y ? 2 x 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称的抛物线为 C2,则 C2 的焦点 坐标为______. 分析:两抛物线关于一直线对称,则它们的焦点也关于此直线对称,只要求焦点关于此直 线的对称点即可.抛物线 C1 的焦点坐标为 ( , 0 ) ,所以 C2 的焦点坐标为 ( ? 2 , ) .
2 2 1 5

76、直线与圆的位置关系的判断主要是利用点(圆心)到直线的距离来判断.设圆 C 的半 径是 r ,圆心到直线 L 的距离是 d ,当 d ? r 时,直线 L 与圆 C 相离;当 d ? r 时,直线 L 与圆 C 相切;当 d ? r 时,直线 L 与圆 C 相交.求直线被圆所截的弦长可用圆半径、弦 心距、弦长一半组成直角三角形来求解.
2 2 2 [举例 1]已知点 ( a , b ) 是圆 x ? y ? r 外的一点, 则直线 ax ? by ? r 与圆的位置关系 是( ) A、相离; B、相切; C、相交且不过圆心; D、相交且过圆心.
2

分析:点 ( a , b ) 在圆 x 2 ? y 2 ? r 2 外,则 a 2 ? b 2 ? r 2 ,圆心到直线 ax ? by ? r 的距离
2

d ? a

r
2

2

?b

? r ,又 d ? 0 .选 C.
2

关注:若点 ( a , b ) 是圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上的一点,则直线 ax ? by ? r 是圆过此点的切线方
2

程;若点 ( a , b ) 是圆 x 2 ? y 2 ? r 2 外的一点,则直线 ax ? by ? r 是此圆过该点有两切线 的切点弦的方程.
2

[举例 2]若圆 O: x 2 ? y 2 ? r 2 上有且只有两点到直线 l : 3 x ? 4 y ? 15 ? 0 的距离为 2, y 则圆的半径 r 的取值范围是__________. 分析:如图:圆心 O 到直线 l 的距离为 3,与直线 l 距离为 2 的点的轨迹是与 l 平行且与 l 距离为 2 的两 l2 平行直线(图中虚线 l 1 , l 2 ).由题义知直线 l 1 与圆 O O x 有两不同交点,而 l 2 与圆 O 没有公共点.因此圆 O 半 径 r 的取值范围是 1 ? r ? 5 .
l1
l

77、确定圆的方程可以利用圆的标准方程 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 ,即确定圆心坐标与半 径;也可以利用圆的一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,即确定系数 D、E、F.要注意 的是方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是 D ? E ? 4 F ? 0 .确定一个 圆的方程需要三个互相独立的条件(因为标准方程与一般方程中都三个待定的系数). [举例 1]二次方程 Ax 2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是____ _; 分析:注意到圆的一般方程中没有 xy 这样的项,且二次项系数都为 1.则必有 B ? 0 ,且
A ? C ? 0 ,此时方程可以化成: x ? y ?
2 2

2

2

D A

x?

E A

y?

F A

? 0 .与圆的一般方程比较可
2

以得出:(

D A

) ?(
2

E A

) ?4
2

F A

? 0 .其充要条件为:A ? C ? 0 , B ? 0 , D

? E

2

? 4 AF ? 0 .

[举例 2]已知圆 C 被 y 轴截得的弦长是 2,被 x 轴分成的两段弧长之比为 1 : 3 ,求圆心 C 的轨迹方程. 分析:如图,设圆心 C ( x , y ) ,圆半径为 r .因圆被 y 轴截得的线段长为 2,圆心到 y 轴的
2 2 距离为 | x | ,则根据直线与圆的位置关系,知 r ? x ? 1 ,

y
r
O

又圆被 x 轴所分成的两段弧长之比为 1 : 3 ,则 x 轴被所截得 的弦所对的中心角为直角,圆心到 x 轴距离为 | y | ,则
r ?
2

C
r

2 | y | .则 x ? 1 ? 2 y .即所求的轨迹方程为
2 2 2

2y ? x

?1.

x

78、掌握圆的基本特征:圆上任意两点的垂直平分线是圆的直径所在的直线;直线平分圆 的充要条件是此直线一定过该圆的圆心; 与两定点连线所成角为直角的动点的轨迹是以定 线段为直径的圆(或圆弧)等. y 2 2 [举例 1]直线 l 过定点 M ( 4 , 0 ) 与圆 x ? y ? 4 交于 A、B 两点, A B M x N 则弦 AB 中点 N 的轨迹方程为_____________; O 分析:解决与圆有关的的问题要“对得起”圆.即要抓

住圆的几何特征.如图: ON ? AB ,M、O 都是定点, 所以 N 在以线段 OM 为直径的圆上,其方程为 ( x ? 2 ) ?
2

A O

y

y

2

? 4 .注意到点 N 在圆 x ? y
2 2 2

2

? 4 内,则弦 N 的轨

B

M

x

迹方程为 ( x ? 2 ) ? y ? 4 ( 0 ? x ? 1) .

[举例 2]直线 l 过定点 M ( 4 , 0 ) 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 交于 A、B 两点,O 是坐标原点,则△AOB 面积的最大值为_______; 分析:由圆的性质知,△AOB 是等腰三角形,| OA |? | OB |? 2 ,所以当 ? AOB 为直角时, 其面积最大,最大值为 2. [ 举 例 3 ] 已 知 A 是 圆 x 2 ? y 2 ? 2 ax ? 4 y ? 6 ? 0 上 任 意 一 点 , 点 A 关 于 直 线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称点也在圆上,那么实数 a 的值为_____. 分析: 圆上的点关于直线的对称点仍然在圆上, 则此直线必过圆心 ( a , ? 2 ) , 代入知:a ? 3 . 79、 两圆之间的位置关系的判断主要是利用两圆的半径的差或和与两圆的圆心距之间的大 | 小关系.设圆 A 的半径为 r1 , B 的半径为 r 2(不妨设 r1 ? r2 ) 则有: 圆 , (1) AB |? r1 ? r2 , 两圆外离;(2)| AB |? r1 ? r2 ,则两圆外切;(3) r1 ? r2 ? | AB |? r1 ? r2 ,则两圆相交; (4) | AB |? r1 ? r2 ,则两圆内切;(5) | AB |? r1 ? r2 ,则两圆内含.关注:两圆的位置 关系也可以由两圆的公切线的条数上来分. [举例 1]已知动圆 C 与定圆 M: ( x ? 2 ) ? y ? 1 相切,且与 y 轴相切,则圆心 C 的轨 x ? ?1 y 迹方程是____________; 分析:如图:(1)当两圆外切时,设动圆的半径为 r , 则 | CM |? r ? 1 ,C 到 y 轴的距离为 r ,则 C 到直 C N 线 x ? ? 1 的距离 | CN |? r ? 1 ,那么 C 到直线 x ? ? 1 的距离与 C 到 M 的距离相等,所以点 C 的轨迹是以 O x M M 为焦点,直线 x ? ? 1 为准线的抛物线.其方程为:
2 2

y

2

? 6( x ?

1 2

).

y

(2)当两圆内切时,可得 C 到 M 的距离与 C 到直线 x ? 1 的距离相等,所以此时点 C 的轨迹是以 M 为焦点, 直线 x ? 1 为准线的抛物线.其方程为: y ? 2 ( x ?
2

N O
).
3)

3 2

C M
x

). 3 2

所以圆心 C 的轨迹方程为: y

2

? 6( x ?

1 2

) 与 y ? 2( x ?
2

x ?1
2

2 [举例 2]已知 M ( 0 , 3 ) ,一动圆 I 过点 M 与圆 N: x ? ( y ? (1)求动圆圆心 I 的轨迹 C 的方程;

? 16 内切.

(2) 经过点 Q ( 2, 0 ) 作直线 l 交曲线 C 于 A、 两点, OP ? OA ? OB , B 设 当四边形 OAPB 的面积最大时,求直线 l 的方程. 分析:(1)如图,动圆 I 与定圆 N 内切,设动圆半径为 r , 则 | IN |? 4 ? r , | IM |? r .那么有:
| IN | ? | IM |? 4 , | M N |? 2 3 ,所以 I 点的轨迹是以 M、N

y
M O N I

x

为焦点 4 为长轴长的椭圆.其方程为 x ?
2

y

2

?1.
y
P A B O Q

4

(2)由 OP ? OA ? OB 知,四边形 OAPB 是平行四边形.要 使得四边形 OAPB 面积最大,则△OAB 的面积最大,注意变 化中的定值条件.△OAB 的面积是△AOQ 的面积与△BOQ 的 面积之差.设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 S ? A O B ? || y1 | ? | y 2 || . 可在联立方程组时,消去变量 x ,保留 y . 设直线 l 的方程为 x ? m y ? 2 ,
2 ? 2 y ?1 ?x ? 2 2 ? ( 4 m ? 1) y ? 1 6 m y ? 1 2 ? 0 .由 由? 4 ?x ? my ? 2 ?
2 △= (1 6 m ) ? 4 ? 1 2 ? (4 m ? 1) ? 0 ,得 4 m ? 3 ? 0 . 由韦达定理得:

x

2

2

y1 ? y 2 ? ?

16m 4m ? 1
2

, y1 y 2 ?

12 4m ? 1
2

知 y 1 y 2 ? 0 .则 S ? A O B ? || y1 | ? | y 2 || = | y 1 ? y 2 | .令 4 m ? 3 ? t ( t ? 0 ) ,那么:
2

?

( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ? 4
2

4m ? 3
2

( 4 m ? 1)
2

2

S ?8

t (t ? 4 )
2

?8 t?

1 16 t ?8
7 2

?8

1 2 16 ? 8

? 2 ,当 t ?

16 t

2 时等号成立.此时 m ?

7 4



即所求的直线方程为 x ? ?

y ? 4.

80、椭圆的定义中要注意隐含的条件:定值大于两定点之间的距离.掌握椭圆基本量之间 的关系,分清长轴、短轴、焦距、半长轴、半短轴、半焦距.椭圆最基本的几何性质是定 义的逆用:“椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴的长”. [举例 1]已知复数 z 满足 | z ? 2 i | ? | z ? 2 i |? 4 ,则 z 对应点的轨迹是_______; 分析:根据复数的几何意义, 复数 z 对应点到 2 i 与 ? 2 i 对应点的距离之和为 4,看似椭圆, 但注意到两定点之间的距离为 4.所以 z 对应点的轨迹是以 2 i 与 ? 2 i 对应点为端点的线段. [举例 2]设 P 是以 F1 , F 2 为焦点的椭圆
PF 1 ? PF 2 ? 0 , tg ? PF 1 F 2 ? 1 2
2 3

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 上的一点,若点 P 满足:

,则椭圆的焦距与长轴的比值为( ;
1 2

) D、
5 3

A、

1 2



B、

C、

1 3



.

分析: 由题知 PF 1 ? PF 2 , tg ? PF 1 F 2 ? 又 得 | PF 1 |?
4a 3 , | PF 2 | ? 2a 3

, | PF 1 |? 2 | PF 2 | .由 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2 a 则
2 5a 3

.则 2 c ? | F1 F 2 |?

.则

2c 2a

?

5 3

.选 D.

81、椭圆中一些常见的结论要记住,这对解决选择填空等客观性问题时比较方便,如:椭 圆的基本量 a , b , c 蕴含在焦点、中心、短轴端点所构成的直角三角形中;椭圆的短轴的端 点对两焦点的张角是椭圆上点与两焦点张角(与两焦点连线夹角)的最大值;短半轴、长 半轴的几何意义是椭圆上点与中心距离的最小值与最大值; 焦点到椭圆上点的距离的最大 值与最小值分别是 a ? c 与 a ? c ;过椭圆焦点的弦长最大值是长轴长,最小值是垂直于长 轴所在直线的弦(有时称为通径,其长为 [举例 1]一直线 l 过椭圆
x
2

2b a

2

).

?

y

2

? 1 的左焦点,被椭圆截得的弦长为 2,则直线 l 的方

4

2

程为_________; 分析:注意到此椭圆的通径长为 2,所以此直线的方程为 x ? ? 2 . [举例 2]椭圆
x
2 2

?

y

4

3

? 1 上有 2007 个不同的点 P1 , P2 , ? , P2007 ,椭圆的右焦点为 F,

数列 {| FP n |}( n ? 1, 2 ,3 , ? , 2007 ) 是公差为 d 的等差数列, d 的取值范围是_____. 则 分析:注意到 | PF n | 的取值范围是 [1, 3 ] ,若数列是递增数列,有 | PF 1 |? 1, | PF 2007 ? 3 , 此 时 0? d ?
1 1 1003

. 若 数 列 是 递 减 数 列 则 ?

? d ? 0

. 所 以

1 0 0 3 1 1 d ? [? ,0 ) ? ( 0 , ]. 1 0 0 3 1 0 0 3

82、椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 上任意一点 P 与两焦点 F1 , F 2 构成的三角形可称为椭圆

的焦点三角形.焦点三角形的周长为定值 ( 2 a ? 2 c ) ,利用解三角形的方法可以得出:当
? F1 PF 2 = ? 时,此三角形的面积为 b tg
2

?
2

(引起注意的是此结论的推导过程要掌握).

[举例]已知点 A ( ? 2 , 0 ), B ( 2 , 0 ) ,点 C 在直线 y ? 1 上满足 AC ? BC ,则以 A、B 为焦 点过点 C 的椭圆方程为____________. y y ?1 ? ? C 2 ? 2, 分析:注意到△ABC 的面积为 2,且 ? ACB ? ,即 b tg
2 4

则b

2

? 2 .所以所求的椭圆方程为

x

2

?

y

2

? 1.

A

O

Bx

6

2

另解:由图,因为△ABC 是直角三角形,|AB|=4, 2 2 2 A C ? B C ? A B ? 1 6 , | A C | ? | B C |? 2 S ? A B C ? 4 , 可求得 | A C | ? | B C |? 2 6 ( ? 2 a ) .所以所求的椭圆方程为
x
2

?

y

2

? 1.

6

2

83、双曲线的定义中的隐含条件是“两焦点之间的距离大于定值(实轴长)”,双曲线基 本量之间的关系要与椭圆基本量的关系区分开来, 从定义上来说椭圆与双曲线的定义是一 字之差,方程是一符号之差,但两者之间的几何性质完全不同. [举例]一双曲线 C 以椭圆
x
2

?

x

2

? 1 的焦点为顶点,长轴顶点为焦点,则此双曲线的

4

2

方程为_________. 分析:由题知双曲线的实轴在 x 轴上,可设其方程为 关系可得: a ? 2 , c ? 4 ,所以所求双曲线方程为
2 2

x a x
2

2 2

? ?

y b y
2

2 2

? 1 .注意到双曲线的其本量 ? 1.

2

2

84、渐近线是双曲线特有的几何性质,要特别注意双曲线的渐近线方程,理解“渐近”的 意义.双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的渐近线的方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 0, 与双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 共渐近

线的双曲线可以设成

x a

2 2

?

y

2 2

? ? (其中 ? ? 0 是待定的系数),双曲线的焦点到双曲线

b 的渐近线的距离是虚半轴长 b .

[举例 1]一双曲线与

x

2

? y

2

? 1 有共同渐近线且与椭圆

x

2

? y

2

? 1 有共同焦点,则此

3

3

双曲线的方程为________; 分析:由题可设所求双曲线的方程为 式为
x
2

x

2

? y

2

? ? ,因其焦点在 x 轴上,则 ? ? 0 .则标准 x
2

3 3? ? y
2

?

? 1 ,那么 3 ? ? ? ? 2 .得所求双曲线为
2

? y

2

?

1 2

.

3

[举例 2]若关于 x 的方程 x ? 1 ? k ( x ? 2 ) 有两个不等的实数根,则实数 k 的取值范 y 围是______. 分析:若从代数角度入手讨论比较麻烦.从数形结合入手, 借助于双曲线的渐近线,则很容易得解.在同一坐标系中 作出 y ?
x ? 1 (双曲线 x ? y
2

2

2

? 1 的上半部分)与
?2
O

y ? k ( x ? 2 ) (过定点 ( ? 2 , 0 ) 的直线)的图像.如图:可

x

得0 ? k ? 1. 85、记住双曲线中常见的结论:(1)过双曲线焦点的直线被双曲线同支截得的弦长的最 小值是通径(垂直于实轴的弦长),被两支截得的弦长的最小值是实轴的长;(2)双曲 线焦点到同侧一支上的点的距离最小值是 c ? a ,到异侧一支上点的距离最小值是 c ? a ; (3)双曲线
x a
2 2

?
2

y b

2 2

? 1 的焦点为 F1 , F 2 ,P 是双曲线上的一点,若 ? F1 PF 2 ? ? ,则△

F1 PF 2 的面积为 b ctg

?
2

(仿椭圆焦点三角形面积推导).
x
2

[举例 1]已知双曲线的方程为

?

y

2

9

16

? 1 ,P 是双曲线上的一点,F1、F2 分别是它的

两个焦点,若 | PF 1 |? 7 ,则 | PF 2 |? ______; 分析:由双曲线的定义 || PF 1 | ? | PF 2 || ? 6 ,知 | PF 2 |? 1 或 13.注意 P 点存在的隐含条件
| PF 1 | ? | PF 2 |? | F1 F 2 |? 10 ,所以 | PF 2 |? 13 .

[举例 2]椭圆

x

2

?

y

2

? 1 和双曲线

x

2

6

2

a

? y ? 1 的公共焦点为 F1 , F 2 ,P 是它们的一个
2

公共点,则 cos ? F1 PF 2 ? _____; 分析:由椭圆与双曲线有公共焦点,可得 6 ? 2 ? a ? 1 ,所以 a ? 3 由.又由椭圆的焦点三 角形的面积知△PF1F2 的面积为 2 tg 的面积为 ctg
1 2 ? F1 PF 2 ,则 2 tg
1 3 1 2 ? F1 PF 2 ,由双曲线的焦点三角形的面积知△PF1F2

1 2

? F1 PF 2 ? ctg

1 2

? F1 PF 2 .解得 tg

1 2

? F1 PF 2 ?

2 2



由万能公式得 cos ? F1 PF 2 ? 另解:也可以由 ?
| P F2 |? 6 ?

. (不妨设 | P F1 |? | P F2 | ),求得 | P F1 |?
1 3

? | P F1 | ? | P F 2 | ? 2 6 ? ? | P F1 | ? | P F 2 | ? 2 3 ?

6?

3 ,

3 ,又由 | F1 F 2 |? 4 ,利用余弦定理可得 cos ? F1 PF 2 ?
x
2

.

[举例 3]双曲线

? y

2

n

? 1( n ? 1) 的两焦点为 F1 , F 2 , P 是此双曲线上的一点,且满足

| PF 1 | ? | PF 2 | = 2 n ? 2 ,则△ PF 1 F 2 的面积为________.

分析:由题可以得出点 P 在椭圆 积公式可知对于椭圆 S ? tg
?
2

x

2

n?2

? y

2

? 1 上,设 ? F1 PF 2 ? ? ,由焦点三角形的面

,对于双曲线 S ? ctg

?
2

,则必有 ? ?

?
2

,所以△ PF 1 F 2 的

面积等于 1. 86、抛物线是高考命题中出现频率最高的圆锥曲线.仅从标准方程上,抛物线就有四种不 同的形式,要注意开口方向与标准方程的关系.不要将抛物线的标准方程与二次函数的表 达式相混淆.
2 [举例]抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标是_____;准线方程是_____.
2 2 分析:注意到方程 y ? 4 x 不是抛物线的标准方程,其标准形式为 x ?

1 4

y .所以此抛物

线的焦点坐标为 ( 0 ,

1 16

) ,准线方程为 y ? ?

1 16

.

87、记住抛物线的常见性质:(1)抛物线上任意一点到焦点距离等于它到准线的距离; (2)过抛物线的焦点与顶点的直线是抛物线的对称轴;(3)顶点、焦点、准线之间的关 系;(4)过焦点与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径,抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 ) 的通径 长为 2 p ;(5)通径是过抛物线焦点的弦中长度最小的一条. [举例 1]已知抛物线的焦点为 F (1,1) ,对称轴为 y ? x ,且过 M(3,2),则此抛物线的 准线方程为___; 分析:若仅局限于抛物线的标准方程,此题无法解决.考虑到抛物线的性质,准线是与对称 轴垂直, 则其方程可设为 x ? y ? b ? 0 .由抛物线的定义可知抛物线上点到焦点的距离与其
2

到准线的距离相等,因此 M ( 3 , 2 ) 到准线距离等于 | MF |?
b ? ?5 ? 10 .所以抛物线的准线为 x ? y ? 5 ?
10 ? 0 .

5 ,则

|5?b | 2

?

5 ,则

[举例 2]直线 l 过抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点与抛物线交于 A、B 两点,若 A、B 两点到 x 轴 的距离之和等于 3,则这样的直线 l 有( ) A、1 条; B、2 条; C、3 条; D、不存在. 分析:A、B 两点到 x 轴的距离之和为 3,则 A、B 两点到准线 y ? ? 1 的距离之和为 5.根 据抛物线的定义可得弦长 | AB |? 5 ,此抛物线的通径为 4,故满足题义的直线有 2 条.选 B. 88 、 过 抛 物 线 的 焦 点 的 直 线 被 抛 物 线 截 得 的 弦 称 为 抛 物 线 的 焦 点 弦 . 以 抛 物 线
y
2

焦点弦有下列常用性质: 设抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 ) 为例,
2

2

? 2 px ( p ? 0 ) 的焦点为 F,

A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 是抛物线上的两点.(1)A、B、F 三点共线的充分必要条件是
y 1 y 2 ? ? p ( x1 x 2 ?
2

p

4

) ;(2) | AB |? x 1 ? x 2 ? p ;(3)若 AB 过焦点,则以 AB 为

直径的圆与抛物线的准线相切;(4)AB 过焦点,则 OA ? OB 为定值;(5)AB 过焦点, 则
1 | AF | ? 1 | BF | ? 2 p

.

[举例 1]直线 l 过抛物线的焦点与抛物线交于 A、B 两点,O 是抛物线的顶点,则△ABO 的形状是( ) A、直角三角形;B、锐角三角形;C、钝角三角形;D、不确定与抛物线的开口大小有关. 分析:不妨设此抛物线的方程为 y ? 2 px ,过焦点的直线 l : x ? my ?
2

p 2

,代入抛物线方
y1
2

2 2 2 程得: y ? 2 pmy ? p ? 0 , A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) , y 1 y 2 ? ? p ,x 1 x 2 ? 设 则
2

?

y2

2

2p

2p

?

p

4

. OA ? OB ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? ?
2

3 4

p

2

? 0 ,所以 ? AOB 为钝角.选 C.

[举例 2]求证:过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 ) 焦点的所有弦长的最小值是 2 p . 分析:本例的证明方法很多.设其焦点弦为 AB, A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则由抛物线的定义 知 | A B | ? x1 ? x 2 ? p ? 2 x1 x 2 ? p ? 2
p
2

4

? p ? 2 p .当且仅当 x 1 ? x 2 时等号成立.此时

直线 AB 与对称轴垂直. 89、“点差法”是解决直线与圆锥曲线位置关系中与弦的中点有关问题的常用方法.“点” 是指弦端点、弦中点;“差”是指将弦端点坐标代入曲线方程作差.由点差法可以利用弦 中点的坐标表示出弦所在直线的斜率. [举例]已知点 M 是椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的一条不垂直于对称轴的弦 AB 的中点,O 是坐标

原点,设 OM、AB 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,则 k 1 ? k 2 =(



A、

a b

2 2



B、

b a

2 2



C、 ?
x1 a
2

b a

2 2


y1 b
2

D、 ?
? 1, x2 a
2

a b

2 2

.

分析:设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), M ( x 0 , y 0 ) ,则 得
( x 1 ? x 2 )( x 1 ? x 2 ) a
y1 ? y 2 x1 ? x 2 ? y0 x0
2

2

?

2

2

?

y2 b

2

2

? 1 ,两式作差

?

( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) b
2

? 0 ,又 x 1 ? x 2 ? 2 x 0 , y 1 ? y 2 ? 2 y 0 ,所以

? ?

b a

2 2

.即 k 1 ? k 2 ? ?

b a

2 2

.选 C.

90 、 当 直 线 过 x 轴 上 的 定 点 A ( a , 0 ) 时 , 若 直 线 不 是 x 轴 , 则 此 直 线 方 程 可 以 设 成 x ? my ? a .这样可以避免讨论直线斜率是否存在. [举例] 设直线 l 过椭圆
x
2

? y

2

? 1 的右焦点, 与椭圆相交于 A、 两点, 是坐标原点, B O

4

当△OAB 的面积最大时,求直线 l 的方程. 分析:由题可设直线 l : x ? my ?
3 代入椭圆方程中得:( m
2

? 4) y

2

? 2 3 my ? 1 ? 0 ,

设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 可得△OAB 的面积 S=
S ? 3 2
2

3 2

(| y 1 | ? | y 2 |) ?

3 2

| y1 ? y 2 | , 可得:

12 m (m
2

2 2

? 4)

? m

4
2

?4

? 2 3

m (m
2

2

?1 ? 4)
2

? 2 3 (m
2

1 ? 1) ? m
3.

9
2

, 则当
?1 ?6

m

? 1 ? 3 时,S 有最大值为 1.此时直线 l 方程为: x ? ?

2y ?

91、求动点的轨迹方程要能充分地将“动”与“定”有机的联系起来,以“定”制“动”. 也可以先由动点定轨迹后方程.常见动点的轨迹要熟记. [举例 1] 设点 P 为双曲线
x
2

? y

2

? 1 上的动点, 是它的左焦点, 是线段 PF 的中点, F M

4

则点 M 的轨迹方程是_____; 分析:设 P ( x 0 , y 0 ), M ( x , y ) 又 F ( 5 , 0 ) .由题义得: x 0 ? 2 x ?
x0 4
2

5 , y 0 ? 2 y ,代入

? y0

2

? 1 得: ( x ?

5 2

) ? 4y
2

2

? 1 即为所求的轨迹方程.像这种求轨迹的方法称为代

入转移法, 它适用于由定曲线上的动点所确定的另一动点的轨迹方程的求法.具体步骤是用 要求轨迹方程的动点坐标 ( x , y ) 来表示定曲线上的动点 ( x 0 , y 0 ) 坐标,代入定曲线的方程. [举例 2]已知椭圆的焦点是 F1 , F 2 ,P 是椭圆上的一个动点.如果延长 F1 P 到 Q,使得 ) A、圆; B、椭圆; C、双曲线的一支; 分析:注意到椭圆的性质: | PF 1 | ? | PF 2 | 为定值, 又 | PQ |? | PF 2 | ,所以 | F1 Q | 为定值.由圆的定义 知,Q 点的轨迹是以 F1 为圆心,椭圆长轴长为半径 的圆.选 A.这种求轨迹的方法称之为定义法:即是 根据常见曲线的定义来确定动点的轨迹. F1
| PQ |? | PF 2 | ,那么动点 Q 的轨迹是(
y

D、抛物线. Q P O F2
x

92、直线与圆锥曲线之间的位置关系的讨论主要是转化为方程根的个数的讨论,联立直线 与圆锥曲线方程得方程组,消去其中一个量得到关于另一个变量的一元二次方程,利用根 的判别式进行讨论,但要注意二方面:一是直线的斜率是否存在,二是所得方程是否为一 元二次方程.直线与非封闭曲线(双曲线、抛物线)联立得到的方程二次项可能为零. [举例]已知直线 l 过点 M (1,1) ,双曲线 C: x ?
? 1. 3 (1)若直线 l 与双曲线有且仅有一个公共点,求直线 l 的方程; (2)若直线与双曲线的右支有两个不同的交点,求直线 l 斜率的取值范围; (3)是否存在直线 l 使其与双曲线的有两个不同的交点 A、B,且以 AB 为直径的圆过坐
2

y

2

标原点?若存在求出此直线的斜率,不存在说明理由. 分析:(1)当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 x ? 1 满足题义.当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直 线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,联立得方程: ( 3 ? k ) x ? 2 k (1 ? k ) x ? ( k ? 2 k ? 4 ) ? 0 --(*) 2 当 3 ? k ? 0 时,方程(*)是一次方程,直线 l 与双曲线有一个公共点,此时直线 l 方程
2 2 2
2 为 y ? 1 ? ? 3 ( x ? 1) .当 3 ? k ? 0 时,由△ ? 48 ? 24 k ? 0 ,得 k ? 2 ,所以满足题义

的直线 l 为: x ? 1, 2 x ? y ? 1 ? 0 , y ? 1 ? ? 3 ( x ? 1) . ( 2 ) 直 线 l 与 双 曲 线 的 右 支 有 两 个 不 同 的 交 点 , 则 方 程 ( *) 有 两 不 等 的 正 根 . 由 △ ? 48 ? 24 k
2 k (1 ? k ) ? ? x1 ? x 2 ? 3 ? k 2 ? 0 ? ? 0 ,知 k ? 2 且 ? ,得 3 ? k ? 2 或 k ? ? 3 . 2 k ? 2k ? 4 ?x ? x ? ? 0 2 ? 1 2 k ?3 ?

(3)若以 AB 为直径的圆过坐标原点,则 OA ? OB ? 0 ,设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,即
x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 . ( k
2

2

? 1) x 1 x 2 ? k (1 ? k )( x 1 ? x 2 ) ? (1 ? k )

2

? 0 ,将 x 1 x 2 , x 1 ? x 2 代入化

简得: k ? 4 k ? 1 ? 0 , k ? ? 2 ? 3 (满足 k ? 2 ) 注意:解析几何的运算量比较大,一般来说似繁的运算式子最后可以化简得出,若遇 求解不出,问题常出在运算过程的失误.要有耐心、细心才行. 93、特别关注向量背景下的解几问题,及解几背景下的向量问题.能熟练地将“向量语言” 转化为“解几语言”,如: OA ? OB ? 0 即 OA⊥OB; AB ∥ AC 即 A、B、C 共线等; 有时也需要将 “几何语言” 转化为 “向量语言” 如: , ∠APB 为锐角等价于:PA ? PB ? 0 , 且 A、P、B 不共线. ? 2 [举例]倾角为 的直线 l 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 与抛物线交于 A、B 两点,点 C 是
3

抛物线准线上的动点. (1)△ABC 能否为正三角形? (2)若△ABC 是钝角三角形,求点 C 纵坐标的取值范围. 分析:(1)直线 l 方程为 y ? 得 A ( 3 , 2 3 ), B ( , ?
3 1 2 3 3
3 ( x ? 1) ,由 y
2

y

A C O F B
x

? 4x 可

) .若△ABC 为正三角形,则

? CAB ?

?
3 1 3

, 由 ? AFx ?
? 2 ? 16 3

?
3

, 那 么 CA 与 x 轴 平 行 , 此 时 | AC |? 4 , 又

| AB | ? 3 ?

.与|AC|=|AB|矛盾,所以△ABC 不可能是下正三角形.
4 3 2 3 3 ? m } ,CA ? CB ? ( m ? 2 3 3 )
2

(2) C ( ? 1, m ) , CA ? { 4 , 2 3 ? m }, CB ? { , ? 设 则 不可以为负,所以 ? ACB 不为钝角. 若 ? CAB 为钝角,则 CA ? BA ? 0 , BA ? { ,
3
m ? 10 3 3

8 8 3 3

} ,则

32 3

?

8 3 3

( 2 3 ? m )? 0 ,得

.
2 3 3

若角 ? ABC 为钝角,则 CB ? AB ? 0 且 C、B、A 不共线.可得 m ? ? 综上知,C 点纵坐标的取值范围是 ( ?? , ? 6 3 ) ? ( ? 6 3 , ?
2 3 3 )?(

且 m ? ?6 3 .
, ?? ) .

10 3

3

第十部分

解题技巧与应试心理

94、解含有字母运算的选择题时莫忘特殊值法:选择符合题意数值加以检验,是解这类问 题最有效方法;选择、填空题中要探讨一般性的结论可以在特殊值的背景中进行.另外遇 到方程、不等式求解的选择题通常采用取值(选择支中的边界值最好)去代入验证. ? [举例]函数 f ( x ) ? a sin x ? b cos x 图像的一对称轴方程是 x ? , 则直线 ax ? by ? c ? 0
4

的倾斜角是( A、
?
4

) B、
3? 4





C、

?
3



D、

2? 3

.
?
4

分析: 正弦曲线的对称轴方程是经过正弦曲线的最高 (最低) 点与 x 轴垂直的直线.即 x ?

时,函数 f ( x ) ? a sin x ? b cos x 取最大值(或最小值),取 a ? 1, b ? ? 1 即满足题义.知 直线的倾斜角为
3? 4

.选 B.

95、“数形结合”是解选择、填空题的重要的方法之一,特别是遇到含有字母的无理不等
2 2 式及含有 x ? y (曲线上的点到原点的距离的平方)、

y x

(曲线上的点与原点连线的斜

率)等带有明显“几何特征”的式子时,数形结合比较方便.若做解答题用“数形结合” 时,考虑到推理论证的严密,一定要辅之以必要的文字说明,不能以“由图知”代替推理. [举例 1]若关于 x 的不等式
n ? m ? a ? 1 ,则实数 a 的值等于(
x ? 1 ? a ? x ( a ? 1) 的 解 集 为 { x | m ? x ? n } , 且

A、2;

B、3;

C、4;

) D、5.

y

y ?

x ?1

分析:作出函数 y ?

x ?1 与y ? x ? a 的

图像(如图).可以看出 m ? 1 , x ? n 是方程

m

n a
y ? x?a

O 1

x

x ? 1 ? x ? a 的根.所以

n ? 1 ? n ? a ,又
3

n ? m ? a ? 1 ,由 n ? a ? 2 ,得 a ? 3 .选 B. [举例 2]已知函数 f ( x ) ? sin x ? 2 | sin x |, x ? [ 0 , 2 ? ] ,
? 3 sin x , x ? [ 0 , ? ]

y

若方程 f ( x ) ? k 有两个不同的解,则实数 k 的取值范围是___. 1 分析: f ( x ) ? ?
? ? sin x , x ? ( ? , 2 ? ] 直线 y ? k 与函数 y ? f ( x ) 的交点,则 1 ? k ? 3 .

.作出函数 f ( x ) 的图像.

O

?

2?

x

96、“分类讨论”一般是在解题过程无法进行下去时采取的措施,即“分类”是解题得以 继续的自然要求.只有搞清了为什么要分类,才知道怎样分类,然后把研究对象不重不漏 地划分为若干类,逐一进行研究,通过分类实际是为解题增加一个新的条件.当然,选用 适当的解法,能回避讨论时,应尽量回避.比如解分式不等式时,一般不是讨论分母的正 负,而是移项、通分后利用数轴标根法求解. [举例]已知函数 f ( x ) ? a ( x ? 1)( a ? R ) . (1)若不等式 f ( x ) ? 1 在(1,2)上的解集不是空集求 a 的取值范围; (2)解关于 x 的不等式 f (| x ? 1 |) ? 2 . 分析:(1)若从解不等式出发,则很繁.注意到 f (1) ? 0 ,且 f ( x ) 是关于 x 的一次函数形 式,只要 f ( 2 ) ? 1 即可.从而得 a ? 1 .这样就可以避免讨论. (2) f (| x ? 1 |) ? 2 ,即 a | x ? 1 |? a ? 2 . ①当 a ? 0 时,不等式解集为 ? ; ②当 a ? 0 时, | x ? 1 |? 1 ? ③当 a ? 0 时, | x ? 1 |? 1 ?
1? 2 a

2 a 2

,得 x ? 2 ? .若 1 ?
2 a
? x ? 2? 2 a

2 a

或x ? ?

2 a



? 0 ,即 ? 2 ? a ? 0 时,不等式解集为 ? ;当

? 0 ,即 a ? ? 2 时, ?

a 2
a

.

2 2 ? ( ? ? , ? ) ? ( 2 ? , ? ? ), ( a ? 0 ) ? a a ? 综上知不等式 f (| x ? 1 |) ? 2 的解集为: ? ? , (?2 ? a ? 0) . ? 2 2 ? ( ? , 2 ? ), (a ? ?2) a a ?

需要注意的是分类讨论的最后结果要有所总结,这才体现出解题的完整性. 97、解应用题重在读题,设法找出隐含的等量关系,把实际问题转化为数学问题,注意单 位一定要化统一,结论要回归到题目的设问上,别忘了“答”.具体地说:函数问题的关 键是正确地写出函数关系式(即建立等量关系)、数列问题要关注“前后项之间的关系”、 “解几”问题别忘了圆锥曲线的“定义”、三角问题经常要联系正(余)弦定理. [举例 1]用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的 一半多一块,??,依次类推,每一层都用去了上层剩下的砖块的一半多一块,如果到第 九层恰好砖块用完,那么一共用了___块砖. 分析:第九层用完,则第九层用砖 2 块.寻找相邻两层之间关系:设第 n 层用砖为 a n 块,

第 n ? 1 层用砖为 a n ? 1 块, 则有 a n ? 1 ?

an ? 2 2
2

? 1 , a n ?1 ? 即
3 9

1 2

an , 所以数列 { a n } 是公比为

1 2

的等比数列.由 a 9 ? 2 ,所以共用砖 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 1 0 2 4 块. 另一方面:设共用砖 x 块,前 n 层共用砖 S n 块,第 n 层用砖 a n 块,则有 a n ? 那么 a n ? 1 ?
x ? Sn 2 ? 1 ,两式相减可得 a n ? 1 ? 1 2 an .
x ? S n ?1 2 ?1,

[举例 2]甲、乙两地相距 s 千米,汽车从甲地匀速地驶往乙地,速度不得超过 c 千米 / 时. 已知汽车每小时运输成本 (以元为单位) 由可变部分和固定部分组成, 可变部分与速度 v(千 米/时)的平方成正比,比例系数为 b ,固定部分为 a 元. (1)把全程运输成本 y (元)表示为速度 v (千米 / 时)的函数; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大的速度行驶? 分析:函数型的应用性问题在列出函数关系式时要注意到函数的定义域,函数的定义域可 以从条件中得到. (1) y ?
s v ( b v ? a )(0 ? v ? c ) ;
2

(2) y ? s ( 由 若
a b

a v

? bv) , 应用基本不等式时, 要注意等号成立的条件.当

a v

v ? b v 时, ?
a v

a b



? c ,则 y ? 2 s a b ,此时 v ?

a b

;若

a b

? c ,可知函数 y ? s (
a b

? b v ) 在区间

(0 , c ] 上单调递减,此时 y ? c 时有最小值.综上知:当

? c 时,汽车应以

a b

千米/时

行驶;当

a b

? c 时,汽车应以 c 千米/时行驶.

98、解高考题要注意“长题不难”、“新题不难”的特点,从容镇定、认真审题间.比较 复杂的问题在解题过程中往往要遇到三次审题:一、把握好条件中的“关键词”,包括括 号内一些容易忽略的条件( a ? 1, b ? N ?,等),从中获取尽可能多的信息,迅速找出 解题方向;二、在解题受阻时,应再次审题,看看有没有漏掉什么条件,想想有什么隐含 条件;三、解完题后再次回顾题目,看看所得解答与题目要求是否吻合,是否合理. 99.要记住“解题是给别人看的”,因此要尽可能使得解题过程自然、流畅,尽可能使阅 卷老师能够清晰地了解(感受到)我们的思维脉搏.要学会使用文字叙述,用好关联词; 要对后面可能需要使用的式子和过渡性的结论做必要的标记(如:①、②、(﹡)等), 以便使用;为了使解题过程简洁,可以略去有理式运算、平面几何的简单论证等,但涉及 高中知识点、思考过程的要点及后面的解题要用的式子切不可跳过;解题的最后一步应回 归到题目的设问上. 100、高考不仅是知识考试,同时也是心理考试.拿到试卷应当充分利用好开答前的五分钟 时间,把试卷大题浏览一遍,确定解题的顺序.注意的是:小题中的“压轴题”(如填空 题中的 12 题,选择题中的 16 题)不一定比解答题的前两题容易,若一时找不到思路可先 放一放,不要在此花过多时间.做容易的题要冷静、细心,适当慢一点,就会准一点.其实 所谓考试就是把我们平时掌握的知识、培养的能力淋漓尽致地展现在考卷上,若能保证把 会做的题做对,就是成功.遇到难题要做到镇定分析、大胆设想.高考中偏难的解答题一般

会设置层次分明的“台阶”,也就是“难题”中也会有容易做的得分点,应争取拿到;即 使是毫无思路,也尽量不要空在那儿,不妨想到什么写什么,想到哪儿,写到哪儿;因为 没有什么情况会比“空”在那儿更严重的了!总之,考试的全部诀窍就是:力争会做的题 确保得满分,不会做的题争取多得分.做到我易人易我不大意,我难人难我不畏难.


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