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圆锥曲线训练题5

圆锥曲线训练题 5
一.单项选择题. 单项选择题 1. 椭 圆 A.5

x2 y 2 + = 1 上一点 25 16
B.7 C.8

到一个焦点的距离等于 3,则它到另一个焦点的距离为( D.10



2. 如 果 方 程 A.

表示焦点在 B. (0,2) C.

轴上的椭圆,那么实数 D. (0,1)

的取值范围是(



3. 椭圆



的关系为(



A.有相等的长、短轴 B.有相等的焦距 C.有相同的焦点 D.有相同的准线

4. 方程 ①若曲线 ④若曲线

所表示的曲线为 为椭圆, 则

. 为双曲线, 则 或 ; ③曲线 不可能是圆;

; ②若曲线

表示焦点在

轴上椭圆,则 ) C.②④ D.①②④

以上命题正确的是( A.②③ B.①④

5. 设双曲线

的一条准线与两条渐近线交于 )



两点,相应焦点为

,若

为正三角形,则双曲线的离心率为( A. 6. 已知抛物线 点坐标为( A. 7. 动点 A. 到点 B. ) B. C. 的距离比到直线 C. B.3 C. 的焦点为 D.2 ,定点

,在此抛物线上求一点

,使

最小,则

D. 的距离小 2,则动点 D. 的轨迹方程为( )

x2 2 8. 已知双曲线 2 y = 1( a > 0) 的一条准线与抛物线 y 2 = 6 x 的准线重合,则该双曲线的离心率为 a
( A. )

3 3 B. 2 2

C.

6 2 3 D. 2 3

二.填空题.

9.如果椭圆

与双曲线

的焦点相同,那么



10. 以椭圆

的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程是______. 的焦点, 与抛物线相交于两点 时,水面离拱顶为 ,若水下降 、 , 则线段 的长是____.

11. 斜率为 1 的直线经过抛物线 12. 抛物线形拱桥,当水面宽 三.解答题. 13. 已知双曲线与椭圆

,则此时水面宽为___________.

共焦点,它的一条渐近线方程为

,求双曲线的方程.

14. 已知动圆 的轨迹方程.

过定点

,并且在定圆

的内部与其相内切,求动圆圆心

15. 已知椭圆

及直线

. (1)当

为何值时,直线与椭圆有公共点?(2)若直线

被椭圆截得的弦长为

,求直线的方程.

16.设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 两点在抛物线 y = 2x 2 上,l 是 AB 的垂直平分线. (Ⅰ)当且仅当 x1 + x 2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论; (Ⅱ)(文)当 x1 = 1, x 2 = 3 时,求直线 l 的方程. (Ⅱ)(理)当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范围.

参考答案
一.单项选择题. 单项选择题 1.B 2.D 3.B 填空题. 二.填空题 9. 1 4. C 5.D 6.C 7.D 8.D

10. 11. 8

12. 三.解答题. 解答题 13. 解法一:由于双曲线的一条渐近线方程为 为 ,则另一条为 .可设双曲线方程



由椭圆方程

可知

双曲线与椭圆共焦点,则





故所求双曲线方程为



解法二:双曲线与椭圆共焦点,可设双曲线方程为

由渐近线方程

可得

∴ 故所求双曲线方程为

点评:1.渐近线为

的双曲线方程可表示为

14. 解:设动圆 和定圆 内切于点 .动点 到两定点,即定点 . 为两焦点,半长轴为 4,半短轴长为 的椭圆的方程: 和定圆圆心

距离之和恰好等于定圆半径,即 ∴点 的轨迹是以 ,

. 说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是 求轨迹方程的一种重要思想方法. 15. 解: (1)把直线方程 ,即 代入椭圆方程 . , 得

解得

. , ,由(1)得

(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为

, 根据弦长公式得



. 解得 . .

因此,所求直线的方程为

说明 处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区 别.这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式 ;解决弦长问题,一般应用弦长公式.用弦长

公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系) ,可大大简化运算过程.

16. 解: (Ⅰ) F ∈ l | FA |=| FB | A, B 两点到抛物线的准线的距离相等. ∵抛物线的准线是 x 轴的平行线, y1 ≥ 0, y 2 ≥ 0, 依题意y1 , y 2 不同时为 0,
2 ∴上述条件等价于 y1 = y 2 x12 = x 2 ( x1 + x 2 )( x1 x 2 ) = 0;

∵ x1 ≠ x 2 ,

∴上述条件等价于

x1 + x 2 = 0.

即当且仅当 x1 + x 2 = 0 时,l 经过抛物线的焦点 F. 另解: (Ⅰ)∵抛物线 y = 2x 2 ,即 x =
2

y 1 ,∴ p = , 2 4

∴焦点为 F (0, ) ………………………………………………………1 分 (1)直线 l 的斜率不存在时,显然有 x1 + x 2 = 0 ………………………………3 分 (2)直线 l 的斜率存在时,设为 k, 截距为 b 即直线 l :y=kx+b 由已知得:
y + y + 2 1 = k x1 x 2 + b ……………5 分 2 2 y1 y 2 = 1 x1 x 2 k
2 2 + + 2 x1 2 x 2 = k x1 x 2 + b 2 2 2 2 2x 2 1 2 x1 = x2 k x1

1 8

2 2 x1 + x 2 + b x1 + x 2 = k ……………7 分 2 1 x 1 + x 2 = 2k

1 1 2 2 x1 + x 2 = + b ≥ 0 b ≥ 4 4

即 l 的斜率存在时,不可能经过焦点 F (0, ) ……………………………………8 分 所以当且仅当

1 8

x +x
1

2

=0 时,直线 l 经过抛物线的焦点 F…………………………9 分

(Ⅱ) (文)当

x

1

= 1, x 2 = 3 时,

直线 l 的斜率显然存在,设为 l :y=kx+b………………………………10 分 则由(Ⅰ)得:
2 2 x1 + x 2 + b x1 + x 2 = k 2 1 x 1 + x 2 = 2k

x1 + x 2 + b = 10 k ………………………11 分 2 1 = 2 2k

1 k = 4 …………………………………………13 分 b = 41 4

所以直线 l 的方程为 y =

1 41 x + ,即 x 4 y + 41 = 0 ………………14 分 4 4

(II)(理)设 l 在 y 轴上的截距为 b,依题意得 l 的方程为 y = 2 x + b ;过点 A、B 的直线方程可写为

1 1 1 y = x + m ,所以 x1 , x 2 满足方程 2 x 2 + x m = 0, 得 x1 + x 2 = ; 2 2 4 1 A,B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 = + 8m > 0, 4 1 即m > . 32
设 AB 的中点 N 的坐标为 ( x0 , y 0 ) ,则
x0 = 1 1 1 1 ( x1 + x 2 = , y 0 = x 0 + m = + m. 2 8 2 16

由 N ∈ l, 得

1 1 5 5 1 9 + m = + b, 于是b = +m> = . 16 4 16 16 32 32
32

即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为( 9 ,+∞ ).


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