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2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题


2011 年高考试题数学(理科)
选修系列:坐标系与参数方程
一、选择题: 1. (2011 年高考安徽卷理科 5)在极坐标系中,点 (?, 为

?
?

) 到圆 ? ? 2cos ? 的圆心的距离

(A)2

(B)

4?

?2
9

(C)

1?

?2
9

(D)

3

【命题意图】 本题考查了极坐标方程与平面直角坐标系中的一般方程的的互化, 属于容易题. 【答案】D 【解析】 极坐标系中的点 (2, ) 化为直角坐标系中的点为 (1, 3 ) ; 极坐标方程 ? ? 2cos ? 化为直角坐标方程为 x ? y ? 2 x ,即 ( x ? 1) ? y ? 1 ,其圆心为(1,0) ,
2 2 2 2

? 3
2

∴所求两点间距离为 (1 ? 1) ? ( 3 ? 0) = 3 ,故选 D.
2

2. (2011 年高考安徽卷理科 3)在极坐标系中,圆 ? ? ?2sin ? 的圆心的极坐标是 A. (1, )

? 2

B. (1, ? )

? 2

C. (1, 0)

D. (1, ?)

【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标系下方程的互化及点互化,是简单题. 【解析】 : ? ? ?2sin ? ? x ? ( y ? 1) ? 1 ,圆心直角坐标为(0,-1) ,极坐标为 (1, ?
2 2

?
2

),

选 B。 二、填空题:

? x ? 8t 2 , 1.(2011 年高考天津卷理科 11)已知抛物线 C 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,若斜率 ? y ? 8t.

坐标方程为 答案: x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 。
2 2

解析:做坐标系与参数方程的题,大家只需记住两点:1、 x ? ? ? cos ? , y ? ? ? sin ? ,2、

? 2 ? x 2 ? y 2 即可。根据已知
? ? 2 sin ? ? 4 cos ? = 2 ?
所以解析式为:

y

?

?4

x

?

, 化简可得:? 2 ? 2 y ? 4 x ? x 2 ? y 2 ,

x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? 0
? x ? cos ? , (? ? y ? 1 ? sin ?

3. (2011 年高考湖南卷理科 9)在直角坐标系 xoy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

为参数)在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正 半轴为极轴) 中, 曲线 C2 的方程为 ? ? cos ? ? sin ? ? ? 1 ? 0 , 则 C1 与 C2 的交点个数为 答案:2 解析:曲线 C1 : x ? ( y ? 1) ? 1 , C2 : x ? y ? 1 ? 0 ,由圆心到直线的距离
2 2



d?

| 0 ? 1 ? 1| ? 0 ? 1 ,故 C1 与 C2 的交点个数为 2. 2

4. (2011 年高考广东卷理科 14)(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为

5 2 ? ? ?x ? t ? x ? 5 cos ? (0≤? <? ) 和 ? 4 (t ? R) ,它们的交点坐标为 ? y ? sin ? ? ? ? ?y ? t
【解析】 (1,

.

? x ? 5 cos? 2 5) ? (0≤? ? ? ) 消去参数后的普通方程为 5 ? y ? sin ?

5 ? 4 ?x ? t 2 x2 2 2 ? y ? 1(? 5 ? x ? 5 ,0 ? y ? 1) , ? 4 消去参数后的普通方程为 y ? x 联 5 5 ? ?y ? t 2 5 ,所以它们的交点坐标为 立两个曲线的普通方程得 x ? ?5(舍)或x ? 1, 所以y ? 5 2 (1, 5 ). 5
5. (2011 年高考湖北卷理科 14)如图, 直角坐标系 x Oy 所在的平面为 ? , 直角坐标系 x ' oy ' Oy (其中 y ' 轴与 y 轴重合)所在平面为 ? , ?xox ' ? 45?

(Ⅰ)已知平面内有一点 P (2 2, 2) ,则点 P ' 在平面 ? 内的射影 P 的坐标为 (Ⅱ)已知平面 ? 内的曲线 C ' 的方程是 ( x '? 2)2 ? 2 y '2 ? 2 ? 0 ,则曲线
C ' 在平面 ? 内的射影 C 的方程是



.

答案: (2,2) ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 解析: 设P为 (a, b) ,因为 y 轴与 y' 轴重合, 故 P' 到 y 轴距离为 2 2 , 到 x 轴距离为 2,又因为∠xox'=45°,则 b=2,a= 2 2 ? sin 45? ? 2, 故 P(2,2).设面 β 内任意一点 P (x,y) 其在 ? 内射影为 P?( x?, y?) , 由平面图形可知, x ? x? ? sin 45? , y ? y? , 即 x? ? 2 x , y? ? y ,故方程为 ( 2 x ? 1)2 ? 2 y 2 ? 2 ? 0, 即 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ? 0 . 6.(2011 年高考陕西卷理科 15)(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xoy 中,以原点为 极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 A,B 分别在曲线 C1 : ? 参数)和曲线 C2 : ? ? 1 上,则 AB 的最小值为 【答案】3 【解析】 :由 ?

? x ? 3 ? cos ? (? 为 ? y ? 4 ? sin ?

? x ? 3 ? cos ? 得圆心为 C1 (3, 4), r1 ? 1 ,由 ? ? 1 得圆心为 C2 (0, 0), r1 ? 1 ,由 ? y ? 4 ? sin ?

平几知识知当 A、B 为 C1C2 连线与两圆的交点时 AB 的最小值,则 AB 的最小值为

| C1C2 | ?2 ? (3 ? 0) 2 ? (4 ? 0) 2 ?2 ? 5 ? 2 ? 3 .
7. (2011 年高考上海卷理科 5)在极坐标系中, 直线 ? (2cos ? ? sin ? ) ? 2 与直线 ? cos ? ? 1 的夹角大小为 【答案】 arccos 三、解答题: 1.(2011 年高考辽宁卷理科 23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 。

2 5 5

? x ? cos ? , ( ? 为参数)曲线 C2 的参数方 ? y ? sin ? ,

程为 ?

? x ? a cos ? , ( a ? b ? 0 , ? 为参数)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标 ? y ? b sin ? ,

系中,射线 l:θ = ? 与 C1,C2 各有一个交点.当 ? =0 时,这两个交点间的距离为 2,当 ? = 时,这两个交点重合. (I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 ? =

π 2

π π 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 ? =- 时,l 与 C1, 4 4

C2 的交点为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积. 解: (I)C1 是圆,C2 是椭圆. 当 ? ? 0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(1,0) , (a,0) ,因为这两点间 的距离为 2,所以 a=3. 当? ?

?
2

时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(0,1) , (0,b) ,因为这两点重

合,所以 b=1.

x2 (II)C1,C2 的普通方程分别为 x ? y ? 1和 ? y 2 ? 1. 9
2 2

当? ?

?
4

时,射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x ?

2 ,与 C2 交点 B1 的横坐标为 2

x? ?

3 10 . 10

当? ? ?

?
4

时,射线 l 与 C1,C2 的两个交点 A2,B2 分别与 A1,B1 关于 x 轴对称,因此,

四边形 A1A2B2B1 为梯形. 故四边形 A1A2B2B1 的面积为

(2 x ? ? 2 x)( x ? ? x) 2 ? . 2 5

…………10 分

2. (2011 年高考全国新课标卷理科 23) (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程在 直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为

? x ? 2 cos? ,( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

M 是曲线 C1 上的动点,点 P 满足 OP ? 2OM , (1)求点 P 的轨迹方程 C 2 ; (2)在以 D 为 极点,X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? A,B 求 AB 解析; (I)设 P(x,y),则由条件知 M(

?
3

与曲线 C1 , C 2 交于不同于原点的点

x y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

?x ? ? 2 ? 2 cos ? , ? ? ? ? ? ? y ? 2 ? 2sin ? ? ? ? ?2 ?
从而 C 2 的参数方程为



? x ? 4 cos ? ? ? ? ? y ? 4 ? 4 sin ? ?

? x ? 4 cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 4 ? 4sin ?
(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ? 射线 ? ?

? ?
3 3

与 C1 的交点 A 的极径为 ?1 ? 4sin 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?

?
3

3

, 。

所以 | AB |?| ? 2 ? ? 1 |? 2 3 .

3.(2011 年高考江苏卷 21)选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ?

? x ? 5cos ? ( ? 为参数)的右焦点且与直线 ? y ? 3sin ?

? x ? 4 ? 2t ( t 为参数)平行的直线的普通方程。 ? ?y ? 3?t
解析: 考察参数方程与普通方程的互化、 椭圆的基本性质、 直线方程、 两条直线的位置关系, 中档题。椭圆的普通方程为

? x ? 4 ? 2t x2 y 2 ,直线 ? ( t 为参数) ? ? 1, 右焦点为(4,0) 25 9 ?y ? 3?t

的普通方程为 2 y ? x ? 2 ,斜率为:

1 1 ;所求直线方程为: y ? ( x ? 4),即x ? 2 y ? 4 ? 0 . 2 2

4.(2011 年高考福建卷理科 21)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直接坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为

? ? x ? 3cos? (? 为参数) . ? y ? sin ? ? ?
(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴 正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

π ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 解析:本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识,考查运 算求解能力,考查化归与转化思想。满分 7 分。 解: (I)把极坐标系下的点 P (4,

?
2

。 ) 化为直角坐标,得 P(0,4)

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上, (II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为

| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | d? ? 2
由此得,当 cos(? ?

2cos(? ? ) ? 4 ? 6 ? 2 cos(? ? ) ? 2 2 , 6 2

?

?
6

) ? ?1 时,d 取得最小值,且最小值为 2.

极坐标和参数方程高考汇编(2010 年)
一.选择题 1.(2010 安徽理 7)设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 3cos ? ( ? 为参数) ,直线 l 的方程为 ? y ? ?1 ? 3sin ?
10 的点的个数为( 10

x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则曲线 C 上到直线 l 距离为 7
A、1 B、2 C、3

)

D、4

2. (2010 重庆文 8)若直线 y ? x ? b 与曲线 ? 公共点,则实数 b 的取值范围为( A. (2 ? 2,1) C. (??, 2 ? 2) ? (2 ? 2, ??) )

? x ? 2 ? cos ? , ( ? ? [0, 2? ) )有两个不同的 ? y ? sin ?

B. [2 ? 2, 2 ? 2] D. (2 ? 2, 2 ? 2) )

3. (2010 北京理 5)极坐标方程(ρ-1)( ? ? ? )=0(ρ ? 0)表示的图形是( A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线

D.一条直线和一条射线

4. (2010 湖南理 3)极坐标方程 ? ? cos ? 和参数方程 ? 形分别是(

? x ? ?1 ? t , (t 为参数)所表示的图 ? y ? 2 ? 3t
D.直线、直线

)A.圆、直线 B. 直线、圆 C.圆、圆

5. (2010 上海理 16) 直线 l 的参数方程是 ? A. ( 1, 2 ) B. ( 2, 1 )

? x ? 1 ? 2t (t ? R) , 则 l 的方向向量 d 可以是 ( ) ?y ? 2 ? t
D. ( 1, ? 2 )

C. ( ? 2, 1 )

6. (2010 年高考重庆市理科 8) 直线

与圆心为 D 的圆

交于

A、 B 两点, 则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为 (

) (A)

π

(B)

π

(C )

π

(D)

π

二.填空题 7.(2010 广东理 15)(坐标系与参数方程选做 题)在极坐标系(ρ,θ) ( 0 ? ?<2? )中, 曲线 ? ? 2 sin ?与? cos? ? ?1 的交点的极坐标为 .

8.(2010 广东文 15). (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ, ? )( 0 ? ?<2? )中,曲 线 ? ? cos ? ? sin ? ? ? 1 与 ? ? sin ? ? cos ? ? ? 1 的交点的极坐标为 .

9. (2010 天津理 13) .已知圆 C 的圆心是直线 ? 与直线 x+y+3=0 相切,则圆 C 的方程为

?x ? t (t 为参数)与 x 轴的交点,且圆 C ?y ? 1? t

10. (2010 陕西理 15)C. (坐标系与参数方程选做题)已知圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos? (α ? y ? 1 ? sin ?

为参数) ,以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为

? sin? ? 1 ,则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为
11.(2010 陕西文 15)C. (坐标系与参数方程选做题)参数方程 ?



? x ? cos ? , ( ? 为参数) ? y ? 1 ? sin ?

化成普通方程为 . 三.解答题 12. (2010 新课标全国 23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
x ? 1 ? t cos ? (t 为参数) x ? cos ? ( ? 为参数) 已知直线 C1 ? ,圆 C2 ? , ? ? ? y ? t sin ?

? y ? sin ?

(Ⅰ)当 ? = ? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; (Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为A,
3

P 为 OA 中点,当 ? 变化时,求 P 点的轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.

12. (2010 福建理 21(2))(本小题满分 7 分)选修 4-4 分:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中, 直线 l 的参数方程为 ? ?x ? 3 ?
? ? ?y ? ? ? 2 t, ( 2 2 5? t 2

t 为参数).在极坐标系(与直角

坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 o 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的 方程为 p ? 2 5 sin ? .①求圆 C 的直角坐标方程; ②设圆 C 与直线 l 交于点 A, B .若点 P 的坐标为(3, 5 ),求 PA ? PB .

13.(2010 年辽宁 23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知 P 为半圆 C: ?

? x ? cos? ( ? 为参数, 0 ? ? ? ? )上的点,点 A 的坐标为(1,0) , ? y ? sin ?
的长度均为

O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧

? . 3

(I)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (II)求直线 AM 的参数方程. 14. (2010 江苏 21(4) )选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知圆 ρ=2cosθ 与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切,求实数 a 的值. 新课标(理科数学)15. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为

? x ? 2 cos? ,( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

M 是曲线 C1 上的动点,点 P 满足 OP ? 2OM , (1)求点 P 的轨迹方程 C 2 ; (2)在以 D 为 极点,X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? A,B 求 AB

?
3

与曲线 C1 , C 2 交于不同于原点的点


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