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高一数学 直线、平面垂直的判定及其性质教案


直线、平面垂直的判定及其性质
1、直线与平面垂直的判定定理与性质定理 (1)判定定理 ①定义:直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,则 l ? ? . ②一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 若 a ? m , a ? n , m ? ? , n ? ? , m ? n ? A ,则 a ? ? . (2)性质定理 垂直于同一个平面的两直线平行. 若 a ? ? , b ? ? ,则 a // b . 2、垂线、斜线与射影 (1)垂线:自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影.这个点和垂足间 的线段叫做这点到这个平面的垂线段. (2)斜线:一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线 叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫斜足;斜线上一点与斜足间的线段 叫这点到这个平面的斜线段. (3)射影:过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这 个平面内的射影.垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影. 直线与平面平行,直线在平面内的射影是一条直线.直线与平面垂直射影是点.斜线任 一点在平面内的射影一定在斜线的射影上. 3、直线和平面所成角 定义: 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的 角. 一直线垂直于平面,所成的角是直角;一直线平行于平面或在平面内,所成角为 0 角. 斜线与平面所成角(0,
A

?

B

O

? ? ) ;直线和平面所成角范围:?0, ? 2 2

4、平面与平面垂直的判定定理与性质定理 (1)判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 若 a ? ? , a ? ? ,则 ? ? ? . (2)性质定理
1

两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 若 a ? ? , a ? ? ? b , a ? b , a ? ? ,则 a ? ? . 5、二面角的平面角的定义: 以二面角的棱上作意一点为端点, 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条 射线所形成的角就叫二面角的平面角. 6、常见的作二面角的平面角的方法 (1)定义法: 在二面角的棱 a 上任取一点 O 为端点,在面 α、β 内分别 引垂直于棱 a 的射线 OA、OB,则∠AOB 就是二面角的平面角. (2)作垂直面法: 过二面角的棱上任一点 O,作平面 γ 与该棱垂直(作棱的垂直面) , 平面 γ 与平面 α、β 分别交于 OA、OB,则∠AOB 就是二面角的平面角. (3)三垂线定理法: 在二面角 α-a-β 的面 α 内任取一点 A,过点 A 分别作 棱 a 的垂线 AO,作面 β 的垂线 AB,连 OB;或过 A 作 AB⊥β, 过 B 作 BO⊥a,连 AO,则∠AOB 就是二面角的平面角. a C α A α O B A β γ

B

一、以勾股定理为突破口的垂直证明问题

β

例 1:如图 1 所示,点 P 是梯形 ABCD 所在平面外一点, PD ? 平面 ABCD , AB ∥ CD , 已知 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 4 5 .设 M 是 PC 上的一点,求证: BD ? 平面 PAD .

P
A

M
A

D
A

C
A

A
A

图1

B
A

2

练 习 1: 已知 ABCD是 矩形, PA ? 平 面 A B C D, AB ? 2 , PA ? AD ? 4 , E 为 BC 的中点. 求证: DE ? 平面 PAE ;

:

M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O, 练习 2: 如图 1,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
(Ⅰ)求证: AO (Ⅱ)求 M ? A1BD 的体积 ? 平面 MBD. 1

二、应用等腰(等边)三角形三线合一性质
例 2:如图 2 所示,已知 PA 垂直于圆 O 所在平面, AB 是圆 O 的直径, B 的任意一点, C 是圆 O 的圆周上异于 A 、 且 PA ? AC , 点 E 是线段 PC 的中点.求证: AE ? 平面 PBC .

P

E

A

O
图2

B

C

3

练习 3:如图,直角 △ ABC 所在平面外一点 S ,且 SA ? SB ? SC ,点 D 为斜边 AC 的中 点. (1)求证: SD ? 平面 ABC ; (2)若 AB ? BC ,求证: BD ? 面 SAC .

S

A

D

C

B

三、应用两条平行线的性质
例 3:如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,直线 SC⊥平面 ABCD,E 是 SA 的中点,求证: 平面 EDB⊥平面 ABCD.

练习 4:如图 3 所示, P 为△ ABC 所在平面外一点, 且 PA ? PB , BC ? 平面 PAB , G 为 PB 的中点, M 为 PC 的中点, N 在 AB 上, AN ? 3NB ,求证: AB ? 平面 MNG .

P

M A

G
H
图3

C
B

N

4

四、应用平面图形的几何性质
例 4:如图所示,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面 PCD.

练习 5:如图 4 所示,四边形 ABCD 是边长为 1 的菱形,点 P 是菱形 ABCD 所在平面外一点, ∠ BCD ? 60? , E 是 CD 的中点, PA ? 平面 ABCD ,求证: BE ⊥平面 PAB .

P

D E A

C
B
图4

五、 直线与平面所成角
例题 5:如图,在正方体 AC1 中,求面对角线 A1B 与对角面 BB1D1D 所成的角.
D1
O

C1 B1

A1

D

C

A

B

5

练习 4:如图,已知 AP⊥BP,PA⊥PC,∠ABP=∠ACP=60?,PB=PC= 求 AD 与平面 PBC 所成角的余弦值.

2 BC,D 是 BC 中点,

P A B D C

【课后作业】 1 .已知 m , n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列正确命题的序号 是


②若 ? ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 ? ∥ ? ④若 m⊥ ? ,n⊥ ? ,则 m∥n

①若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n ③若 m∥ ? ,m∥ ? ,则 ? ∥ ?

2. 设 P 是 60°的二面角 ? —l— ? 内一点, PA⊥平面 ? , PB⊥平面 ? , A、 B 为垂足, PA=4, PB=2,则 AB 的长为 .

3.a、b 表示直线, ? , ? , ? 表示平面. ①若 ? ∩ ? =a,b ? ? ,a⊥b,则 ? ⊥ ? ; ②若 a ? ? ,a 垂直于 ? 内任意一条直线,则 ? ⊥ ? ; ③若 ? ⊥ ? , ? ∩ ? =a, ? ∩ ? =b,则 a⊥b; ④若 a 不垂直于平面 ? ,则 a 不可能垂直于平面 ? 内无数条直线; ⑤若 a⊥ ? ,b⊥ ? ,a∥b,则 ? ∥ ? . 上述五个命题中,正确命题的序号是 .

6

4.如图, 在空间四边形 ABCD 中, AB ? BC, CD ? DA, E , F , G 分别是 CD, DA, AC 的中点,
A

求证:平面 BEF ? 平面 BGD .
F G B E C D

5. 四面体 ABCD 中, AC=BD, E、 F 分别是 AD、 BC 的中点, 且 EF= 证:BD⊥平面 ACD.

2 AC, ∠BDC=90°. 求 2

6.如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是∠DAB=60°且边长为 a 的菱形,侧 面 PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD,若 G 为 AD 边的中点, (1)求证:BG⊥平面 PAD; (2)求证:AD⊥PB; (3)若 E 为 BC 边的中点,能否在棱 PC 上找到一点 F,使平面 DEF⊥平面 ABCD, 并证明你的结论.

7

7、 如图 2, P 是△ABC 所在平面外的一点,且 PA⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 PBC.求证:BC⊥平面 PAC.

8、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC , △PAD 是等 边三角形,已知 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2DC ? 4 5 . (Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积. P

M D A 9.如图所示,ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,△PAD 是等腰三角形,M、N 分别是 AB、 PC 的中点.求证:MN⊥平面 PCD. C

B

10.如图所示,在三棱锥 P—ABC 中,PA⊥底面 ABC,△ABC 为正三角形,D、E 分别是 BC、CA 的中点. (1)证明:平面 PBE⊥平面 PAC; (2)如何在 BC 上找一点 F,使 AD∥平面 PEF?并说明理由.

8


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