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2011年高考数学试题分类汇编三角函数(附答案)


三角函数
安徽理 (9) 已知函数 f ( x ) ? sin ( 2 x ? ? ) , 其中 ? 为实数, f ( x ) ? f ( 若 的单调递增区间是 (A) ? k ? ?
? ? ? ?

?
6

) 对 x ? R 恒成立, f ( 且

?
2

) ? f (? ) , f ( x ) 则


? ?
6? ? (k ? Z ) ? ?


? ?
2? ? (k ? Z )

?
3

, k? ?

(B) ? k ? , k ? ?
? ?

(C) ? k ? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?
o

(D) ? k ? ?

?
2

, k?

? (k ? Z ) ? ?

(14)已知 ? A B C 的一个内角为 120 ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 ? A B C 的面积为_______________ 北京理 9.在

? A B C 中,若 b ? 5 , ? B ? ?
? 6

4

, tan A ? 2 ,则 sin A ? _______, a ? ______.

15.已知函数 f ( x ) ? 4 co s x sin ( x ? (2)求 f ( x ) 在区间 [ ?

) ? 1 .(1)求 f ( x ) 的最小正周期;

? ? , ] 上的最大值和最小值。 6 4 s in 2 ? cos a
2

福建理 3.若 tan ? ? 3 ,则 A.2 B.3

的值等于 C.4 D.6





14.如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 ,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45°,则 AD 的长度等于______. 16 .(本小题满分 13 分) 已知等比数列 { a n } 的公比 q ? 3 ,前 3 项和 S 3 ? (Ⅰ) 求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ) 若函数 f ( x ) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0, 0 ? ? ? ? ) 在 x ? 式.
?
6 13 3



处取得最大值,且最大值为 a 3 ,求函数 f ( x ) 的解析

广东理16.已 知 函 数 f ( x ) ? 2 sin ( x ?
3 (1) 求 f ( 5?

1

?
6

), x ? R

? ? )的 值 ; ( 2 ) 设 ? , ? ? 0, ? 2 4 ?

? 10 6 ? ? , f (3? ? 2 ) ? 1 3 , f (3 ? ? 2 ? ) ? 5 , 求 co s(? ? ? )的 值 . ?

湖北理 3.已知函数 f ? x ? ? A.

3 sin x ? cos x , x ? R ,若 f ? x ? ? 1 ,则 x 的取 值范围为(
? ?

)

? ? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? ? x k? ? 3 ? ? ? ?

B. ? x 2 k ? ?
? ?

?

? ? x ? 2 k? ? ? , k ? Z ? 3 ?

C. ? x k ? ?

?
6

? x ? k? ?

5?

? ,k ? Z ? 6 ?

D. ? x 2 k ? ?

?
6

? x ? 2 k? ?

5?

? ,k ? Z ? 6 ?
-1-

16.设 ? ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c .已知 a ? 1 , b ? 2 , cos C ? (Ⅰ)求 ? ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos ? A ? C ? 的值.
?
3

1 4

.

湖南理 6. 由直线 x ? ?
1 2

,x ?

?
3

, y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为(



A.

B.1

C.

3 2

D. 3

11.如图 2, A , E 是半圆周上的两个三等分点,直径 B C ? 4 ,
AD ? BC

,垂足为 D, B E 与 A D 相交与点 F,则 A F 的长为
?
4 ) ? 2, 则
tan x tan 2 x



江苏 7.已知 tan( x ?

的值为__________.

9.函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? ), ( A, ? , ? 是常数, A ? 0, ? ? 0 ) 的部分图象如图所示,则 f ( 0 ) ? ____ 15.(本小题满分 14 分 )在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a , b , c (1)若 sin( A ? (2)若 cos A ?
?
6 1 3
第 9题 图

) ? 2 cos A , 求 A 的值; , b ? 3 c ,求 sin C 的值;

江西理 17.在 ? ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a , b , c ,已知 sin C ? cos C ? 1 ? sin (1)求 sin C 的值; (2)若 a ? b ? 4 ( a ? b ) ? 8 ,求边 c 的值.
2 2

C 2

.

辽 宁 理 4 . △ ABC 的 三 个 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c , asinAsinB+bcos2A= ( ) A. 2 3
( 7.设 sin

2a , 则

b a

?

B. 2 2
+ ?) =
1 9

C. 3

D. 2 ( D.
7 9

?
4

1 3

,则 sin 2? ? C.
1 9



A. ?

7 9

B. ?

? 全国 Ⅰ理 (5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则 c o s 2 =



) (A) ?

4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)
?
2 )

4 5

( 11 )设 函数 f ( x ) ? sin (? x ? ? ) ? co s(? x ? ? )(? ? 0, ? ?
( )

的最小 正周期为 ? ,且 f ( ? x ) ? f ( x ) , 则 单调递减
-2-

(A) f ( x ) 在 ? 0 ,
?

?

? ?

? ? 3? ? ? 单调递减(B) f ( x ) 在 ? , ? 2 ? ? 4 4 ?

(C) f ( x ) 在 ? 0 ,
?

?

? ?

? 单调递增 2 ?
?

(D) f ( x ) 在 ?

??

3? ? ? ? 4 4 ? ,

单 调递增

?
3

(16)在 V A B C 中, B ? 6 0 , A C ?

3 ,则 A B ? 2 B C 的最大值为

全国Ⅱ理 5)设函数 f ? x ? ? cos ? x ? ? ? 0 ? ,将 y ? f ? x ? 的图像向右平移 合,则 ? 的最小值等于 (A)
1 3

个单位长度后,所得的图像与原图像重

( (B)3

) (C)6 (D)9

(14)已知 ? ? (

?
2

, ? ) ,sin ? =

5 5

,则 tan2 ? =___________.

(17)△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 A-C=90°, a ? c ? 山东理 3.若点(a,9)在函数 y ? 3 的图象上,则 tan=
x

2b ,求 c

a? 6

的值为 (



(A)0

(B)

3 3

(C) 1

(D)

3

? ? ? ?? ? ? 6.若函数 f ( x ) ? sin ? x (ω>0)在区间 ? 0, ? 上单调递增,在区间 ? , ? 上单调递减,则 ω=( ? 3? ?3 2?



(A)3

(B)2

(C)

3 2

(D)

2 3 co s A -2 co s C co s B = 2 c-a b

17.在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (I) 求
sin C sin A

.

的值;若 cosB=

1 4

, b ? 2 ,求 ? A B C 的面积.

陕西理 6.函数 f ( x ) ? (A)没有零点

x ? cos x 在 [0, ? ? ) 内

( ) (D)有无穷多个零点 虚数单位,

(B)有且仅有一个零点(C)有且仅有两个零点
1 i |? 2 ,i 为

2 2 7. 设集合 M ? { y | y ? | cos x ? sin x |, x ? R } ,N ? { x || x ?

x ? R } ,则 M ? N 为(

) (C) [0 , 1) (D) [0 , 1]

(A) (0,1) (B) (0 , 1] 18. (本小题满分 12 分) 叙述并证明余弦定理.

上海理 6.在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C,若 ? CAB ? 75 , ?CBA ? 60 米. 8.函数 y ? sin ?
?? ? ?? ? ? x ? co s ? ? x ? 的最大值为 ? 2 ? ? 6 ?

?

?

,则 A、B 两点之间的距离为



.

-3-

四川理 6.在△ABC 中, sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是 (A) (0 ,
?
6 ]

(B) [
f ( x ) ? sin ( x ?

?
6

,? )

(C) (0 ,
3? 4 )

?
3

]

(D) [

?
3

,? )

17.已知函数

7? 4

) ? co s( x ?

,x ? R.
?
2
2 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期和最小值; (Ⅱ)已知 co s( ?
??) ? 4 5

, co s( ?

??)? ?

4 5

,0 ? ?

? ? ?

,求证: [ f ( ? )] 2

?2?0

. ) .

天津理 7. ? A B C 中, 在 内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c , a ? b ? 若 A. 3 0 ? B. 6 0 ? C. 1 2 0 ? D. 1 5 0 ?
2

3 b c , C ? 2 3 sin B , A ?( sin 则

17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 1 ? x ? R ? . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期及在区间 ? 0,
? ?

? ?

上的最大值和最小值. 2? ?

(Ⅱ)若 f ? x 0 ? ?

?? ? ? , x 0 ? ? , ? .求 co s 2 x 0 的值. 5 ?4 2?

6

浙江理 9.设函数 f ( x ) ? 4 sin(2 x ? 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x ) 不存在零点的是( . A. ? ? 4, ? 2 ? B. ? ? 2, 0 ? C. ? 0 , 2 ? D. ? 2, 4 ? .



? ? 13.已知函数 f ( x ) ? f '( ) co s x ? sin x , 则 f ( ) 的值为
4 4
?π ? ? x?? ?4 ?

2 18.已知函数 f ( x ) ? 2 sin ?

3 co s 2 x

, x ? ? , ? .ks**5u ?4 2?

?π π?

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值和最小值;
?π π?

(Ⅱ)若不等式 f ( x ) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围 ?4 2?

( 重庆理(6)若 ? A B C 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足 a ? b ) ? c ? 4 ,且 C=60°,则 ab 的值为
2 2



) (A)

4 3

(B) 8 ? 4 3
1
? ? ? ? co s ? ,且 ? ? ? 0, ? ,则 2 ? 2 ?

(C) 1

(D)

2 3

(14)已知 sin ? ?

cos 2?

的值为________

? ? ? s in ? ? ? ? 4 ? ?

(16)设 a ? R , 大值和最小值

f

?x?

? 2 ? ? ? c o s x ? a s in x ? c o s x ? ? c o s ? ? x? ? 2 ?

满足

f (?

?
3

)

? f (0 ) ,求函数 f ( x ) 在 ? ? ? 1 1? ? 上的最
?4 ? 24 ? ?

-4-

三角函数—答案
安徽理(9)A【解析】若 f ( x ) ? f (
?
6

?
6

) 对 x ? R 恒成立,则 f (

?
6

) ? sin (

?
3

? ? ) ? 1 ,所以

?
3

? ? ? k? ?

?
2

,k ? Z ,

? ? k? ?

,k ? Z . 由 f (

?
2

) ? f ( ? ) ,( k ? Z ), 可 知 sin(? ? ? ) ? sin( 2 ? ? ? ) , 即 s i ? ? n

,所以 0
?
2

? ? 2k? ?
k? ?

?
6

, k ? Z , 代 入 f ( x ) ? s i n ( 2? ? , 得 x )

f ( x ) ? s i n ( x? 2

?
6

, 由 2k? ?

)

?
2

剟 2x?

?
6

2k ? ?

,得

?
3

剟x

k? ?

?
6

,故选 A.

( 14) 1 5 3 【 解 析 】 设 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a ? 4, a , a ? 4 , 最 大 角 为 ? , 由 余 弦 定 理 得
(a ? 4 ) ? a
2 2

? ( ? 4 ) ? a2 a ( ? a
2
?

4 ) c, s 1 2 ? 10 , 所 以 三 边 长 为 o 则 a 0
3

?

6,10,14. △ ABC 的 面 积 为

S ?

1 2

? 6

? 0 ? s i n 1 2? 0 . 1

1 5

北京理 9.【解析】由 tan A ? 2 ? 15.解: (1) f ( x ) ? 2 sin ( 2 x ? (2) ? 当2x ?
?
6 ? 2x ? ? ?

sin A ?

2 5 5

,正弦定理可得 a ? 2 1 0 。

?
6

) ,函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? ;

?
6

?

2? 3

,当 2 x ?
?
6

?
6

?

?
2

即x ?

?
6

时,函数 f ( x ) 取得最大值 2;

?
6

?
6

即x ? ?

时,函数 f ( x ) 取得最小值 ? 1 ;
13 3

福建理 3. (D)14. 2 16 .解:(Ⅰ)由 q ? 3, S 3 ?

得 a1 ?

1 3

,所以 a n ? 3

n?2



(Ⅱ)由(Ⅰ)得 a 3 ? 3 ,因为函数 f ( x ) 最大值为 3,所以 A ? 3 , 又当 x ?
?
6

时函数 f ( x ) 取得最大值,所以 sin (
5? 4 ( 2 ) f ( 3? ? 5? 12

?
3

? ? ) ? 1 ,因为 0 ? ? ? ? ,故 ? ?

?
6



解 : (1) f (

) ? 2 sin(

?

?
6

) ? 2 sin 10 13

?
4

?

2. 5 13 ,? ? ? [0, 6 5 12 13
? ?

?
2

) ? 2 sin ? ?

,? sin ? ?

?
2

], ? cos ? ? 3 5 ,? ? ? [0, 4 5 ? 16 65 .

12 13

; ], ? sin ? ? 4 5 .

广东理16.

f ( 3 ? ? 2 ? ) ? 2 sin( ? ?

?
2

) ? 2 cos ? ?

,? cos ? ? ? 3 5 ? 5 13

?
2

? cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

?

湖北理 3. 【答案】B 解析:由条件 3 sin x ? cos x ? 1 得 sin ? x ?

? ?

1 ? ? ,则 6 ? 2

-5-

2 k? ?

?
6

? x?

?
6

? 2 k? ?
2 2

5? 6

,解得 2 k ? ?
2

?
3

? x ? 2 k ? ? ? , k ? Z ,所以选 B. 1 4
2

16.解析: (Ⅰ)∵ c ? a ? b ? 2 ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?
1 4

? 4 ∴ c ? 2 ∴ ? ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5 .

(Ⅱ)∵ cos C ?

,∴ sin C ?

1 ? cos

2

C ?

?1? 1? ? ? ?4?

?

15 4



15

∴ sin A ?

a sin C c

?

4 2

?

15 8

∵ a ? c ,∴ A ? C ,故 A 为锐角,
2

∴ cos A ?

1 ? sin

2

A ?

? 1? ? ? ?

15 ? ? 8 ? ?

?

7 8

∴ cos ? A ? C ? ? cos A cos C ? sin A sin C ?
?
3

7 8

?

1 4

?

15 8

?

15 4

?

11 16

.

?

湖南理 6. 答案:D 解析:由定积分知识可得 S ?

?
?

co s xd x ? sin x | 3 ? ?
? 3

3 2

? (?

3 2

)?

3 ,故选 D。

?
3

11.答案:

2 3 3

解析:由题可知, ? A O B ? ? E O C ? 60 ? , O A ? O B ? 2 ,得 O D ? B D ? 1 , D F ?
?
3 5? 12

3 3



2 又 A D ? B D ? C D ? 3 ,所以 A F ? A D ? D F ?

2 3 3

.A ?

,B ?

.

江苏 7.答案:

4 9

解析:? tan ( x ?

?
4

)?

1 ? tan x 1 ? tan x

? 2,? tan x ?

1 3

,?

tan x tan 2 x



(1- tan x) 4 = ? . 2 tan x 2 9 tan x 1- tan x
2

2

9.答案:
7? 12

6 2

解析:由图可知: A ?

2,

T 4

?

7 12

? ?

?
3

?

?
4

, ? ? 2,

2?

? ? ? 2k? ?

3? 2

,? ? 2k? ?

?
3

, f (0 ) ?

2 sin ( 2 k ? ?

?
3

)?

6 2

由图知: f (0 ) ?

6 2

15.答案: (1)? sin ( A ?

?
6

) ? 2 co s A ,? sin A ? 1 3
2 2

3 co s A , co s A ? 0, tan A ?
2 2

3,0 ? A ? ? ? A ?

?
3

(2)在三角形中,? co s A ?
2 2c sin A c

, b ? 3 c ,? a ? b ? c ? 2 b c co s A ? 8 c , a ? 2 2 c

由正弦定理得:

?

,而 sin A ?

1 ? co s A ?
2

2 2 3

, ? sin C ?

1 3

sin C 2 2 3

.(也可以先推出直角三角形)

(也能根据余弦定理得到 co s C ?

, 0 ? C ? ? ? sin C ?

1 3

)

解析:本题主要考查同角三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理及有关运算求解能力,容易题. 江西理 17.【解析】 (1)由已知得 2 sin
C 2 cos C 2 ? 1 ? 2 sin
2

C 2

? 1 ? sin

C 2

,即
-6-

sin

C 2

( 2 cos C 2

C 2

? 2 sin C 2 ? 1 2 C 2
2 2

C 2

? 1) ? 0 ,由 sin

C 2 C 2

? 0 得 2 cos ? 3 4 C 2

C 2

? 2 sin

C 2

?1? 0

即 sin

? cos

,两边平方得: sin
1 2
2

(2) nis 由

C 2

?s o c

?

? 0 知 sin

C 2

? cos

, 则

?
4

?

C 2

?

?
2

, 即

?
2

? C ?? , 则由 sin

C 2

?

3 4

得 cos C ? ?

7 4

由余弦定理得 c ? a ? b ? 2 ab cos C ? 8 ? 2 7 ,所以 c ? 辽宁理 4. (D)7. A ) ( 全国Ⅰ理 5.

7 ? 1.

( B )11. ( A )16.

2 7

全 国 Ⅱ 理 5. ( C ) 【 解 析 】 由 题 意 知 :
?
3 ? k? 2?
*

?
3

为函数 f

s ? ? x? ? c o ? x ?
4 3

?

?0 周 期 的 正 整 数 倍 , 所 以

?

( k ? N ), ? ? 6 k ? 6 ,故 ? 的最小值等于 6.14. ?
5 5

【解析】 :由 sin ? =

,? ? (

?
2

, ? ) ,得 co s ? ? ?

2 5 5

, tan ? ? ?

1 2

,? tan 2 ? ?

2 tan ? 1 ? tan ?
2

? ?

4 3

17.【解析】 :由 A-C=90°,得 A=C+90° B ? ? ? ( A ? C ) ? 90 ? ? 2 C (事实上 0 ? ? C ? 45 ? ) 由a ? c ?
2 b ,根据正弦定理有: sin A ? sin C ?
2 coc 2 C ?
2 2

2 sin B ? sin( C ? 90 ? ) ? sin C ?

2 sin(90 ? ? 2 C )

即 cos C ? sin C ?

2 (cos C ? sin C ) ?

2 (cos C ? sin C )(cos C ? sin C )

? cos C ? sin C ? 0 ? co s C ? sin C ?

2 co s( C ? 4 5 ? ) ?

2 2

, co s( C ? 4 5 ? ) ?
a? 6 2? 6

1 2

, C ? 4 5 ? ? 6 0 ?,? C ? 1 5 ?

山东理 3.( D )【解析】由题意知:9= 3 ,解得 a =2,所以 tan 6. ( C )【解析】由题意知,函数在 x ?
?
3

a

? tan

? tan

?
3

?

3 ,故选 D.

处取得最大值 1,所以 1=sin

??
3

,故选 C.
co s A -2 co s C co s B = 2 c-a b

17.【解析】 (Ⅰ)由正弦定理得 a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C , 所以
( 即 sin B cos A ? 2 sin B cos C ? 2 sin C cos B ? sin A cos B , 即 有 s i n A ? B )?
s i nC s i nA

=

2 sin C ? sin A sin B

,

2 s i B (? C , 即 sin C ? 2 sin A , 所 以 n )

=2.
c a ? sin C sin A

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:

=2,即 c=2a,又因为 b ? 2 ,所以由余弦定理得:
1 4
1 4

b ? c ? a ? 2 ac cos B ,即 2 ? 4 a ? a ? 2 a ? 2 a ?
2 2 2

2

2

2

,解得 a ? 1 ,所以 c=2,又因为 cosB=

,所以 sinB=

15 4

,故

? A B C 的面积为

1 2

a c sin B ?

1 2

?1? 2 ?

15 4

=

15 4

.
x ? cos x ? 0 ,
-7-

陕西理 6.( B ) 【解】 (方法一)数形结合法,令 f ( x ) ?

则 x ? co s x , 设函数 y ? 所以函数 f ( x ) ?

x 和 y ? cos x , 它们在 [0, ? ? ) 的图像如图所示, 显然两函数的图像的交点有且只有一个,

x ? cos x 在 [0, ? ? ) 内有且仅有一个零点;

( 方 法 二 ) 在 x?[
1 2
f ( x) ?

?
2

, ?? ) 上 ,

x ? 1 , cos x ? 1 , 所 以 f ( x ) ?

x ? cos x ? 0 ; 在 x ? ( 0 , 2

?

] ,

f ?( x ) ?

? sin x ? 0 , 所 以 函 数 f ( x ) ? x

x ? cos x 是 增 函 数 , 又 因 为 f (0) ? ? 1 , f (

?
2

)?

?
2

? 0 ,所以

x ? cos x 在 x ? [0 ,

?
2

] 上有且只有一个零点. 1 i |? 2 ,所以 | x ? i |?
2 ,即

2 2 7.( C )【解】 y ? | co s x ? sin x |? | co s 2 x |? [0,1] ,所以 M ? [ 0 , 1 ];因为 | x ?

| x ? (? i ) ? |

2,又因为 x ? R,所以 ? 1 ? x ? 1 ,即 N ? ( ? 1,1) ;所以 M ? N ? [0,1) ,故选 C.

18. 【解】叙述: 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。 或:在△ABC 中,a,b,c 为 A,B,C 的对边,有
a ? b ? c ? 2 bc cos A , b ? c ? a ? 2 ca cos B , c ? a ? b ? 2 ab cos C .
2 2 2 2 2 2 2 2 2

证明: (证法一) 如图, c ? B C
2

??? ?

? ? ?? ? ? ?? ? A C ? A B ?

?

? ?

? ? ?? ? ? ?? A C? A B

?

???? ??? ? ??? 2 ? ???? 2 ???? ??? ??? 2 ???? 2 ? ? ? A C ? 2 A C ? A B ? A B ? A C ? 2 A C ? A B co s A ? A B
? b ? 2 bc cos A ? c
2 2



a ? b ? c ? b c o s A b ? c ? a ? c c o s , c ? a ? b ? 2 ab cos C 2 c 2 a B
2 2 2 2 2 2 2 2 2

上海理 6.

6 8.

2? 4

3

四川理 6. ( C )解析:由 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C 得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? b c ,即 ∴ co s A ?
1 2

b ?c ?a
2 2

2

?

1 2



2bc

,∵ 0 ? A ? ? ,故 0

? A?

?
3

,选 C.
7? 4 ? co s x co s 3? 4
? 2?

17. (Ⅰ)解析: f ( x ) ? sin x co s
? 2 sin x ? 2 co s x ? 2 sin ( x ?

7? 4

? co s x sin

? sin x sin

3? 4

?
4

) ,∴ f ( x )

的最小正周期 T
4 5

,最小值

f ( x ) m in ? ? 2



(Ⅱ)证明:由已知得 co s ?

co s ? ? sin ? sin ? ?

, co s ?

co s ? ? sin ? sin ? ? ?

4 5

两式相加得 2 co s ? co s ? ? 0 ,∵ 0 ? ? ∴ [ f ( ? )] 2
? 2 ? 4 sin
2

? ? ?

?
2

,∴ cos ? ? 0 ,则 ?

?

?
2



?
4

?2 ?0


2 2

天津理 7.( A ) 【解】由 sin C ? 2 3 sin B 及正弦定理得 c ? 2 3 b ,代入 a ? b ?
a ?b ?
2 2

3b c 得

3 b ? 2 3 b ? 6 b ,即 a ? 7 b ,又 c ? 12 b ,
2
2 2 2 2

-8-

由余弦定理 co s A ?

b ?c ?a
2 2

2

?

b ? 12b ? 7b
2 2

2

2bc

4 3b

2

?

6 4 3

?

3 2

,所以 A ? 3 0 ? .故选A.

17. 【解】 (Ⅰ)由 f ? x ? ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 1 得
2

f

?x? ?

3 ? 2 sin x co s x ? ? ? 2 co s x ? 1 ? ?
2

? ? ? 3 sin 2 x ? co s 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? . 6 ? ?

所以函数的最小正周期为 T ?

2?

? ? ? ? ? ? 7? ? ? ? .因为 x ? 0 , ,所以 2 x ? ? ? , ? 2? ?. 2 6 ? ? ?6 6 ?
? ? ? f 0, ? 6 ? 时,函数 ? ?

所以 2 x ?

?
6

?

?? ? ? , x? ? 6 2 ? ,即 ? ?

? x ? 为增函数,而在 x ? ?

?? ?6

,

? ?

时,函数 f 2? ?

? x ? 为减函数,所

以f ?

? 7? ?? ? ?? ? ? 2 为最大值, f ? ? ? 2 sin ? ? ? 1 为最小值. ? ? 2 sin 2 6 ? 6 ? ? 2 ?
? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ? x 0 ? ? 2 sin ? 2 x 0 ?

? ?

? ,又由已知 f 6 ?

? x0 ? ?

6 5

,则 sin ? 2 x 0 ?
?

?

? ?

3 ?? . 6 ? 5

? ? ? ?? ? ? ? 2? 7 ? ? ? , co s ? 2 x 0 ? ? ? 0 , 因为 x 0 ? ? , ? ,则 2 x 0 ? ? ? ? ,因此 6 6 ? 6 ? ?4 2? ? 3 ?

所以 co s ? 2 x 0 ?
?

?

? ?

?? ? ? ? ? 4 ? ? ? ,于是 co s 2 x 0 ? co s ? ? 2 x 0 ? ? ? ? , 6 ? 6? 6 ? 5 ??

4 3 3 1 3?4 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? co s ? 2 x 0 ? ? co s ? sin ? 2 x 0 ? ? sin . 5 2 5 2 10 6 ? 6 6 ? 6 ? ?

浙江理 9.( A )13. 118.解: (Ⅰ)∵ 又∵ (Ⅱ)∵
?π π? x?? , ? ?4 2?

? ?π ?? f ( x ) ? ?1 ? co s ? ? 2 x ? ? ? ?2 ?? ?

3 co s 2 x ? 1 ? sin 2 x ?

π? ? 3 co s 2 x ? 1 ? 2 sin ? 2 x ? ? 3? ?



,∴

π 6

≤ 2x ?

π 3



2π 3

,即 2 ≤ 1 ? 2 sin ? 2 x ?
?

?

π? ? ≤ 3 ,∴ f ( x ) m ax ? 3, f ( x ) m in ? 2 3?

.

f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2

,x? ?

?π π? , ? ?4 2?



∴ m ? f ( x ) m ax ? 2

且m

? f ( x ) m in ? 2 ,∴ 1 ? m ? 4

,即 m 的取值范围是 (1, 4) .
?
6

重庆理 6. ( A )14. (2)当 x ? [
? ?
, 4

?

14 2

(16) 解: (1) f ( x ) ? 2 sin ( 2 x ?
?
?[

);

, ] ,函数 f ( x ) 递增; 3 6 3 2 ? 1 1? ? ? 3? ] 时, 2 x ? ? [ , ] ,函数 f ( x ) 递减; 当x?[ , 3 24 6 2 4 ? 1 1? ? ] 上的最大值为 f ( ) ? 2 所以 f ( x ) 在 x ? [ , 4 24 3 ? 1 1? ? 1 1? 1 1? ) ? 2 ,所以 f ( x ) 在 x ? [ , ] 上的最小值为 f ( )? 又 f ( ) ? 3, f ( 4 24 4 24 24

] 时, 2 x ?

? ?

2 。
-9-


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