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2013高考最后五天冲刺黄金卷:数学文1

2013 高考最后五天冲刺黄金卷:数学文 1
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。

1 ? ? 1. 已知集合 A ? ? y | y ? x , x ? R ? , B ? ?y | y ? log2 ( x ? 1), x ? R?,则 A ?B ? ( 2 ? ?



A 、 ? ?1, ?? ?

B . ?0,???

C. ?1, ?? ?

D. ? 2,???

2.

若复数 z 满足 ( 3 ? 3i) z ? 6i (i 是虚数单位) ,则 z= (



A.

?

3 3 ? i 2 2

B.

3 3 ? i 2 2

C.

3 3 ? i 2 2


D.

3 3 ? ? i 2 2

3. 如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? (

A.2400 C.2500

B.2450 D.2550

4.

一组数据中每个数据都减去 80 构成一组新数据,则这组新数据的平均数是 1.2 ,方差 ).

是 4 .4 ,则原来一组数的方差为( A. 5.6 B. 4.8 C. 4.4

D. 3.2

2 2 2 2 2 5、已知直线 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A ? B ? C , C ? 0 )与圆 x ? y ? 4 交于 M , N ,

O 是坐标原点,则 OM · =( ON



B. C. 1 D. 2 - 2 - 1 6. 从 5 位男数学教师和 4 位女数学教师中选出 3 位教师派到 3 个班担任班主任(每班 1 位 班主任) ,要求这 3 位班主任中男女教师都有,则不同的选派方案共有( ) A.210 B.420 C.630 D.840 A.

7. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? (b ? 4 ? a 2 ) x ? 2a ? b 是偶函数,则函数图像与 y 轴交点的纵坐 标的最大值是( ) .

A. - 4

B. 2

C. 3

D. 4

8. 三位同学合作学习, 对问题 “已知不等式 xy ? ax2 ? 2 y 2 对于 x ??1,2?, y ??2,3? 恒成立, 求 a 的取值范围”提出了各自的解题思路. 甲说: “可视 x 为变量, y 为常量来分析”. 乙说: “寻找 x 与 y 的关系,再作分析”. 丙说: “把字母 a 单独放在一边,再作分析”. 参考上述思路,或自已的其它解法,可求出实数 a 的取值范围是( )

A. ? ?1,6?

B.

[?1, 4)

C. [?1,??)

D. [1, ??)

第Ⅱ 卷 非选择题 (共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9—12 题) 9、假设要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标,现从 800 袋牛奶中抽取 60 袋进行检验,利用随机数表抽取样本时,先将 800 袋牛奶按 000,001,?,799 进行编号, 如果从随机数表第 8 行第 7 列的数开始向右读,请你衣次写出最先检测的 5 袋牛奶的编号 ____________________________ 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 10. 若 C27
3 n ?1 n ? C27?6 (n ? N * ), ( x ?

(下面摘取了随机数表第 7 行至第 9 行) . 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 83 92 12 06 76 44 39 52 38 79 99 66 02 79 54 (用数字作答) .

3

2 n ) 的展开式中的常数项是 x

11. 若函数 f(x)=ex-2x-a 在 R 上有两个零点,则实数 a 的取值范围是 _________________. 12.在计算“ 1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n(n ? 1) ”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第 k 项:

1 k (k ? 1) ? [k (k ? 1)(k ? 2) ? (k ? 1)k (k ? 1)], 由此得 3 1 1? 2 ? (1? 2 ? 3 ? 0 ?1? 2), 3 1 2 ? 3 ? (2 ? 3 ? 4 ? 1? 2 ? 3), 3


1 n(n ? 1) ? [n(n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1)n(n ? 1)]. 3

相加,得 1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n( n ? 1) ?

1 n(n ? 1)(n ? 2). 3


类比上述方法, 请你计算“ 1? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n(n ? 1)(n ? 2) ”, 其结果为 (二)选做题(13—15 题,考生只能从中选做两题)

?? ? 13.(坐标系与参数方程选做题)以极坐标系中的点 ?1 , ? 为圆心,1 为半径的圆的极坐标方 6? ?
程是 .

14.(不等式选讲选做题)已知函数 f ( x) ? 3 4 ? x ? 4 x ? 3 ,则函数 f ( x ) 的最小值 为 , 最大值为 . 15.(几何证明选讲选做题)已知平面 ? 截圆柱体,截口是一条封闭曲线,且截面与底面所成 的角为 30°,此曲线是 ,它的离心率为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.本小题满分 12 分) ( 已知在 VABC 中, A ?B﹑?C 所对的边分别为 a﹑b﹑c, 若 ?﹑ 且 sin C ? cos A . (Ⅰ)求角 A、B、C 的大小;
C (Ⅱ)设函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? A? ? cos ? 2x ? ? ,求函数 f ? x ? 的单调递增区间,并指出它相 ? ? .. ? 2?
s o c s o c A b ? B a

邻两对称轴间的距离. 17. (本小题满分 13 分)某项计算机考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有大拿感科目 A 成 绩合格时,才可继续参加科目 B 的考试,已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目均 合格方快获得证书,现某人参加这项考试,科目 A 每次考试成绩合格的概率为 每次考试合格的概率为

3 ,科目 B 4

2 ,假设各次考试合格与否均互不影响. 3

(Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率; (Ⅱ)在这次考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ? , 求随即变量 ? 的分布列和数学期望. 18. (本小题满分 13 分)如图,在三棱锥 S ? ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三 角形, ?BAC ? 90° , O 为 BC 中点. (Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 A ? SC ? B 的余弦值. 19. (本小题满分 14 分)

S

O

C
A

B

已知函数 f ( x) ?

x a ?1 ( a ? 0 且 a ?1) . ? a x

(Ⅰ)试就实数 a 的不同取值,写出该函数的单调递增区间; .. (Ⅱ)已知当 x ? 0 时,函数在 (0, 6) 上单调递减,在 ( 6, ??) 上单调递增,求 a 的值并 写出函数 F ( x) ? 3 f ( x) 的解析式; (Ⅲ)记(Ⅱ)中的函数 F ( x) ? 3 f ( x) 的图像为曲线 C , 试问是否存在经过原点的直线 l , 使得 l 为曲线 C 的对称轴?若存在,求出 l 的方程;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 14 分) (本小题满分 14 分)已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ?(a ? b ? 0) 的右 1 a 2 b2 焦点为 F,上顶点为 A,P 为 C 1 上任一点,MN 是圆 C2: x2 ? ( y ? 3)2 ? 1 的一条直径,
若与 AF 平行且在 y 轴上的截距为 3 ? 2 的直线 l 恰好与圆 C2 相切.

(Ⅰ)已知椭圆 C1 的离心率; (Ⅱ)若 PM ? PN 的最大值为 49,求椭圆 C 1 的方程.

???? ???? ?

1 ? 2x ?1 ? 2 x , x ? 2 ? 21. (本小题满分 14 分)已知 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )是函数 f ( x) ? ? 的图象 1 ??1, x? ? ? 2
上的任意两点(可以重合) ,点 M 在直线 x ? (Ⅰ)求 x1 + x2 的值及 y1 + y2 的值; (Ⅱ)已知 S1 =0,当 n≥2 时, Sn = f ( ) + f ( ) + f ( ) + ? ? f (
S

???? ???? ? 1 上,且 AM = MB . 2

1 n

2 n

3 n

n ?1 ) ,求 Sn ; n

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 an = 2 n ,Tn 为数列{ an }的前 n 项和,若存在正整数 c 、m, 使得不等式

Tm ? c 1 ? 成立,求 c 和 m 的值. Tm?1 ? c 2

2012 高考最后五天冲刺黄金卷:数学文 1
【答案及详细解析】
一、选择题:本大题理科共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1.B.解析: A = B = ?0,??? ,故选 B. 2.A.解析: z ?

3 3 6i = ? ? i ,故选 A. 2 2 3 ? 3i

1 2 3 ? ? 50 3.D.解析: S ? 2? ? 2? ? 2? ?? ? 2? ? 2550 ,故选 D.
4.C.解析:前后两组数据波动情况一样,故选 C. 5. 解析:圆心 O 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? A.

C A2 ? B 2

所以 ? 1 , ?AOB ?

2? ,, 3

2 OA 所以 OM · =(· ?OB cos ?AOB ? 2? cos ON
3 3 3 6.B.解析: A9 ? ( A5 ? A4 ) = 420,故选 B.

??? ??? ? ?

2? ? ?2 ,故选 A. 3

7.D.解析: b ? 4 ? a2 , 令m ? 2a ? b,即b ? 2a ? m,用数形结合的方法即可得结果 ,故 选 D. 8. 解析:a ? C.

y y y2 y 1 1 y y2 y 1 1 ? 2? 2 ? ?2( ? ) 2 ? , a ? ? 2? 2 ? ?2( ? ) 2 ? , ,3 又 而 ? ?1 x x x 4 8 x x x 4 8 x

?,

y 1 2 1? ? ? ?2( x ? 4 ) ? 8 ? = -1,故选 C. ? ? man
二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-12 题) 9.785,667,199,507,175.解析:抽样方法,随机数表的使用,考生不要忽略. 10.-80.解析:3n+1=n+6 或 3n+1=27-(n+6),解得 n=5, Tr ?1 ? (?1) C 2 x
r r 5 r 15?5 r 6

,r=3,

T4 ? ?80 .
11 .

?2 ? 2 ln 2,?? ?

. 解 析 : 令

, f , ( x) ? e x ? 2 ? 0 , 则 x ? l n 2 所 以

f( l n? ) 2 ?

? 2 ? 2 ? n,故 a ? 2 0 2 ln 2 . a l 2

12.

1 1 n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) .解析: 1? 2 ? 3 ? (1? 2 ? 3 ? 4 ? 0 ?1? 2 ? 3), ? ? ? , ??? 4 4 1 n(n ? 1)(n ? 2) ? [n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ? (n ? 1)n(n ? 1)(n ? 2)]. 用累加的方法即得结果. 4

(二)选做题(13-15 题,考生只能从中选做两题)

?? ? 13. (坐标系与参数方程选做题) ? ? 2cos ? ? ? ? .解析:可利用解三角形和转化为直角 6? ?

坐标来作,也可以转化为直角坐标系下求圆的方程来处理,主要考查极坐标的有关知识,以 及转化与化归的思想方法. 14 . 不 等 式 选 讲 选 做 题 ) 3 , 5 . 解 析 : 设 (

4 ? x ? cos? , x ? 3 ? sin ? , 则

y= 3cos ? ? 4sin ? ? 5sin( ? ? ?) ,故最小值为 3,最大者为 5. 15. (几何证明选讲选做题)椭圆,

1 .解析:椭圆的短轴长为圆柱底面直径 2r,长轴长为 2

1 2r 4 3r ,所以离心率为 . ? o 2 cos 30 3
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由题设及正弦定理知:

cos A sin B ? ,得 sin 2 A ? sin 2 B , cos B sin A

∴ 2 A ? 2 B 或 2 A ? 2 B ? ? ,即 A ? B 或 A ? B ? 当 A ? B 时,有 sin(? ? 2 A) ? cos A , 即 sin A ? 当 A? B ? ∴A?B?

?

?
?
6 2

时,有 sin(? ? ,C ?

?
2

1 ? 2? ,得 A ? B ? , C ? ; 2 6 3

2



) ? cos A ,即 cos A ? 1 ,不符题设,

2? . ???????7分 3

(Ⅱ) 由(Ⅰ)及题设知: f ( x) ? sin(2 x ? 当 2x ?

?

?
6

? [2k? ?

?

, 2k? ? ](k ? Z ) 时, f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 为增函数, 2 2 6

?

) ? cos(2 x ? ) ? 2sin(2 x ? ) ; 6 3 6

?

?

?

即 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

6

) 的单调递增区间为 [k? ?

?

它的相邻两对称轴间的距离为 17. (本小题满分 13 分)

? . ???12 分 2

, k? ? ](k ? Z ) . ???11分 3 6

?

解:设该人参加科目 A 考试合格和补考为时间 A1、A2 ,参加科目 B 考试合格和补考合 格为时间 B1、B2,事件A1、 2、B1、B2 相互独立. A (Ⅰ)设该人不需要补考就可获得证书为事件 C,则 C= A1B1 ,

P(C ) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 ) P( B1 ) ?
(Ⅱ) ? 的可能取值为 2,3,4. 则 P( (? ? 2) ?

3 2 1 ? ? . 4 3 2

???????4 分

3 2 1 1 27 9 ? ? ? ? ? ; 4 3 4 4 48 16

所以,随即变量 ? 的分布列为

3 1 2 1 3 2 3 1 1 18 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 4 3 3 4 4 3 4 3 3 48 8 1 3 1 2 1 3 1 1 3 1 ? P (? ? 4) ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 4 4 3 3 4 4 3 3 48 16
P (? ? 3) ?

???????9 分

?
P 所以 E? ? 2 ?

2

3

4

27 48 27 18 3 5 ? 3? ? 4 ? ? . 48 48 48 2

18 48

3 48
??????13 分

18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题设 AB= AC = SB= SC ? SA ,连结 OA , △ ABC 为等腰直角三角形, 所以 OA ? OB ? OC ?

2 SA ,且 AO ? BC ,又 △SBC 为等腰三角形, 2

SO ? BC ,且 SO ?

2 SA ,从而 OA2 ? SO2 ? SA2 . 2

所以 △ SOA 为直角三角形, SO ? AO . 又 AO ? BO ? O . 所以 SO ? 平面 ABC .???????6分 (Ⅱ)解法一:取 SC 中点 M ,连结 AM,OM ,由(Ⅰ)知 SO ? OC,SA ? AC , 得 OM ? SC,AM ? SC .∴ ?OMA 为二面角 A ? SC ? B 的平面角. 由 AO ? BC,AO ? SO,SO ? BC ? O 得 AO ? 平面 SBC . 所以 AO ? OM ,又 AM ?

3 SA , 2

故 sin ?AMO ?

AO 2 6 . ? ? AM 3 3
3 ?????? 3

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为 13分

解法二:以 O 为坐标原点,射线 OB,OA 分别为 x 轴、 y 轴的正半轴,建立如图的空 间直角坐标系 O ? xyz .

, 0) ,0) 1,,S(0,1) . 0) 0, 设 B(1 0, ,则 C (?1 0,,A(0,

? ? 1 ? ???? ? 1 1 ? ??? ? 1 1 ? ???? ? 1 SC 的中点 M ? ? , ? , MO ? ? , ? ?, ? ? , ? ?, ? (?1 0, 1) . 0, 0, MA 1 , SC ,? 2? 2? ?2 ?2 ? 2 2?

???? ??? ? ? ???? ??? ? ∴ MO ? SC ? 0, ? SC ? 0 . MA
故 MO ? SC,MA ? SC,< MO, MA ? 等于二面角 A ? SC ? B 的平面角.??10分

???? ??? ? ?

???? ???? ? ???? ???? ? MO ? MA 3 , cos ? MO, ?? ???? ???? ? MA ? 3 MO ? MA
所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

3 .???13分 3

19. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) 由题设知: f '( x) ?

1 a ? 1 x 2 ? a(a ? 1) ? 2 ? . a x ax 2

①当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (? a(a ? 1),0) 及 (0, a(a ? 1)) ; ②当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??,0) 及 (0, ??) ; ③当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ? a(a ? 1)) 及 ( a(a ? 1), ??) .?6 分 (Ⅱ)由题设及(Ⅰ)中③知 a(a ? 1) ? 6 且 a ? 1 ,解得 a ? 3 , 因此,函数解析式为 F ( x) ? ??8 分 ??9 分

3x 2 3 ? ( x ? 0) . 3 x

(Ⅲ)假设存在经过原点的直线 l 为曲线 C 的对称轴,显然 x 、 y 轴不是曲线 C 的对称轴,故 可设 l : y ? kx ( k ? 0 ) 设 P ( p, q ) 为曲线 C 上的任意一点, P?( p?, q?) 与 P ( p, q ) 关于直 , 线 l 对称,且 p ? p? , q ? q ? ,则 P ? 也在曲线 C 上,由此得

q ? q? 1 p 2 3 p? 2 3 q ? q? p ? p? ? ? ,且 q ? , , q? ? , ? ? ?k p ? p? k p? p 2 2 3 3
整理得 k ?

??12 分

1 2 3 ? ,解得 k ? 3 或 k ? ? , k 3 3

所以存在直线 y ? 3x 及 y ? ?

3 x 为曲线 C 的对称轴. 3

??14 分

20. (本小题满分14分) 解: (Ⅰ)由题意可知直线 l 的方程为 bx ? cy ? (3 ? 2 )c ? 0 , 因为直线与圆 c2 : x ? ( y ? 3) ? 1 相切,所以 d ?
2 2

3c ? 3c ? 2c b ?c
2 2

? 1 ,即 a 2 ? 2c 2 ,

从而 e ?

2 ; 2

???????6 分

(Ⅱ)设 P( x, y) 、圆 C 2 的圆心记为 C 2 ,则
2 2 x2 y2 ? 2 ? 1 ( c ﹥0) PM ? PN ? ( PC 2 ? C 2 M ) ? ( PC 2 ? C 2 N ) ? PC 2 ? C 2 N = ,又 2 2c c

x 2 ? (3 ? y) 2 ? 1 ? ?( y ? 3) 2 ? 2c 2 ? 17(?c ? y ? c) . ???????8 分
?当 c ? 3时, (PM ? PN) MAX ? 17 ? 2c 2 ? 49, 解得c ? 4, 此时椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1; 32 16
?当 0 ? c ? 3时, (PM ? PN) MAX ? ?(?c ? 3) 2 ? 17 ? 2c 2 ? 49, 解得c ? 5 2 ? 3但

c ? 5 2 ? 3 ? 3, 故舍去.
综上所述,椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 32 16

???????14 分

21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵点 M 在直线 x=

???? ???? ? 1 1 上,设 M ( , yM ) .又 AM = MB , 2 2 ???? ? 1 ???? 1 即 AM ? ( ? x1 , yM ? y1 ) , MB ? ( x2 ? , y2 ? yM ) ,∴ x1 + x2 =1.??????2 分 2 2 1 1 ①当 x1 = 时, x2 = , y1 + y 2 = f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 ?1 ? ?2 ; 2 2
②当 x1 ?

1 1 2 x1 2 x2 2 x (1 ? 2 x2 ) ? 2 x2 (1 ? 2 x1 ) 时, x2 ? , y1 + y 2 = + = 1 2 2 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 ) 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2

=

2( x1 ? x2 ) ? 8 x1 x2 2(1 ? 4 x1 x2 ) = ? ?2 ;综合①②得, y1 + y2 ? ?2 .????5 分 1 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 4 x1 x2 ? 1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x1 + x2 =1 时, y1 + y2 ? ?2 . ∴ f ( )? f (

n?k ) ? ?2 ,k= 1,2,3,?, n ? 1 .??????????????7 分 n 1 2 3 n ?1 ) , n≥2 时, Sn ? f ( ) + f ( ) + f ( ) + ? ? f ( n n n n n ?1 n?2 n?3 1 )? f ( )? f ( ) ??? f ( ) , ② Sn ? f ( n n n n k n

①+②得,2 Sn =-2(n-1),则 Sn =1-n.

n=1 时, S1 =0 满足 Sn =1-n. ∴ Sn =1-n.??????????????????10 分

S 1 1 n ?1 2 1? n (Ⅲ) a n = 2 n = 2 , Tn =1+ + ? ? ( ) = 2 ? n .

2

2

2

Tm ? c 1 2(Tm ? c) ? (Tm?1 ? c) c ? (2Tm ? Tm?1 ) ? ? ?0? ? 0. Tm?1 ? c 2 2(Tm?1 ? c) c ? Tm?1
1 4 1 3 , 2Tm ? Tm?1 = 4 ? m -2+ m =2- m , m 2 2 2 2 1 3 1 ∴ ? 2 ? m ? c ? 2 ? m ? 2 , c 、m 为正整数,∴c=1, 2 2 2 3 ? ?2 ? 2 m ? 1 m 当 c=1 时, ? ,∴1< 2 <3,∴m=1.?????????????14 分 1 ?2 ? m ? 1 2 ?

Tm?1 =2-


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