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2008年全国中考数学压轴题精选(9)(有答案共10套)


2008 年全国中考数学压轴题精选(九)

81.(08 广东茂名 25 题) (本题满分 10 分) 如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线 y =-

2 2 x +b x +c 经 3
y

过 A(0,-4) 、B( x 1 ,0) C( x 2 ,0)三点,且 x 2 - x 1 =5. 、 (1)求 b 、 c 的值; 分) (4 (2) 在抛物线上求一点 D, 使得四边形 BDCE 是以 BC 为对 角线的菱形; 分) (3 (3)在抛物线上是否存在一点 P,使得四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形?若存在,求出点 P 的坐标,并判断这个菱 形是否为正方形?若不存在,请说明理由. 分) (3 解: (08 广东茂名 25 题解析)解: (1)解法一: ∵抛物线 y =- B C

x O

A

(第 25 题图)

2 2 , x + b x + c 经过点 A(0,-4) 3 2 2 x + b x + c =0 的两个根, 3

∴ c =-4 ……1 分 又由题意可知, x 1 、 x 2 是方程- ∴ x 1+ x 2 =

3 b, 2

x 1 x 2 =-

3 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ··· 2 c =6 ························· 分 2

由已知得( x 2 - x 1 ) 2 =25 又( x 2 - x ∴
1

) =( x 2 + x 1 ) -4 x 1 x 2 =

2

2

9 2 b -24 4

9 2 b -24=25 4 14 解得 b =± ··········· ··········· ·········· ······· 分 ··········· ·········· ··········· ······· ·········· ··········· ··········· ······ 3 3 14 当b = 时,抛物线与 x 轴的交点在 x 轴的正半轴上,不合题意,舍去. 3
∴ b =-

14 . ··········· ··········· ·········· ······· 分 ··········· ·········· ··········· ······ 4 ·········· ··········· ··········· ······ 3

解法二:∵ x 1 、 x 2 是方程-
2

2 2 x + b x +c=0 的两个根, 3

即方程 2 x -3 b x +12=0 的两个根.

1

∴x=

3b ?

9b 2 ? 96 , ··········· ··········· ······ 分 ··········· ·········· ······ 2 ·········· ··········· ······ 4

9b 2 ? 96 ∴x 2-x 1= =5, 2
解得 b =±

14 ··········· ··········· ·········· ··· 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ·· 3 3

(以下与解法一相同. ) (2)∵四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形,根据菱形的性质,点 D 必在抛物线的对称轴上, ··········· ··········· ·········· ··········· 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ·········· ··········· ··········· ·········· 5 又∵ y =-

2 2 14 2 7 25 ··········· ·· 分 ··········· · 6 ·········· ·· x - x -4=- ( x + ) 2 + 3 3 3 2 6 7 25 ∴抛物线的顶点(- , )即为所求的点 D. ··············7 分 ··········· ··· ·········· ···· 2 6

(3)∵四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形,点 B 的坐标为(-6,0) , 根据菱形的性质,点 P 必是直线 x =-3 与 抛物线 y =-

2 2 14 ··········· ·········· · ·········· ··········· · x - x -4 的交点, ······················8 分 3 3 2 14 ∴当 x =-3 时, y =- × (-3) 2 - × (-3)-4=4, 3 3
∴在抛物线上存在一点 P(-3,4) ,使得四边形 BPOH 为菱形. ······· 分 ······ 9 ······ 四边形 BPOH 不能成为正方形,因为如果四边形 BPOH 为正方形,点 P 的坐标只能是(-3,

3) ,但这一点不在抛物线上. ···························· 分 ··························· 10 ·········· ··········· ······

82.(08 广东肇庆 25 题) (本小题满分 10 分) 已知点 A(a, y1 ) 、B(2a,y 2 ) 、C(3a,y 3 )都在抛物线 y ? 5 x ? 12 x 上.
2

(1)求抛物线与 x 轴的交点坐标; (2)当 a=1 时,求△ABC 的面积; (3)是否存在含有 y1 、y 2 、y 3 ,且与 a 无关的等式?如果存在,试给出一个,并加以证明;如果不 存在,说明理由. (08 广东肇庆 25 题解析) (本小题满分 10 分) 解: (1)由 5 x ? 12 x =0, ····························· 分) ···························· (1 ·········· ··········· ·······
2

12 . ······························(2 分) ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········ 5 12 ∴抛物线与 x 轴的交点坐标为(0,0)( ? 、 ,0) ·············· (3 分) . ··········· ··· ·········· ···· 5
得 x1 ? 0 , x 2 ? ? (2)当 a=1 时,得 A(1,17) 、B(2,44) 、C(3,81) ··········· (4 分) , ··········· ·········· · 2

分别过点 A、B、C 作 x 轴的垂线,垂足分别为 D、E、F,则有

S ?ABC =S 梯形ADFC - S 梯形 ADEB - S 梯形 BEFC
=

···················(5 分) ··········· ········ ·········· ········

(17 ? 81) ? 2 (17 ? 44) ? 1 (44 ? 81) ? 1 ············· (6 分) ··········· ·· ·········· ··· 2 2 2

=5(个单位面积) ·························· (7 分) ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· (3)如: y3 ? 3( y 2 ? y1 ) . ···························(8 分) ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ····· 事实上, y3 ? 5 ? (3a) ? 12 ? (3a) =45a2+36a.
2

3( y 2 ? y1 )=3[5× (2a)2+12× 2a-(5a2+12a)] =45a2+36a.·····(9 分) ····· ···· ∴ y3 ? 3( y 2 ? y1 ) . ······························· ······························ (10 分) ·········· ··········· ·········

83.(08 辽宁沈阳 26 题) (本题 14 分)26.如图所示,在平面直角坐标系中,矩形 ABOC 的边 BO 在 x 轴 的负半轴上,边 OC 在 y 轴的正半轴上,且 AB ? 1, OB ? 3 ,矩形 ABOC 绕点 O 按顺时针方向旋 转 60 后得到矩形 EFOD .点 A 的对应点为点 E ,点 B 的对应点为点 F ,点 C 的对应点为点 D ,抛 物线 y ? ax ? bx ? c 过点 A E,D . ,
2

?

y E A B F C O 第 26 题图 D x

(1)判断点 E 是否在 y 轴上,并说明理由; (2)求抛物线的函数表达式; (3)在 x 轴的上方是否存在点 P ,点 Q ,使以点 O,B,P,Q 为顶 点的平行四边形的面积是矩形 ABOC 面积的 2 倍,且点 P 在抛物线上, 若存在,请求出点 P ,点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

(08 辽宁沈阳 26 题解析)解: (1)点 E 在 y 轴上··················· 分 ··········· ········ ·········· ········ 1 理由如下: 连接 AO ,如图所示,在 Rt△ABO 中,? AB ? 1 , BO ? 3 ,? AO ? 2

? sin ?AOB ?

1 ? ,??AOB ? 30 2
?

由题意可知: ?AOE ? 60

??BOE ? ?AOB ? ?AOE ? 30? ? 60? ? 90?
··········· ·········· ····· 3 ·········· ··········· ····· ?点 B 在 x 轴上,?点 E 在 y 轴上. ··························· 分 (2)过点 D 作 DM ? x 轴于点 M 3

?OD ? 1, ?DOM ? 30?

?在 Rt△DOM 中, DM ? ?点 D 在第一象限,

3 1 , OM ? 2 2

? 3 1? ·········· ··········· ··········· 5 ?点 D 的坐标为 ? , ? ································· 分 ? 2 2 ? ··········· ·········· ··········· · ? ?
由(1)知 EO ? AO ? 2 ,点 E 在 y 轴的正半轴上

2) ?点 E 的坐标为 (0,
1) ·································6 ·········· ··········· ··········· · ?点 A 的坐标为 (? 3, ·································· 分

?抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 经过点 E ,
?c ? 2
1) 由题意,将 A(? 3, , D ?
? 3 1? 2 ? 2 , ? 代入 y ? ax ? bx ? 2 中得 ? 2? ?

?3a ? 3b ? 2 ? 1 ? ?3 3 1 b?2? ? a? ?4 2 2

8 ? ?a ? ? 9 ? 解得 ? ?b ? ? 5 3 ? 9 ?

8 5 3 x ? 2 ··········· ·········· 分 ··········· ········· 9 ·········· ·········· ?所求抛物线表达式为: y ? ? x 2 ? 9 9
(3)存在符合条件的点 P ,点 Q . ··························· 分 ··········· ·········· ······ ·························· 10 理由如下:?矩形 ABOC 的面积 ? AB?BO ? 3

?以 O,B,P,Q 为顶点的平行四边形面积为 2 3 .
由题意可知 OB 为此平行四边形一边, 又? OB ? 3 ··········· ·········· ··········· ···· ·········· ··········· ··········· ··· ?OB 边上的高为 2 ····································11 分 依题意设点 P 的坐标为 (m, 2)

8 5 3 x?2上 ?点 P 在抛物线 y ? ? x 2 ? 9 9

4

8 5 3 ?? m2 ? m?2 ? 2 9 9
解得, m1 ? 0 , m2 ? ?

5 3 8

? 5 3 ? ,? 2? ? P (0, , P2 ? ? 2) 1 ? 8 ? ?

?以 O,B,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,
? PQ ∥OB , PQ ? OB ? 3 ,
y E A B F C D x

2) ?当点 P1 的坐标为 (0, 时,
2) 2) 点 Q 的坐标分别为 Q1 ( ? 3, , Q2 ( 3, ;
? 5 3 ? ,? 时, 2? 当点 P2 的坐标为 ? ? ? 8 ? ?
点 Q 的坐标分别为 Q3 ? ?

O M

? 13 3 ? ?3 3 ? ,? , Q4 ? 2? 2 ? ················· 14 ·········· ······· ? ? 8 ,? . ·················· 分 8 ? ? ? ?

84.(08 辽宁 12 市 26 题) (本题 14 分)26.如图 16,在平面直角坐标系中,直线 y ? ? 3x ? 3 与 x 轴 交于点 A ,与 y 轴交于点 C ,抛物线 y ? ax ?
2

2 3 x ? c(a ? 0) 经过 3
y

A,B,C 三点. (1)求过 A B,C 三点抛物线的解析式并求出顶点 F 的坐标; , (2)在抛物线上是否存在点 P ,使 △ ABP 为直角三角形,若存在, 直接写出 P 点坐标;若不存在,请说明理由; (3) 试探究在直线 AC 上是否存在一点 M , 使得 △MBF 的周长最小, 若存在,求出 M 点的坐标;若不存在,请说明理由.
(08 辽宁 12 市 26 题解析) 解: (1)?直线 y ? ? 3x ? 3 与 x 轴交于点 A ,与 y 轴交于点 C .

A C

O F

B

x

图 16

? ··········· ·········· ··········· 1 ·········· ··········· ··········· ? A(?1, , C (0, 3) ································· 分 0)

?点 A,C 都在抛物线上,
? 2 3 ?c ?0 ? a ? ?? 3 ?? 3 ? c ? ? 3 ?a ? ?? 3 ?c ? ? 3 ?

5

?抛物线的解析式为 y ?

3 2 2 3 ··········· ·········· ·········· ·········· 3 x ? x ? 3 ··········· ·········· 分 3 3

? 4 3? ·········· ··········· ··········· ·· ?顶点 F ?1, ? ? 3 ? ··········· ··········· ·········· ··· 分 ? ··········· ·········· ··········· ·· 4 ? ?
(2)存在 ········································· 分 ··········· ·········· ··········· ········ 5 ·········· ··········· ··········· ········

P (0, 3) ········································ 分 ? ··········· ·········· ··········· ········ ·········· ··········· ··········· ······· 7 1 P2 (2, 3) ········································ 分 ? ··········· ·········· ··········· ······· 9 ·········· ··········· ··········· ·······
(3)存在 ········································ 分 ··········· ·········· ··········· ········ ······································· 10 理由: 解法一: 延长 BC 到点 B? ,使 B?C ? BC ,连接 B?F 交直线 AC 于点 M ,则点 M 就是所求的点. ······························· 11 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ·········· 过点 B? 作 B?H ? AB 于点 H . y

? B 点在抛物线 y ?

3 2 2 3 x ? x ? 3 上,? B(3, 0) 3 3
H A C B O MF 图9 B x

3 在 Rt△BOC 中, tan ?OBC ? , 3

??OBC ? 30 , BC ? 2 3 ,
?

在 Rt△BB?H 中, B?H ?

1 BB? ? 2 3 , 2

BH ? 3B?H ? 6 ,?OH ? 3 ,? B?(?3, 2 3) ·················· 分 ? ················· 12 ·········· ·······
设直线 B?F 的解析式为 y ? kx ? b

??2 3 ? ?3k ? b ? ?? 4 3 ? k ?b ?? ? 3

? 3 ?k ? ? 6 解得 ? ?b ? ? 3 3 ? ? 2

?y ?

3 3 3 x? ··································· 13 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ··· 6 2

? y ? ? 3x ? 3 ? ?? 3 3 3 x? ?y ? 6 2 ?

3 ? ?x ? 7 ?3 10 ? ?M ? , ? 解得 ? ?7 7 ? ? y ? ? 10 3 , ? 7 ?

? 3 ? ? ?

6

? 3 10 3 ? · · ?在直线 AC 上存在点 M ,使得 △MBF 的周长最小,此时 M ? , ? 7 ? 7 ? . · 14 分 ? ? ?
解法二: 过点 F 作 AC 的垂线交 y 轴于点 H ,则点 H 为点 F 关于直线 AC 的对称点.连接 BH 交 AC 于点 ··········· ········ ·········· ········ M ,则点 M 即为所求. ···················11 分 过点 F 作 FG ? y 轴于点 G ,则 OB ∥ FG , BC ∥ FH . y

??BOC ? ?FGH ? 90? , ?BCO ? ?FHG

??HFG ? ?CBO
同方法一可求得 B(3, . 0)

A

O C M G F H 图 10

B

x

在 Rt△BOC 中, tan ?OBC ?

3 3 ? ,??OBC ? 30 ,可求得 GH ? GC ? , 3 3

?GF 为线段 CH 的垂直平分线,可证得 △CFH 为等边三角形, ? AC 垂直平分 FH .
? 即点 H 为点 F 关于 AC 的对称点.? H ? 0,
设直线 BH 的解析式为 y ? kx ? b ,由题意得

? ? ?

5 3? ················ 12 ·········· ······ ? ··········· ······ 分 3 ? ?

?0 ? 3k ? b ? 5 ? ?b ? ? 3 3 ?

5 ? ?k ? 9 3 ? 解得 ? ?b ? ? 5 3 ? 3 ?

?y ?

5 5 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ·· 3? 3 ···································13 分 9 3
3 ? ?x ? 7 ? 解得 ? ? y ? ? 10 3 ? 7 ?
?3 10 ?M ? , ?7 ? 7 ? ? 3 ? ? ?

5 5 ? 3x ? 3 ?y ? 9 3 ?? ? y ? ? 3x ? 3 ?

? 3 10 3 ? · · ?在直线 AC 上存在点 M ,使得 △MBF 的周长最小,此时 M ? , ? 7 ? 7 ? . · 14 分 ? ? ?

85.(08 内蒙古赤峰 25 题) (本题满分 14 分)

0) ,, 3) , 在平面直角坐标系中给定以下五个点 A(?3,,B(?1 4) C (0,,D ? , ?,E (1 0) .
(1)请从五点中任选三点,求一条以平行于 y 轴的直线为对称轴的抛物线的解析式; 7

?1 7? ?2 4?

(2)求该抛物线的顶点坐标和对称轴,并画出草图;

17 ? 15 ? (3) 已知点 F ? ?1, ? 在抛物线的对称轴上, 直线 y ? 4? 4 ?
? 17 ? 过点 G ? ?1, ? 且垂直于对称轴.验证:以 E (1 0) 为圆心, , 4? ?

y G
B(?1, 4)

F

C (0, 3)
?1 7? D? , ? ?2 4?

EF 为半径的圆与直线 y ?
?1 7? ?2 4?

17 相切.请你进一步验证,以抛 4

E (1, 0) A(?3, 0)

H

O

x

物 线 上 的 点 D ? , ? 为 圆 心 DF 为 半 径 的 圆 也 与 直 线

y?

17 相切.由此你能猜想到怎样的结论. 4
2

(08 内蒙古赤峰 25 题解析)25.解: (1)设抛物线的解析式为 y ? ax ? bx ? c , 且过点 A(?3,,C (0,,E (1 0) , 0) 3) , 由 (0, 在 y ? ax ? bx ? c H . 3)
2

则 c ? 3 . ······································(2 分) ··········· ·········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ····· 得方程组 ?

?9a ? 3b ? 3 ? 0 , ?a ? b ? c ? 0

解得 a ? ?1 b ? ?2 . , ······ ······ ?抛物线的解析式为 y ? ? x ? 2 x ? 3 ······(4 分)
2

? 17 ? G ? ?1, ? 4? ? B(?1, 4)

y MN
C (0, 3)
?1 7? D? , ? ?2 4?

F

Q (2)由 y ? ? x ? 2 x ? 3 ? ?( x ? 1) ? 4 ····· ····· 分) ····(6
2 2

E (1, 0)

得顶点坐标为 (?1 4) ,对称轴为 x ? ?1 .····(8 分) ···· ···· , (3)①连结 EF ,过点 E 作直线 y ? 则 EN ? HG ?

A(?3, 0)

H

O

x

17 的垂线,垂足为 N , 4

17 . 4 15 , 4

在 Rt△FHE 中, HE ? 2 , HF ?

? EF ? HE 2 ? HF 2 ?

? EF ? EN ,

17 , 4 17 相切. ··········· ·········· (10 分) ·········· 4

?以 E 点为圆心, EF 为半径的 ? E 与直线 y ?
②连结 DF 过点 D 作直线 y ?

17 的垂线,垂足为 M .过点 D 作 DQ ? GH 垂足为 Q , 4 17 7 10 5 则 DM ? QG ? ? ? ? . 4 4 4 2
8

在 Rt△FQD 中, QD ?

3 15 7 8 , QF ? ? ? ? 2. 2 4 4 4

5 FD ? QF 2 ? QD 2 ? . 2

?以 D 点为圆心 DF 为半径的 ? D 与直线 y ?

17 相切. ············ ··········· (12 分) ·········· · 4 17 ③以抛物线上任意一点 P 为圆心,以 PF 为半径的圆与直线 y ? 相切. ··(14 分) ·· · 4

86.(08 青海西宁 28 题)如图 14,已知半径为 1 的 ? O1 与 x 轴交于 A,B 两点, OM 为 ? O1 的切线,切 点为 M ,圆心 O1 的坐标为 (2, ,二次函数 y ? ? x ? bx ? c 的图象经过 A,B 两点. 0)
2

(1)求二次函数的解析式; (2)求切线 OM 的函数解析式; (3)线段 OM 上是否存在一点 P ,使得以 P,O,A 为顶点的三 角形与 △OO1M 相似.若存在,请求出所有符合条件的点 P 的坐标; 若不存在,请说明理由. (08 青海西宁 28 题解析) (1) 圆心 O1 的坐标为 (2, , O1 解: ? 0) ? O

y M

A

O1

B x

图 14 半径为 1,? A(1 0) , B(3, ……1 分 , 0)

?二次函数 y ? ? x 2 ? bx ? c 的图象经过点 A,B ,
??1 ? b ? c ? 0 ··········· ··········· ······· 2 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········ ?可得方程组 ? ??9 ? 3b ? c ? 0
解得: ?

?b ? 4 ··········· ····· 3 ·········· ······ ?二次函数解析式为 y ? ? x 2 ? 4 x ? 3 ················· 分 ? c ? ?3

(2)过点 M 作 MF ? x 轴,垂足为 F . ·······················4 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· ·· . ?OM 是 ? O1 的切线, M 为切点,? O1M ? OM (圆的切线垂直于经过切点的半径) 在 Rt△OO1M 中, sin ?O1OM ?

O1M 1 ? OO1 2

y P P2 1 O HA M x

? ?O1OM 为锐角,??O1OM ? 30? ·········· 5 分 ·········· ··········

? OM ? OO1 ?cos 30? ? 2 ?

3 ? 3, 2
?

F O1

B

cos 在 Rt△MOF 中, OF ? OM ? 30 ? 3 ?

3 3 ? . 2 2

9

MF ? OM ? 30? ? 3 ? sin

1 3 . ? 2 2

?3 3? ·········· ··········· ··········· ?点 M 坐标为 ? , ? ································· 分 ? 2 2 ? ··········· ·········· ··········· 6 ? ?
设切线 OM 的函数解析式为 y ? kx(k ? 0) ,由题意可知

3 3 3 ·· 7 分 ·· ·· ? k ,? k ? 2 2 3

?切线 OM 的函数解析式为 y ?

3 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ··· 8 x ··········· ··········· ··· 分 3

(3)存在.········································ 分 ··········· ·········· ··········· ······· 9 ·········· ··········· ··········· ······· ①过点 A 作 AP ? x 轴,与 OM 交于点 P .可得 Rt△ APO ∽ Rt△MO1O (两角对应相等两三角形 1 1 1 相似)

P A ? OA?tan ?AOP ? tan 30? ? 1 1

? 3? 3 ,? P ? 1, ? ················ 10 分 ·········· ······ 1? ? ··········· ····· 3 ? 3 ?

②过点 A 作 AP2 ? OM ,垂足为 P2 ,过 P2 点作 P2 H ? OA ,垂足为 H . 可得 Rt△ AP2O ∽ Rt△O1MO (两角对应相等两三角开相似)

cos 在 Rt△OP2 A 中,?OA ? 1,? OP2 ? OA? 30 ?
?

3 , 2

cos 在 Rt△OP2 H 中, OH ? OP2 ? ?AOP2 ? P2 H ? OP2 ? ?AOP2 ? sin

3 3 3 ? ? , 2 2 4

?3 3? 3 1 3 ? ? ,? P2 ? , ? ·············· 11 分 ·········· ···· ? 4 4 ? ··········· ··· 2 2 4 ? ?

? 3? ?3 3? ·········· ········· ?符合条件的 P 点坐标有 ? 1, ? , ? , ? ····················12 分 ? 3 ? ? 4 4 ? ··········· ········· ? ? ? ?

87.(08 青海省卷 28 题)王亮同学善于改进学习方法,他发现对解题过程进行回顾反思,效果会更好.某 一天他利用 30 分钟时间进行自主学习.假设他用于解题的时间 x (单位:分钟)与学习收益量 y 的关 系如图甲所示,用于回顾反思的时间 x (单位:分钟)与学习收益量 y 的关系如图乙所示(其中 OA 是 抛物线的一部分, A 为抛物线的顶点) ,且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间. (1) 求王亮解题的学习收益量 y 与用于解题的时间 x 之间的函数关系式, 并写出自变量 x 的取值范围; (2)求王亮回顾反思的学习收益量 y 与用于回顾反思的时间 x 之间的函数关系式; (3)王亮如何分配解题和回顾反思的时间,才能使这 30 分钟的学习收益总量最大? (学习收益总量 ? 解题的学习收益量 ? 回顾反思的学习收益量) 10

y 4

y 25 A

O

2 图甲

x

O

5 图乙

15

x

第 28 题图 (08 青海省卷 28 题解析)解: (1)设 y ? kx , 把 (2, 代入,得 k ? 2 . 4) ··········· ·········· ··········· ····· ·········· ··········· ··········· ···· ? y ? 2 x . ·····································(1 分) 自变量 x 的取值范围是: 0 ≤ x ≤ 30 . ······················(2 分) ··········· ·········· · ·········· ··········· (2)当 0 ≤ x ≤ 5 时, 设 y ? a( x ? 5) ? 25 , ······························· 分) ······························ (3 ·········· ··········· ·········
2

把 (0, 代入,得 25a ? 25 ? 0 , a ? ?1 . 0)

? y ? ?( x ? 5)2 ? 25 ? ? x 2 ? 10 x .························(5 分) ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··
当 5 ≤ x ≤15 时, ······································· (6 ·········· ··········· ··········· ······· y ? 25 ········································ 分) 即y??

? ? x 2 ? 10 x (0 ≤ x ≤ 5) ? 25(5 ≤ x ≤ 15)



(3)设王亮用于回顾反思的时间为 x(0 ≤ x ≤ 15) 分钟,学习效益总量为 Z , 则他用于解题的时间为 (30 ? x) 分钟. 当 0 ≤ x ≤ 5 时,

Z ? ? x 2 ? 10 x ? 2(30 ? x) ? ? x 2 ? 8 x ? 60 ? ?( x ? 4) 2 ? 76 . ········· (7 分) ········· ·········
··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······ ?当 x ? 4 时, Z最大 ? 76 . ····························(8 分) 当 5 ≤ x ≤15 时, ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ···· Z ? 25 ? 2(30 ? x) ? ?2 x ? 85 . ························· (9 分)

? Z 随 x 的增大而减小,
11

?当 x ? 5 时, Z最大 ? 75 .
综合所述,当 x ? 4 时, Z最大 ? 76 ,此时 30 ? x ? 26 . ············ ··········· (10 分) ·········· · 即王亮用于解题的时间为 26 分钟,用于回顾反思的时间为 4 分钟时,学习收益总量最大. ··········································· (11 分) ··········· ·········· ··········· ··········· ·········· ··········· ··········· ·········· · 88.(08 山东济宁 26 题) (12 分)

△ABC 中, ?C ? 90? , ?A ? 60? , AC ? 2 cm.长为 1cm 的线段 MN 在 △ABC 的边 AB 上沿 AB
方向以 1cm/s 的速度向点 B 运动(运动前点 M 与点 A 重合) .过 M,N 分别作 AB 的垂线交直角边于

P,Q 两点,线段 MN 运动的时间为 t s.
(1)若 △AMP 的面积为 y ,写出 y 与 t 的函数关系式(写 出自变量 t 的取值范围) ; (2)线段 MN 运动过程中,四边形 MNQP 有可能成为矩形 吗?若有可能,求出此时 t 的值;若不可能,说明理由; (3) 为何值时, C,P,Q 为顶点的三角形与 △ABC 相 以 t 似? (08 山东济宁 26 题解析)解: (1)当点 P 在 AC 上时,? AM ? t ,? PM ? AM ?tg 60 ? 3t .
?

1 3 2 ? y ? t ? 3t ? t (0 ≤ t ≤ 1) . ··························2 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· 2 2
当点 P 在 BC 上时, PM ? BM ?tan 30 ?
?

3 (4 ? t ) . 3

1 3 3 2 2 3 y ? t ? (4 ? t ) ? ? t ? t (1 ≤ t ≤ 3) . ··················· 分 ··········· ······· 4 ·········· ········ 2 3 6 3
(2)? AC ? 2 ,? AB ? 4 .? BN ? AB ? AM ? MN ? 4 ? t ?1 ? 3 ? t .

? QN ? BN ?tan 30? ?

3 (3 ? t ) . ··························· 分 ··········· ·········· ····· 6 ·········· ··········· ····· 3

由条件知,若四边形 MNQP 为矩形,需 PM ? QN ,即 3t ?

3 (3 ? t ) , 3

3 . 4 3 ··········· ·········· ·· 8 ·········· ··········· ·· ?当 t ? s 时,四边形 MNQP 为矩形. ························ 分 4 3 (3)由(2)知,当 t ? s 时,四边形 MNQP 为矩形,此时 PQ ∥ AB , 4 ?t ?
12

··········· ·········· ··········· · 9 ·········· ··········· ··········· · ? PQC ∽△ABC .·································· 分 △

除此之外,当 ?CPQ ? ?B ? 30 时, △QPC ∽△ABC ,此时
?

CQ 3 . ? tan 30? ? CP 3

?
?

AM 1 ··········· ·········· ? cos 60? ? ,? AP ? 2 AM ? 2t .?CP ? 2 ? 2t .···········10 分 AP 2
BN 3 BN 2 3 ? cos 30? ? ,? BQ ? ? (3 ? t ) . BQ 2 3 3 2

又? BC ? 2 3 ,? CQ ? 2 3 ?

2 3 2 3t . ···············11 分 ··········· ···· ·········· ···· (3 ? t ) ? 3 3

2 3t 3 1 ,t ? . ? 3 ? 2 ? 2t 3 2

1 3 ······· ······ ?当 t ? s 或 s 时,以 C,P,Q 为顶点的三角形与 △ABC 相似. ·······12 分 2 4

89.(08 四川巴中 30 题) (12 分)30.已知:如图 14,抛

3 2 x ? 3 与 x 轴交于点 A ,点 B ,与直线 4 3 3 点 直线 y ? ? x ? b 与 y y ? ? x ? b 相交于点 B , C , 4 4 轴交于点 E . (1)写出直线 BC 的解析式. (2)求 △ABC 的面积. (3)若点 M 在线段 AB 上以每秒 1 个单位长度的速 度从 A 向 B 运动(不与 A,B 重合) ,同时,点 N 在射线 设运动 BC 上以每秒 2 个单位长度的速度从 B 向 C 运动. 时间为 t 秒,请写出 △MNB 的面积 S 与 t 的函数关系式, 并求出点 M 运动多少时间时, △MNB 的面积最大,最
物线 y ? ? 大面积是多少? (08 四川巴中 30 题解析)解: (1)在 y ? ?

3 2 x ? 3 中,令 y ? 0 4
C E

y

3 ?? x 2 ? 3 ? 0 4
? x1 ? 2 , x2 ? ?2
·········· ······· ? A(?2, , B(2, ·················1 分 0) 0) ················· A

N

MD O

P

B

x

13

又?点 B 在 y ? ?

3 x?b上 4

3 ?0 ? ? ? b 2 3 b? 2 3 3 ··········· ·········· ······· 2 ·········· ··········· ······· ? BC 的解析式为 y ? ? x ? ····························· 分 4 2
3 2 ? ? x1 ? ?1 ?y ? ? 4 x ? 3 ? ? (2)由 ? ,得 ? 9 ? y1 ? 4 ?y ? ? 3 x ? 3 ? ? ? 4 2
9? ? ? C ? ?1, ? , B(2, 0) 4? ?
? x2 ? 2 ··········· ········ 4 分 ··········· ········ ·········· ········· ? ? y2 ? 0

9 ··········· ··········· ·········· ··· 分 ··········· ·········· ··········· ·· 5 ·········· ··········· ··········· ·· 4 1 9 9 ··········· ·········· ··········· 6 ·········· ··········· ··········· ? S△ ABC ? ? 4 ? ? ································· 分 2 4 2 (3)过点 N 作 NP ? MB 于点 P ? EO ? MB ? NP ∥ EO ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ·· 7 ? BNP ∽△BEO ··································· 分 △ BN NP ··········· ··········· ·········· ······· 分 ··········· ·········· ··········· ······· ·········· ··········· ··········· ······ 8 ? ? BE EO

? AB ? 4 , CD ?

由直线 y ? ?

3 3 ? 3? x ? 可得: E ? 0, ? 4 2 ? 2?

3 5 ?在 △BEO 中, BO ? 2 , EO ? ,则 BE ? 2 2 6 2t NP ,? NP ? t ································ 分 ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ·········· 9 ? ? 5 3 5 2 2 1 6 ? S ? ? t? ? t) (4 2 5 3 12 ······························ 10 ·········· ··········· ········· S ? ? t 2 ? t (0 ? t ? 4) ······························· 分 5 5 3 12 ··································11 分 ··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· · S ? ? (t ? 2)2 ? 5 5 12 ?此抛物线开口向下,?当 t ? 2 时, S最大 ? 5 12 ·········· ·········· ?当点 M 运动 2 秒时, △MNB 的面积达到最大,最大为 . ·········· 12 分 5

14

90.(08 四川自贡 26 题)抛物线 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的顶点为 M,与 x 轴的交点为 A、B(点 B 在点
2

A 的右侧) ,△ABM 的三个内角∠M、∠A、∠B 所对的边分别为 m、a、b。若关于 x 的一元二次方程

(m ? a) x 2 ? 2bx ? (m ? a) ? 0 有两个相等的实数根。
(1)判断△ABM 的形状,并说明理由。 (2)当顶点 M 的坐标为(-2,-1)时,求抛物线的解析式,并画出该抛物线的大致图形。 (3)若平行于 x 轴的直线与抛物线交于 C、D 两点,以 CD 为直径的圆恰好与 x 轴相切,求该圆的圆 心坐标。 (08 四川自贡 26 题解析)解: (1)令 ? ? (2b) ? 4(m ? a)( m ? a) ? 0
2

得a ?b ? m
2 2

2

由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知 △ABM 是一个以 a 、 b 为直角边的等腰直角三角形 (2)设 y ? a( x ? 2) ? 1
2

∵△ABM 是等腰直角三角形 ∴斜边上的中线等于斜边的一半 又顶点 M(-2,-1) ∴

1 AB ? 1 ,即 AB=2 2
2

∴A(-3,0),B(-1,0) 将 B(-1,0) 代入 y ? a( x ? 2) ? 1 中得 a ? 1 ∴抛物线的解析式为 y ? ( x ? 2) ? 1 ,即 y ? x ? 4 x ? 3
2 2

图略 (3)设平行于 x 轴的直线为 y ? k 解方程组错误!不能通过编辑域代码创建对象。 得 x1 ? ?2 ? k ? 1 , x 2 ? ?2 ? k ? 1 ∴线段 CD 的长为 2 k ? 1 ∵以 CD 为直径的圆与 x 轴相切 据题意得 k ? 1 ? k ∴ k ? k ?1
2

( k ? ?1)

解得 k ?

1? 5 2 1? 5 1? 5 ) 和 (?2, ) 2 2
15

∴圆心坐标为 (?2,

91.(08 新疆自治区 24 题) (10 分)某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房.如图,板房一面的形 状是由矩形和抛物线的一部分组成,矩形长为 12m,抛物线拱高为 5.6m. (1)在如图所示的平面直角坐标系中,求抛物线的表达式. (2)现需在抛物线 AOB 的区域内安装几扇窗户,窗户的底边在 AB 上,每扇窗户宽 1.5m,高 1.6m,相 邻窗户之间的间距均为 0.8m,左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为 0.8m.请计算最 多可安装几扇这样的窗户?

(08 新疆自治区 24 题解析)24. (10 分)解: (1)设抛物线的表达式为 y ? ax 点 B(6, 5.6) 在抛物线的图象上. ? ∴ ?5.6 ? 36a

2

1分

7 ·······················3 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· · 45 7 2 ∴抛物线的表达式为 y ? ? ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······· x ··········· ··········· ······ 4 分 45 a??
(2)设窗户上边所在直线交抛物线于 C、D 两点,D 点坐标为(k,t) 已知窗户高 1.6m,∴ t ? ?5.6 ? ( ? 1.6) ? ?4 ······················ 分 ··········· ·········· 5 ·········· ···········

?4 ?

?7 2 k 45

k1 ≈ 5.07,k2 ≈ ?5.07 (舍去) ···························· 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······ 6
∴ CD ? 5.07 ? 2 ≈10.14 (m) ····························· 分 ··········· ·········· ······· 7 ·········· ··········· ······· 又设最多可安装 n 扇窗户 ∴ 1.5n ? 0.8(n ? 1) ≤10.14 ·······························9 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ··········

n ≤ 4.06 .
答:最多可安装 4 扇窗户. ······························· 分 ······························ 10 ·········· ··········· ········· (本题不要求学生画出 4 个表示窗户的小矩形)

16


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