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安徽省池州一中2012-2013学年高三上学期第三次月考数学文科试卷


池 州 一 中 2012-2013 学 年 度 高 三 月 考

数 学 试 卷 (文 科 )
第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. ⒈ 已知 U ? {2,3, 4} ,集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 4) ? 0, x ? Z} ,则 ?U A ? ( ) A. ?1, 4? B. ?2, 3,4? C. ?2, 3? D. {4} log 4 x x ? 0 ? 1 ⒉ 已知函数 f ( x) ? ? x ,则 f [ f ( )] ? ( ) 3 x?0 16 ? 1 1 A. 9 B. C. 3 D. 9 3 ⒊ 设 [ x] 为表示不超过 x 的最大整数,则函数 y ? lg[ x] 的定义域为 ( A. (0, ??) B. [1, ??)
2? ,则( 3

)

C. (1, ??) ) C. c ? a ? b

D. (1, 2)

⒋ 设 a ? 30.5 , b ? log3 2, c ? cos A. c ? b ? a

B. a ? b ? c

D. b ? c ? a

⒌ 已知函数 y ? an x2( an ? 0, n ? N * ) 的图象在 x ? 1 处的切线斜率为 2an?1 ? 1( n ? 2, n ? N * ) , 且当 n ? 1 时,其图象经过 ? 2,8 ? ,则 a7 ? ( ) 1 A. B. 5 C. 6 2 ⒍ 命题“函数 y ? f ( x)( x ? M ) 是奇函数”的否定是( A. ?x ? M , f (? x) ? ? f ( x) C. ?x ? M , f (? x) ? ? f ( x) )

D. 7

B. ?x ? M , f (? x) ? ? f ( x) D. ?x ? M , f (? x) ? ? f ( x)

? ? ⒎ 把函数 y ? A sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? ) 的图象向左平移 个单位得到 y ? f ? x ? 的图象 2 3 (如图),则 2A ? ? ? ? ? ( )
A. ?

?
6

B.

? 6

C. ?

?
3

D.

? 3

⒏t 函数定义为: D(t ) ? ?

?1 t ? Q ,关于函数 D(t ) 的 ?0 t ? ? R Q

性质叙述不正确的是( ... A. D(t ) 的值域为 ?0,1?

) B. D(t ) 为偶函数

C. D(t ) 不是单调函数 D. D(t ) 不是周期函数 ?? ? ⒐ 函数 f (x)= lg x ? cos ? x ? 的零点个数是( )
?2 ?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6 )

⒑ 已知向量 a 、 b 的夹角为 ? , a ? b ? 2 3 , a ? b ? 2 ,则 ? 的取值范围是(

A. 0 ? ? ?

?
3

B.

?
3

?? ?

?
2

C.

?
6

?? ?

?
2

D. 0 ? ? ?

2? 3

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:共 5 小题,每小题 5 分,计 25 分. ⒒ 函数 f ( x) ?
ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为

. . .

3 ? ? 3? ? ⒓ 已知 ? ? ? , ? , tan ?? ? 7? ? ? ? ,则 sin ?+cos ? ? 4 ?2 2 ?

⒔ 函数 f ( x) ? e x ? x ? R ? 可表示为奇函数 h( x) 与偶函数 g ( x) 的和 ,则 h( x) ? ⒕ 给出下列命题: ⑴ y ? 1 是幂函数; ⑵“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件; ⑶
x ? 1( x ? 2) ? 0 的解集是 ? 2, ?? ? ;

? k? ? ,0 ? (k ? Z ) 成中心对称; ? 2 ? ⑸ 命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题.

⑷ 函数 y ? tan x 的图象关于点 ?

其中真命题的序号是

(写出所有正确命题的序号)

⒖ 对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) ,给出定义:设 f ?( x) 是函数 y ? f ( x) 的导数,
f ??( x) 是 f ?( x) 的导数,若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的

“拐点”,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数
1 1 5 都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? 3x ? ,请你根据 3 2 12

上面探究结果,解答以下问题:
1 1 5 (1)函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? 3x ? 的对称中心为 3 2 12

; .

(2)计算 f (

1 2 3 2012 )? f ( )? f ( ) ??? f ( )? 2013 2013 2013 2013

三、解答题:本大题共 6 小题,计 75 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. ⒗(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? 2 cos x, ? 3 sin 2 x , n ? (cos x,1) ,设函数 f ( x) ? m ? n , x ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递减区间; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? k ? 0 在区间 ?0, ? 上有实数根,求 k 的取值范围. ? 2?
? π?

?

?

⒘(本小题满分 12 分)
x ?1 命题 q : 实数 x 满足 x2 ? 2 x ? (1 ? m2 ) ? 0 (m ? 0) , ? 2; 3 若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

已知命题 p :实数 x 满足 ?2 ? 1 ?

⒙(本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? m x ( m 为常数,m ? 0 且 m ? 1 ).设 f (a1 ) , f (a2 ) ,?, f (an ) ,?( n ? N * ) 是首项为 m2,公比为 m 的等比数列. (Ⅰ)求证:数列 ?an ? 是等差数列; (Ⅱ)若 bn ? an ? f (an ) ,且数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,当 m ? 2 时,求 S n .

⒚ (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c ,设向量 m ? (a, b) , n ? (sin B,sin A) ,
p ? (b ? 2, a ? 2) .

(Ⅰ)若 m // n ,求证: ?ABC 为等腰三角形; (Ⅱ)若 m ⊥ p ,边长 c ? 2 , ?C ?

?
3

,求 ?ABC 的面积.

⒛(本小题满分 12 分) 如图,在 ?ABC 中,设 AB ? a , AC ? b , AP 的中点为 Q , BQ 的中点为 R , CR 的中点恰为
P.
??? ? ????

(Ⅰ)若 AP=?a +?b ,求 ? 和 ? 的值; (Ⅱ)以 AB , AC 为邻边, AP 为对角线,作平行四边形 ANPM , 求平行四边形 ANPM 和三角形 ABC 的面积之比
S? ANPM . S?ABC

??? ?

21.(本小题满分 14 分) 已知 f 0 ( x) ? x ? e x , f1 ( x) ? f0?( x) , f 2 ( x) ? f1?( x) ,?, f n ( x) ? f (?n?1) ( x)(n ? N * ) . (Ⅰ)请写出的 f n ( x) 表达式(不需证明); (Ⅱ)求 f n ( x) 的极小值 yn ? f n ( xn ) ; (Ⅲ)设 gn ( x) ? ? x 2 ? 2(n ? 1) x ? 8n ? 8 , g n ( x) 的最大值为 a , f n ( x) 的最小值为 b ,试求 a ? b 的最小值.

池州一中 2013 届高三第三次月考(10 月)
数学(文科)答案
一、选择题: 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 B 6 A 7 C 8 D 9 C 10 A

二、填空题 题号 答案 11. 解:由 ?

11

(?1,1)

12 1 ? 5

13
e ?e 2
x ?x

14 ⑵⑷⑸

15
?1 ? ? ,1? , 2012 ?2 ?

?x ?1 ? 0
2

? x ? ?1 ?? ? ?1 ? x ? 1 ,即定义域为 (?1,1) ?? x ? 3x ? 4 ? 0 ??4 ? x ? 1

三、解答题 16. 解: (Ⅰ)由题意知: f(x) = 2cos x ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2cos(2 x ?
2

?
3

)

∴f(x)的最小正周期 T =

?

.................... .4 分

∴f(x)的单调递减区间 [ k? ? 17.解:令 A ? ? x ?2 ? 1 ?

?

, k? ? ], k ? z 6 3

?

......................6 分

? ?

x ?1 ? ? 2 ? ? ? x ?2 ? x ? 10? 3 ?

B ? x x 2 ? 2 x ? (1 ? m 2 ) ? 0 (m ? 0) ? ? x 1 ? m ? x ? 1 ? m (m ? 0)?

?

?

??P则??的逆否命题为 “ 若? 则P ”
而 ?P是?? 的必要不充分条件,∴ ? 是P 的必要不充分条件

故A

B

?m ? 0 ? ∴ ?1 ? m ? ?2 ? m ? 9 ?10 ? 1 ? m ?
an

18. 解: (1)由题意 f(an)= m2 ? mn?1 ? mn?1 ,即 m ∴an=n+1, 分) (2 ∴an+1-an=1,

? mn ?1 .

∴数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列. (2)由题意 bn ? an ? f (an ) =(n+1)· n+1, m

当 m=2 时,bn=(n+1)·n 2

+1

∴Sn=2·2+3·3+4·4+…+(n+1)·n 2 2 2 2 ①式两端同乘以 2,得

+1



2Sn=2·3+3·4+4·5+…+n·n 1+(n+1)·n 2 2 2 2 2 ②-①并整理,得 Sn=-2·2-23-24-25-…-2n 1+(n+1)·n 2 2
+ +



+2



+2

=-22-(22+23+24+…+2n 1)+(n+1)·n 2 22(1-2n) + =-22- +(n+1)·n 2 2 1-2 =-22+22(1-2n)+(n+1)·n 2=2n 2· 2 n.
+ +

+2

19. 【解析】证明:(Ⅰ) Q m // n,? a sin A ? b sin B, 即 a ?

u v v

a b , ? b? 2R 2R

其中 R 是 ?ABC 外接圆半径, a ? b --------(5 分)

??ABC 为等腰三角形 -----(6 分) u ?? u ? v v ? 解(Ⅱ)由题意可知 // p ?p0, 即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0 ,? a ? b ? ab --------(8 分) mm ⊥
由余弦定理可知, 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab
2 2 2

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0

? a b ?4 ( 舍去 a b? ? ---------(10 分) 1)
?????????(12 分)

1 1 ? ? S ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3
20.(1)解:∵Q 为 AP 中点,∴ QP ?

??? ?

∴ PR ? CP ? AP ? AC ? ? a ? (u ? 1) b 同理: RQ ? BR ?

??? ?

??? ?

??? ???? ?

? 1 ??? ? u AP ? a ? ? b 2 2 2

P 为 CR 中点,

? ? 1 ??? 1 ???? ??? 1 ? ? 1 ? ? BQ ? ( AQ ? AB) ? ( a ? b? a) ? ( ? 1) a ? b 2 2 2 2 2 2 2 4 ??? ??? ??? ? ? ? ? ? 1 ? ? 而 QP ? PR ? RQ ? 0 ∴ a ? b? ? a ? ( ? ? 1) b? ( ? 1) a ? b ? 0 2 2 2 2 4 ??? ? ??? ?
2 1 ? ? ?? ? 2 ? ? ? 2 ( 2 ? 1) ? 0 ?? ? 7 ? ? ?? 即? ? ? ? ? ?1? ? ? 0 ?? ? 4 ?2 ? ? 4 7 ?

(2) S? ANPM ? AN ? AM ? sin A

S? ABC ?

1 AB ? AC ? sin A 2



AN ? AM ? sin A AN AM S? ANPM 2 4 16 ? ? 2? ? ? 2? ? ? 1 S? ABC AB AC 7 7 49 AB ? AC ? sin A 2

21. 【解析】本小题主要考查函数的概念、导数应用、函数的单调区间和极值等知识,考查 运用数学知识解决问题及推理的能力。 (Ⅰ)证明:对于任意的 a>0, x ? R ,均有 f (ax) ? af ( x) 在①中取 a ? 2, x ? 0,即得f (0) ? 2 f (0). ∴ f ? 0? ? 0 ② ①

(Ⅱ)证法一:当 x ? 0 时,由①得 f ( x) ? f ( x ? 1) ? xf (1) 取 k ? f (1) ,则有 当 x ? 0 时,由①得

f ( x) ? kx



f ( x)? f? ( x)? ( ?1 ) ? ?x f) ? 1 ) ? ? ( (


取 h ? ? f (?1) ,则有 f ( x) ? hx 综合②、③、④得 f ? x ? ? ? 证法二:

? kx, x ? 0 ; ?hx, x ? 0

令 x ? a 时,∵ a ? 0 ,∴ x ? 0 ,则 f ( x ) ? x ? f ( x)
2

而 x ? 0 时, f ( x) ? k? (k ? R) ,则 f ( x ) ? kx
2

2

而 x ? f ( x) ? x ? kx ? kx ,
2

∴ f ( x ) ? x ? f ( x) ,即 f ( x) ? kx 成立
2 2

令 x ? ?a ,∵ a ? 0 ,∴ x ? 0 ,则 f (? x ) ? ? x ? f ( x) 而 x ? 0 时, f ( x) ? h? (h ? R) ,则 f (? x ) ? ?hx ? ? x ? f ( x)
2 2 2 即 f ( x ) ? hx 成立。综上知 f ( x) ? ?

?kx ?hx

x?0 x?0

(Ⅲ)解法 1:由(Ⅱ)中的③知,当 x ? 0 时, g ( x) ? 从而 g ?( x) ? ?

1 ? kx , kx

1 k 2 x2 ?1 ?k ? , x?0 kx2 kx2

又因为 k>0,由此可得

x
g ?(x) g (x)

1 (0, ) k
- ↘

1 k
0 极小值 2

1 ( ,?? ) k
+ ↗

所以 g (x) 在区间 (0, ) 内单调递减,在区间( 解法 2:由(Ⅱ)中的③知,当 x ? 0 时, g ( x) ? 设 x1 , x2 ? (0,??), 且x1 ? x2 则

1 k

1 ,?? )内单调递增。 k

1 ? kx , kx

g ( x 2 ) ? g ( x1 ) ? ?

1 1 1 x1 ? x 2 ? k x2 ? ( ? k x1 ) ? ? k ( x 2 ? x1 ) k x2 k x1 k x1 x 2

( x 2 ? x1 ) 2 (k x1 x 2 ? 1). k x1 x 2

又因为 k>0,所以 (i)当 0 ? x1 ? x 2 ? (ii)当 0 ?

1 时, g ( x2 ) ? g ( x1 ) ; k

1 ? x1 ? x2时, g(x2 ) ? g ?x1 ? k

所以 g (x) 在区间 (0, 1 ) 内单调递减, 在区间( 1 ,?? )内单调递增. k k


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