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2016届福建省漳州市四地六校高三上学期第一次联考(10月)数学文试卷


2016 届福建省漳州市四地六校高三上学期第一次联考(10 月)数学文试卷
(考试时间:120分钟 第Ⅰ卷 (选择题 总分:150分) 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. A.2 =( ) B.2 C. 1 D.

2.设 a ? sin 145°, b ? cos 52°, c ? tan 47°,则 a , b, c 的大小关系是 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. b ? a ? c D. a ? c ? b ) D. ? 2,3?

3. 函数 f ( x) ? e x ? x ? 2 的零点所在的区间是( e ? 2.71828 )( A. ? 0, ?

? ?

1? 2?

B. ? ,1? )

?1 ? ?2 ?

C. ?1, 2 ?

4、下列命题中的假命题是( A. ?x ? R, 2x?1 ? 0 C. ?x ? R, ln x ? 1 5.已知集合 A= A.1 B.2

* B. ?x ? N ,

? x ? 1?

2

?0

D. ?x ? R, tan x ? 2 ,B={x| C.4 ≤2,x∈Z},则满足条件 A ? C ? B 的集合 C 的个数为( D.8 )

6.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则

S4 ?( a2



15 17 D. 2 2 ? ? ? ? ? 7.已知平面向量 a =(1,-3) , b =(4,-2) , ? a ? b 与 a 垂直,则 ? 是(
A. 2 B. 4 C. A. -1 8.已知 cos A.B. 1 C. -2 -sinα = B.D. 2 ,则 sin C. 的值是( ) D.



9. 设数列 {an } 是以 3 为首项, 1 为公差的等差数列, {bn } 是以 1 为首项, 2 为公比的等比数列,则

ba1 ? ba2 ? ba3 ? ba4 =
A.15 B.72 C.63 D. 60

-1-

x 2 ? 2 x ? a, x ?
10、设函数 f ( x) ?

1 2

1 4 ? 3, x ? 2
x

的最小值为-1,则实数 a 的取值范围是

A. a ? ?2

B. a ? ?2

C. a ? ?

1 4

D. a ? ?

1 4

11.已知 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c 。若 a ? 2bcosA ,B ? 面积等于 A.

? ,c ? 1 ,则 ?ABC 的 3

3 8

B.

3 6

C.

3 4

D.

3 2

12.对于函数 f ( x ) ,若存在区间 A ? [m,n] ,使得 ?y | y ? f ( x),x ? A? ? A ,则称函数 f ( x ) 为“可等 域函数”,区间 A 为函数 f ( x ) 的一个“可等域区间”.给出下列 4 个函数: ① f ( x) ? sin(

? x) ,② f ( x) ? 2 x 2- 1,③ f ( x) ? 1 ? 2 x ,④ f ( x) ? log 2 (2x ? 2) . 2
D. ②③④

其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 A.①②③ B.②③ C. ①③ 二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)

13.已知向量 a,b,满足|a|=1,| b |= 3,a+b=( 3,1),则向量 a 与 b 的夹角是 14. 若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e ,则 lna1+lna2+?+lna20= 15.在△ABC 中,若 tanB=-2,cosC= 16. 已知函数 f(x)=x + ,g(x)= 是 .
2 5

。 .

,则角 A=

.

-m.若 ? x1∈[1,2], ? x2∈[-1,1]使 f(x1)≥g(x2),则实数 m 的取值范围

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

a3 ? b3 ? 9 , a5 ? b5 ? 25 . 17. (本小题满分 10 分) 设 {a n } 是等差数列, 且 a1 ? b1 ? 1 , {b n } 是各项都为正数的等比数列,
(Ⅰ)求 {a n } , {b n } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {a n } , {b n } 的前 n 项和 Sn 和 Tn

-2-

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos x sin( x ? (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 的最大值及最小值; (3)写出 f ( x) 的单调递增区间。

?
3

) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x 。

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=log3 (1)求函数 f(x)的定义域. (2)判断函数 f(x)的奇偶性. (3)当 x∈

.

时,函数 g(x)=f(x),求函数 g(x)的值域.

20.(本小题满分 12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn=n ,{bn}为等比数列,且 a1=b1,b2(a2-a1)=b1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式. (2)设 cn=an·bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

2

21、 (本小题满分 12 分)设△ABC 三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 C= (1)求角 B 的大小; (2)如图,在△ABC 内取一点 P,使得 PB=2.过点 P 分 BA、BC 的垂线 PM、PN,垂足分别是 M、N。设∠PBA= ? , 的最大值及此时 ? 的取值。 N
-3-

? ,acosA=bcosB. 3

别作直线 M 求 PM+PN

1 22. (本小题满分 12 分).已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) ( a ? R ) . 2 (Ⅰ)若 a ? ?2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
(Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 对任意 x ? (1, ??) 恒成立. (ⅰ)求实数 a 的取值范围; (ⅱ)试比较 e a ? 2 与 a e ? 2 的大小,并给出证明( e 为自然对数的底数, e ? 2.71828 ) .

“华安、连城、永安、漳平一中,龙海二中,泉港一中”六校联考

2015-2016 学年上学期第一次月考 高三数学(文科)参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.D 2.A 3.A 4.B 5.D 6.C 7.A 8.B 9.D 10.C 11.C 12.B

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.

? 2

14. 50

15.

16.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)

a n ? 2n ?1,b n ? 2 n?1

·············· 5 分

(2) Sn =

n2

, Tn

=

2n-1
2

············ 10 分

18. (本小题满分 12 分) f ( x) ? 2cos x( 1 sin x ?

3 3 (1 ? cos x ) ? cos2x)+ 1 sin2x? 2 2 2

? sin 2x ? 3 cos2x=2sin (2 x ? ? ) 3

? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? 3 cos 2 x ? 1 sin2x 2 2 2 2
··············· 4 分

-4-

(1)函数 f(x)的最小正周期 T ? 2? ? ?

2

··············

5分

(2)当 sin (2 x ? ? ) ? 1?

3

即 2 x ? ? ? 2k

3

? ? ? (k ? Z),x=k ? ? ? (k ? Z)时,?f(x)有最大值 2;
2 12

当 sin (2 x ? ? ) ? ?1?

3

即 2 x ? ? ? 2k

3

? ? ? (k ?Z),x=?k ? -? 5? (k ? Z)时,f(x)有最小值-2.
2
12
·················· 8 分

(3)由 2k ? ? ? ? 2 x ? ? ? 2k

2

3

? ? ? (k ? Z),
2

12 ∴f(x)的单调递增区间是[k ? ? 5? ? k ? ? ? ]? k ? Z. 12 12
19. (本小题满分 12 分) 解:(1)由 >0 得-1<x<1,则函数 f(x)的定义域为(-1,1). =log3

解得 k ? ? 5? ? x ? k ? ?

12

? ? k ?Z.

········· 12 分

········· 3 分

(2)当 x∈(-1,1)时,f(-x)=log3 =-log3 (3)设 y=

=-f(x),所以函数 f(x)是奇函数. ·············· 7 分 ,当 x∈ 时,y′= ′=<0,则函数 y= 在区间 上是减函 =-1,所以函

数,所以函数 g(x)在区间 数的值域为[-1,1].

上也是减函数,则函数的最大值为 g

=1,最小值为 g

·························· 12 分

20.(本小题满分 12 分) 解解:(1)a1=S1=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n -(n-1) =2n-1,a1 适合上式, 所以 an=2n-1,n∈N . ························ 2 分 因为 b1=a1=1,b2= = , = ,
* 2 2

又{bn}为等比数列,所以其公比 q= 所以 bn= (2)cn=an·bn= .
*

,n∈N . ······················· 5 分

-5-

所以 Tn=1+ + + +?+ 所以 Tn= + + + +?+

, + . =3,

① ②

①-②,得 Tn=1+1+ + +?+ 所以 Tn=6-

. ·························· 12 分

21、 (本小题满分 12 分) (1) (1)由 acosA=bcosB 及正弦定理可得 sinAcosA=sinBcosB, 即 sin2A=sin2B,又 A∈(0,π ),B∈(0,π ), π 所以有 A=B 或 A+B= . ? ????????????????????2 分 2 π 2π π 又因为 C= ,得 A+B= ,与 A+B= 矛盾, 3 3 2 π 所以 A=B,因此 B= . ······················· 6 分 3 (2)由题设,得在 Rt△PMB 中,PM=PB·sin∠PBM=2sinα ; 在 Rt△PNB 中,PN=PB·sin∠PBN= PB·sin(

? ? ? -∠PBA) =2sin( -α ),α ∈(0, ). 3 3 3

所以,PM+PN=2sinα +2sin(

? ? -α )=sinα + 3cosα =2sin(α + ). 3 3

因为 α ∈(0,

? ? ? 2? ? 3 ),所以 α + ∈( , ),从而有 sin(α + )∈( ,1], 3 3 3 3 3 2

即 2sin(α +

? ? π ? )∈( 3,2].于是,当 α + = ,即 α = 时,PM+PN 取得最大值 2。 2 3 3 6
···················· 12 分

22. (本小题满分 12 分) 解: (本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识;考查运算求解能力、推理论证能力;考查化归与转 化思想、函数与方程的思想、分类整合思想、数形结合思想.满分 12 分. 解: (Ⅰ) ? a ? ?2 时, f ( x) ? ln x ? x ? 1 , f ?( x) ?

1 ? 1, ········ 1 分 x

? 切点为 (1,0) , k ? f ?(1) ? 2 ····················· 3 分
? a ? ?2 时,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 2 . ···· 4 分

1 (II) (i)? f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) , 2
-6-

? f ?( x) ?

1 a 2 ? ax , ······················ 5 分 ? ? x 2 2x

① 当 a ? 0 时, x ? (1, ??) , f ?( x) ? 0 ,

? f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增, f ( x) ? f (1) ? 0 , ? a ? 0 不合题意. ························· 6 分
2 ? ax 2 ?? ②当 a ? 2 即 0 ? ? 1, 时, f ?( x) ? 2x a 2 a( x ? ) a ? 0 在 (1, ??) 上恒成立, 2x

? f ( x) 在 (1, ??) 上单调递减,有 f ( x) ? f (1) ? 0 ,

? a ? 2 满足题意. ························· 7 分
③若 0 ? a ? 2 即

2 2 2 ? 1, 时,由 f ?( x) ? 0 ,可得 1 ? x ? ,由 f ?( x) ? 0 ,可得 x ? , a a a

2 2 ? f ( x) 在 (1, ) 上单调递增,在 ( , ??) 上单调递减, a a 2 ? f ( ) ? f (1) ? 0 , a
? 0 ? a ? 2 不合题意.

综上所述,实数 a 的取值范围是 [2, ??). ················ 8 分 (ii) a ? 2 时, “比较 e a ? 2 与 a e ? 2 的大小”等价于“比较 a ? 2 与 (e ? 2) ln a 的大小” 设 g ( x) ? x ? 2 ? (e ? 2)ln x ( x ? 2) 则 g ?( x) ? 1 ?

e ? 2 ( x ? 2) ? e ? ? 0, x x ? g ( x) 在 [2, ??) 上单调递增, ···················· 10 分

? g (e) ? 0,

当 x ? [2, e) 时 , g ( x) ? 0, 即 x ? 2 ? (e ? 2) ln x ,? e x ? 2 ? x e ? 2 当 x ? (e, ??) 时 , g ( x) ? 0 ,即 x ? 2 ? (e ? 2) ln x ,? e x ? 2 ? x e ? 2 综上所述,当 a ? [2, e) 时, e a ? 2 ? a e ? 2 ; 当 a ? e 时, e a ? 2 ? a e ? 2 ; 当 a ? (e, ??) 时, e a ? 2 ? a e ? 2 .················ 12 分

-7-


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