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高中数学必修3第三章复习课


必修3第三章 《概率》复习课

知识结构

随机事件 频率 概率的意义与性质 概 率 的 实 际 应 用

古典概型

几何概型

随机数与随机模拟

知识梳理

1.事件的有关概念
(1)必然事件: 在条件S下,一定会发生的事件. (2)不可能事件: 在条件S下,一定不会发生的事件. (3)随机事件: 在条件S下,可能发生也可能不发生的事件.

2.事件A出现的频率
在相同的条件S下重复n次试验,事件A出现的 次数为nA与n的比值,即

nA f A ( n) ? n

3.事件A发生的概率
通过大量重复试验得到事件A发生的频率的稳 定值.

4.事件的关系与运算
(1)包含事件:如果当事件A发生时,事件B
一定发生,则 ? B A (或 ? A B ).

(2)相等事件: 若 A ? B ,且 B ? A , 则

A=B.
(3)并事件(和事件):当且仅当事件A发生或

事件B发生时,事件C发生,则C=A∪B(或A+B).

(4)交事件(积事件):当且仅当事件A发生 且事件B发生时,事件C发生,则 C=A∩B(或AB).

(5)互斥事件:事件A与事件B不同时发生,
即A∩B=Ф . (6)对立事件:事件A与事件B有且只有一个 发生,即A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件.

5.概率的几个基本性质
(1)0≤P(A)≤1. (2)若事件A与B互斥,则

P(A∪B)=P(A)+P(B).
(3)若事件A与B对立,则

P(A)+P(B)=1.

6.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示
成基本事件的和.

7.古典概型
一次试验中所有可能出现的基本事件只有有 限个(有限性),且每个基本事件出现的可能性

相等(等可能性).

8.古典概型的概率公式 P(A)=
事件A所包含的基本事件的个数 基本事件的总数

9.几何概型
每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度(面积或体积)成比例.

10.几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度(面积或体积)

P(A)=

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

11.随机数
(1)整数随机数:对于某个指定范围内的整 数,每次从中有放回随机取出的一个数.

(2)均匀随机数:在区间[a,b]上等可能取
到的任意一个值.

12. 随机模拟方法
利用计算器或计算机产生随机数,从而获得 试验结果.

巩固练习
1 某人捡到一个不规则形状的五面体石块,他在每个 面上作了记号,投掷了100次,并且记录了每个面朝上的 次数如下表,如果再投掷一次,请估计石块的第4面落在 桌面上的概率是多少? 石块的面 频数 1 32 2 18 3 15 4 13 5 22

解 由于投掷100次,第4面落在桌面上13次,故 其频率为=13/100=0.13. 因此,如果再掷一次,估 计石块的第4面落在桌面上的概率是0.13.

2

口袋中有若干红球、黄球与蓝球,随机地从中

摸一个球,摸到红球的概率为0.45,摸到黄球的概率为
0.33,求:(1)摸出的一个球为红球或黄球的概率;

(2)摸出的一个球为蓝球的概率.
解 记事件A为“摸到红球”;事件B为“摸到黄 球”,事件C为“摸到蓝球”. (1)A与B为互斥事件,故摸到红球或黄球的概率为 P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.45+0.33=0.78.

2

口袋中有若干红球、黄球与蓝球,随机地从中

摸一个球,摸到红球的概率为0.45,摸到黄球的概率为 0.33,求:(1)摸出的一个球为红球或黄球的概率; (2)摸出的一个球为蓝球的概率. 解 记事件A为“摸到红球”;事件B为“摸到黄

球”,事件C为“摸到蓝球”. (2)事件C与A∪B为对立事件,故摸到蓝球的概率为 P(C)=1-P(A∪B)=1-0.78=0.22.

3.甲、乙两人下中国象棋,已知下成和棋的概率
1 1 是 2 ,乙获胜的概率是 ,求: 3

(1)乙不输的概率;
(2)甲获胜的概率.

1 1 5 解(1)P ? ? ? 2 3 6

5 1 (2)P ?1 ? ? 6 6

4

三个人玩传球游戏,每个人都等可能地传给

另两人(不自传),若从A发球算起,经3次传球后又回

到A手中的概率是多少?
解 记三人为 A、B、C,则 3 次传球的所有可能可用树状图 方式列出:如右图.

每一个分支为一种传球 方案,则基本事件的总数为 8,而又回到 A 手中的事件 个数为 2 个,根据古典概型 概率公式得 P=2/8=1/4.

5 有两个袋中都装有写着数字0,1,2,3,4,5的6张卡
片,若从每个袋中任意各取一张卡片,求取出的两张 卡片上数字之和等于5的概率. 解 从每个袋中任意取一张卡片有36个基本事

件.其中“和等于5”的结果有(0,5),(1,4),(2,3), (3,2),(4,1), (5,0)共6个基本事件, 所以P=6/36=1/6.

6 某三件产品中有两件正品和一件次品,每次从 中任取一件,连续取两次,分别在下列条件下,求取 出的两件产品中恰有一件次品的概率. (1)每次取出产品后不放回;

(2)每次取出产品后放回.
解 记正品为1, 2, 次品为 a 4 2 (1) (1,2),(1,a),(2,1),(2,a),(a,1),(a,2) P (A ) ? ?
6 3

(2) (1,1),(1,2),(1,a),(2,1),(2,2),(2,a),(a,1),(a,2),(a,a)

4 P (B ) ? 9

7 如图,在三角形AOB中,已知AOB=60°, OA=2,OB=5,在线段OB上任意选取一点C,求 △AOC为钝角三角形的概率.
A

O

D

E

C

B

OD + EB 2 解 P = = = 0.4 OB 5

8 以半径为1的圆内任一点为中点作弦,求弦长 超过圆内接等边三角形边长的概率. 解 记事件 A 为“弦长超过圆内接等边三角形的 边长”,如图所示,作等边三角形 BCD 的内切圆,当 以小圆上任意一点作弦时, 弦长都等于等边三角形的边 长, 所以当弦的中点在小圆内时, 弦长超过圆内接等边 1 三角形的边长, 小圆的半径为 , 所以由几何概型公式, 2 ?1?2 π?2? 1 ? ? 得 P(A)= 2= , π×1 4 1 即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率为 . 4

9 两人相约在0时到1时之间相遇,早到者应等迟 到者20分钟方可离去.如果两人出发是各自独立的, 且在0时到1时之间的任何时刻是等概率的,问两人相 遇的可能性是多大?
解 假设两人分别在 x 时、y 时 1 到达,依题意:|x—y|≤ 才能相遇. 3 显然到达时间的全部可能结果均匀 分布在右面的单位正方形 I 内,而 相遇现象,则发生在图中阴影区域 G 中,由几何概率的定义:

22 1 -? ? 3 SG 5 P= S = = . 12 9 I
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