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2.3 对 数 函 数 2.3.1 对 数


第2章

函数概念与基本初等函数

数学· 必修 1(苏教版)

2.3

对 数 函 数 对 数

2. 3.1

2010 年我国国民经济生产总值为 a 亿元, 若按平均每年增长 10% 估算,那么经过多少年国民经济生产总值是 2010 年的 2 倍?假设经 过 x 年,则有 a(1+ 10%)x= 2a,即 1.1x= 2,那么如何求指数 x 呢?

基 础 巩 固 1. (2013· 浙江卷 )已知 x、y 为正实数,则( A. 2lg x+ lg y=2lg x+2lg y B. 2lg(x+ y)= 2lg x· 2lg y C. 2lg xlg y= 2lg x+2lg y D. 2lg(xy)=2lg x· 2lg y )

第2章

函数概念与基本初等函数

答案:D

2. (log29)· (log34)= ( 1 4 1 B. 2

)

A.

C.2

D.4

lg 9 lg 4 2lg 3· 2lg 2 解析:原式= · = = 4. lg 2 lg 3 lg 2· lg 3 答案:D

og( 3. l

2+1 ) )(3- 2

2)= (

)

A. 2 B.4 C.-2 D.-4

解析:∵3- 2 2= ( 2- 1)2=? ∴原式=- 2. 答案:C

1 ?2 ? = ( 2 + 1)- 2. ? 2+ 1?
?

第2章

函数概念与基本初等函数 )

4.设 log83=p, log35=q,则 lg 5 为 ( A. p2+q2 1 B. (3p+2q) 5

3pq C. 1+3pq

D.pq

lg 3 解析:由题知 = p, lg 8 lg 3 lg 5 ∴p= , q= , 3lg 2 lg 3 ∴ lg 5= qlg 3= q(3plg 2)= 3pqlg 10 = 3pq(1- lg 5), 5

3pq 即: lg 5= 3pq- 3pqlg 5, ∴lg 5= . 1+ 3pq 答案:C

5.若 y= log56× log67× log78× log89× log910,则 y= ( A. 1+ log25 C. 1- log25 B.1+ log52 D.1- log52

)

解析 :由题知 y= log52. 答案:B

lg 6 lg 7 lg 8 lg 9 lg 10 lg 10 · · · · = = log510= 1+ lg 5 lg 6 lg 7 lg 8 lg 9 lg 5

第2章

函数概念与基本初等函数

6.若 a>0 且 a≠1,x>y>0,n∈N+,则下列各式中恒成立的有 ________个. ① (logax)n=nlogax ② (logax)n= logaxn

1 ③ logax=- loga x

x- y x+ y ④ loga =-loga x+ y x- y

答案:2

7 . 已 知 0<a<1,0<b<1 , 如果 ________.

a

l ogb (x? 2 )

, 则 x 的 取 值范 围 是

解析: 由 0<a<1 得 logb(x- 2)>0, 由 0<b<1 得 0<x- 2<1?2<x<3. 答案:(2,3)

8 8.x= log23,4y= ,则 x+2y 的值为________. 3

8 8 解析: ∵4y= , ∴22y= , 3 3

第2章

函数概念与基本初等函数

8 8 ∴2y= log2 ,∴x+ 2y= log23+ log2 = log28= 3. 3 3 答案:3

9.若 f(x)=

a

x-

1 2

,且 f(lg a)= 10,求 a 的值.

解析: 由 f(lg a)= 10得 1 a)2- lg a= lg 2

a

lg a -

1 2

1 - = 10, 两边取常用对数得 (lg 2

10,即 2(lg a)2- lg a- 1= 0.

1 10 ∴ lg a= 1 或 lg a=- ,故 a= 10 或 . 2 10

能 力 提 升 10. (lg 5)2+ lg 2lg 50= ( )

A. 1 B.2 C.5 D. 10

解析: 原式= (lg 5)2+ lg 2(lg 2+ 2lg 5)= (lg 5)2+ 2lg 2lg 5+ (lg 2)2

第2章 = (lg 5+ lg 2)2= 1. 答案: A

函数概念与基本初等函数

11.若 lg a, lg ( ) A. 1 4 1 B. 2

? a? b 是方程 2x2-4x+ 1=0 的两根,则? l g ? ? b?
C.1 D.2

2



1 解析:由韦达定理, lg a+ lg b= 2, lg alg b= , 2 ∴?lg
? ?

a? 2 1 ? = (lg a- lg b )2= (lg a+ lg b )2- 4lg a lg b= 22- 4× = 2. b? 2

答案:D

12.设 a、b、c 都是正数,且 3a=4b=6c,则 ( 1 1 1 A. = + c a b 1 2 2 C. = + c a b 2 2 1 B. = + c a b 2 1 2 D. = + c a b

)

解析:设 3a= 4b= 6c= t,则 a= log3t, b= log4t,

第2章 c= log6t.

函数概念与基本初等函数

1 1 1 ∴ = logt3, = logt4, = logt6. a b c 2 1 2 ∴ + = logt9+ logt4= 2logt6= . a b c 答案:B 1 1 13.若 2m=3n=36,则 + =________. m n

解析: ∵2m= 3n= 36,∴m= log236, n= log336, 1 1 1 从而: + = log362+ log363= log366= . m n 2 1 答案: 2

3 1 14. (2013· 上海卷)方程 x + =3x- 1 的实数解为________. 3 -1 3

解析:去分母整理得 32x- 2· 3x- 8= 0?3x= 4 ∴x= log34. 答案:log34

第2章

函数概念与基本初等函数

15.已知 log5[log4(log3x)]= 0,则 x=________.

答案:81

? 1- log63? 2+ log62· log618 16.计算: . log64

解析: 6 1- 2log63+ ? log63? 2+ log6 · log6?6×3? 3 原式= log64 1- 2log63+ ? log63? 2+ ?1- log63??1+ log63? = log64 1- 2log63+ ? log63? 2+ 1- ?log63? 2 = log64 = 2?1- log63? log66- log63 log62 = = = 1. 2log62 log62 log62

第2章

函数概念与基本初等函数

17.甲、乙两人解关于 x 的方程:log2x+b+ clogx2=0,甲写错 1 1 1 了常数 b,得到根 、 ;乙写错了常数 c,得到根 、64.求原方程的 4 8 2 根.

解析:原方程可变形为 log2 = 0. 2x+ b log 2x+ c 1 1 由于甲写错了常数 b,得到的根为 和 , 4 8 1 1 ∴ c= log2 · log2 = 6. 4 8 1 由于乙写错了常数 c,得到的根为 和 64, 2
? 1 ? ∴b=-?log2 + log264? =-5. ? ? 2

故原方程为 log2 2x- 5log 2x+ 6= 0. 因式分解得 (log2x- 2)(log 2x- 3)= 0. ∴ log2x= 2 或 log2x= 3,即 x= 4 或 x= 8. 点评: 此题取材与学生生活密切相关, 将对数与一元二次方程结 合 . 本题 在 解答 时, 利用 了 一元 二次 方 程根 与系 数的 关 系, 即 b ? x + x =- , 1 2 ? a ? c ? x · x = ? 1 2 a.

已知二次项系数为 1 方程的根为 x1、 x2 时,方程

可写成 (x- x1)(x- x2)= x2- (x1+ x2)x+ x1x2= 0.

第2章

函数概念与基本初等函数

x 18.已知 lg x+ lg y=2lg(x-2y),求 lg 2 的值. y

解析: 由 lg x+ lg y= 2lg (x- 2y)得 xy= (x- 2y)2, 即 x2- 5xy+ 4y2

? x? = 0,化为 ? y? ? ?

2

x x x - 5·+ 4= 0,解得 = 4 或 = 1,又 ∵x>0, y>0, x y y y

x x x 4 - 2y>0, ∴ >2,故 = 4, ∴ l = 4 = ( 2) = 4. og l og l og 2y 2 2 y y


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