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2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)文科数学(原卷精校版含答案)


绝密★启用前

试卷类型:A

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科)
本试题共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填 写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答 题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多 涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设集合 S ? {x | x2 ? 2 x ? 0, x ?R} , T ? {x | x2 ? 2 x ? 0, x ?R} ,则 S ? T ? A. {0} 2.函数 f ( x ) ? B. {0, 2} C. {?2, 0} D. {?2, 0, 2}

lg( x ? 1) 的定义域是 x ?1
B. [?1, ??) D. [?1,1) ? (1, ??)
开始 输入 n

A. (?1, ??) C. (?1,1) ? (1, ??)

3.若 i( x ? yi ) ? 3 ? 4i , x, y ? R ,则复数 x ? yi 的模是 A.2 B.3 C.4 D.5

i ? 1, s ? 1

5? 1 ? ? ) ? ,那么 cos? ? 4.已知 sin( 2 5 2 1 1 A. ? B. ? C. 5 5 5

i ≤n


否 输出 s 结束

2 D. 5

s ? s ? (i ? 1)
i ? i ?1

5.执行如图 1 所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是 A.1 B.2 C.4 D.7

图1

数学(文科)试卷 A 第 1 页 (共 10 页)

6.某三棱锥的三视图如图 2 所示,则该三棱锥的体积是 A.

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D. 1

2

7.垂直于直线 y ? x ? 1 且与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切于第一象限的直线方程是 A. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0
1 正视图 1 侧视图

D. x ? y ? 2 ? 0 8.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ? B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ?
俯视图 图 2

9.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率等于 A.

x2 y2 ? ?1 3 4

B.

x2 y2 ? ?1 4 3

1 ,则 C 的方程是 2 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 C. D. 4 3 4 2

10.设 a 是已知的平面向量且 a ? 0 ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使 a ? b ? c ; ②给定向量 b 和 c ,总存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ?b ? ? c ; ③给定单位向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c 和实数 ? ,使 a ? ?b ? ? c ; ④给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ?b ? ? c ; 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11 ~ 13 题) 11.设数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 ?2 的等比数列,则 a1 ? | a2 | ?a3 ? | a4 |? 12.若曲线 y ? ax2 ? ln x 在点 (1, a ) 处的切线平行于 x 轴,则 a ? .

?x ? y ? 3≥ 0 ? 13.已知变量 x, y 满足约束条件 ? ?1 ≤ x ≤ 1 ,则 z ? x ? y 的最大值是 ? y ≥1 ?
(二)选做题(14 ~ 15 题,考生只能从中选做一题)



14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? .以极点为原点,极轴为 x 轴的 正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参数方程为 .
B C

15. (几何证明选讲选做题)如图 3,在矩形 ABCD 中, AB ? 3 ,

BC ? 3 , BE ? AC ,垂足为 E ,则 ED ?


A

E D 图 3

数学(文科)试卷 A 第 2 页 (共 10 页)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

2 cos( x ?

?
12

) , x?R .

(1)求 f ( ) 的值;

?

3

(2)若 cos ? ?

3 3? ? , 2? ) ,求 f (? ? ) . ,? ? ( 5 2 6

17.(本小题满分 12 分) 从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个)

[80,85)
5

[85,90)
10

[90,95)
20

[95,100)
15

(1)根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2)用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个,其中重量在 [80,85) 的有 几个? (3)在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的概率.

18.(本小题满分 14 分) 如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D, E 分别是 AB, AC 边上的点, AD ? AE ,F 是 BC 的 中点,AF 与 DE 交于点 G , ?AF 沿 AF 折起, 将 B 得到如图 5 所示的三棱锥 A ? BCF , 其中 BC ? (1)证明: DE ∥平面 BCF ; (2)证明: CF ? 平面 ABF ; (3)当 AD ?

2 . 2

A

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3
A

G

E

D

D

G

E
F C

B

F 图 4

C
B 图 5

数学(文科)试卷 A 第 3 页 (共 10 页)

19. (本小题满分 14 分) 等比数列. (1)证明: a2 ?

2 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 4Sn ? an?1 ? 4n ? 1, n ? N ,且 a2 , a5 , a14 构成
*

(2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有

4a1 ? 5 ;

1 1 1 1 ? ??? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

20.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

3 2 .设 P 为 2

21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x 3 ? kx 2 ? x (k ?R) . (1)当 k ? 1 时,求函数 f (x ) 的单调区间;

(2)当 k ? 0 时,求函数 f (x ) 在 ?k ,?k ? 上的最小值 m 和最大值 M .

数学(文科)试卷 A 第 4 页 (共 10 页)

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 C 5 C 6 B 7 A 8 B 9 D 10 B

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11 ~ 13 题) 11. 15 12.

1 2

13.5

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. ?

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数) ? y ? sin ?

15.

21 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

2 cos( x ?

?
12

) , x?R .

(1)求 f ( ) 的值;

?

3

(2)若 cos ? ?

16. 解: (1) f ( ) ?

2 cos( ? ) ? 2 cos ? 1 3 3 12 4 3 3? 4 , 2? ) , sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? , (2)因为 cos ? ? , ? ? ( 5 2 5 ? ? ? ? 1 所以 f (? ? ) ? 2 cos(? ? ) ? 2(cos ? cos ? sin ? sin ) ? ? . 6 4 4 4 5

?

3 3? ? , 2? ) ,求 f (? ? ) . ,? ? ( 5 2 6

?

?

?

17.(本小题满分 12 分) 从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个)

[80,85)
5

[85,90)
10

[90,95)
20

[95,100)
15

(1)根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2)用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个,其中重量在 [80,85) 的有 几个? (3)在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的概率. 17. 解: (1)苹果的重量在 [90,95) 的频率为 (2)重量在 [80,85) 的有 4 ?

20 =0.4 ; 50

5 =1 个; 5+15

数学(文科)试卷 A 第 5 页 (共 10 页)

(3)设这 4 个苹果中 [80,85) 分段的为 1, [95,100) 分段的为 2、3、4,从中任取两个,可能的情况 有: (1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)共 6 种 , , , , , 设“任取 2 个,重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个”为事件 A ,则事件 A 包含有(1,2)(1,3) , , (1,4)共 3 种,所以 P ( A) ?

3 1 ? . 6 2

18.(本小题满分 14 分) 如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D, E 分别是 AB, AC 边上的点, AD ? AE ,F 是 BC 的 中点,AF 与 DE 交于点 G , ?AF 沿 AF 折起, 将 B 得到如图 5 所示的三棱锥 A ? BCF , 其中 BC ? (1)证明: DE ∥平面 BCF ; (2)证明: CF ? 平面 ABF ; (3)当 AD ?

2 . 2

A

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3
A

G

E

D

D

G

E
F C

B

F 图 4

C
B 图 5

18. 解: (1)在等边三角形 ABC 中, AD ? AE 所以

AD AE ? ,在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中也成立 DB EC

所以 DE ∥ BC 因为 DE ? 平面 BCF , BC ? 平面 BCF

DE ∥平面 BCF
(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点, 所以 AF ? BC , BF ? CF ?

1 2

因为在三棱锥 A ? BCF 中, BC ?

2 2

所以 BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ,即 CF ? BF 因为 BF ? CF ? F 所以 CF ? 平面ABF (3)由(1)可知 GE ∥ CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG . 所以 VF ? DEG ? VE ? DFG ?

1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ? ? DG ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? ? 3 2 ? ? 3 ? 324 ? 3 2 3 2 3 ? ?
数学(文科)试卷 A 第 6 页 (共 10 页)

19. (本小题满分 14 分) 等比数列. (1)证明: a2 ?

2 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 4Sn ? an?1 ? 4n ? 1, n ? N ,且 a2 , a5 , a14 构成
*

(2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有

4a1 ? 5 ;

1 1 1 1 ? ??? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

2 2 19. 解:(1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5 ,即 a2 ? 4a1 ? 5

因为 an ? 0 ,所以 a2 ?
2 (2) 4Sn ? an?1 ? 4n ?1

4a1 ? 5



2 当 n ≥ 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ?1? ?1

2 2 ① ? ②得 4an ? an?1 ? an ? 4

2 2 整理得 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ?

2

因为 an ? 0 ,所以 an?1 ? an ? 2 ,即 an?1 ? an ? 2 ( n ≥ 2 )

所以当 n ≥ 2 时, ?an ? 是公差为 2 的等差数列.
2 因为 a2 , a5 , a14 构成等比数列,所以 a5 ? a2 ? a14 ,即 ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3
2

2 由(1)可知 4a1 ? a2 ? 5 ? 4 ,所以 a1 ? 1

因为 a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 所以 ?an ? 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1, n ? N .
*

(3)

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? a1a2 a2 a3 an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 2n ?1?? 2n ? 1?

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? )? . 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2

数学(文科)试卷 A 第 7 页 (共 10 页)

20.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值. 20. 解(1)焦点 F (0, c) (c ? 0) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ? 所以抛物线 C 的方程为 x ? 4 y
2

3 2 .设 P 为 2

?c ? 2 2

?

c?2 3 2 ,解得 c ? 1 ? 2 2

1 2 1 2 x1 ) , B( x2 , x2 ) 4 4 1 2 1 1 1 由(1)得抛物线 C 的方程为 y ? x , y? ? x ,所以切线 PA , PB 的斜率分别为 x1 , x2 4 2 2 2 1 2 1 所以 PA : y ? x1 ? x1 ( x ? x1 ) ① 4 2 1 2 1 PB : y ? x2 ? x2 ( x ? x2 ) ② 4 2 x ? x2 x1 x2 x ?x xx , ) ,即 x0 ? 1 2 , y0 ? 1 2 联立①②可得点 P 的坐标为 ( 1 2 4 2 4 1 y0 ? x12 1 4 ,整理得 y ? 1 x x ? 1 x 2 又因为切线 PA 的斜率为 x1 ? 0 1 0 1 2 4 2 x0 ? x1
(2)方法一:设 A( x1 ,

1 2 1 2 x1 ? x2 4 ? x1 ? x2 ? x0 直线 AB 的斜率 k ? 4 x1 ? x2 4 2 1 2 1 所以直线 AB 的方程为 y ? x1 ? x0 ( x ? x1 ) 4 2 1 1 1 2 1 整理得 y ? x0 x ? x1 x0 ? x1 ,即 y ? x0 x ? y0 2 2 4 2 因为点 P( x0 , y0 ) 为直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上的点,所以 x0 ? y0 ? 2 ? 0 ,即 y0 ? x0 ? 2 1 所以直线 AB 的方程为 y ? x0 x ? x0 ? 2 2
方法二:设点 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) , 由(1)得抛物线 C 的方程为 y ?

1 2 1 x , y? ? x , 4 2

所以抛物线 C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 y ? y1 ?

x1 x 1 ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? y1 ? x12 . 2 2 2

因为 y1 ?

x 1 2 x1 , 所以 y ? 1 x ? y1 . 4 2

数学(文科)试卷 A 第 8 页 (共 10 页)

因为点 P( x0 , y0 ) 在切线 l1 上,所以 y 0 ?

x1 x0 ? y1 2



同理有 y 0 ?

x2 x0 ? y 2 2



综合① 、② 得,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? 因为经过 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 两点的直线是唯一的

x x0 ? y 2

x x0 ? y , 2 因为点 P( x0 , y0 ) 为直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上的点,所以 x0 ? y0 ? 2 ? 0 ,即 y0 ? x0 ? 2 1 所以直线 AB 的方程为 y ? x0 x ? x0 ? 2 2 1 2 1 2 (3)方法一:根据抛物线的定义,有 AF ? x1 ? 1 , BF ? x2 ? 1 4 4 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 所以 | AF | ? | BF |? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 4 4 16 4 1 1 2 ? x12 x2 ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ] ? 1 16 4 由(2)得 x1 ? x2 ? 2 x0 , x1 x2 ? 4 y0 , x0 ? y0 ? 2 1 2 2 2 2 2 2 所以 | AF | ? | BF |? y0 ? (4 x0 ? 8 y0 ) ? 1 ? x0 ? y0 ? 2 y0 ? 1 ? ( y0 ? 2) ? y0 ? 2 y0 ? 1 4 1 9 2 ? 2 y0 ? 2 y0 ? 5 ? 2( y0 ? ) 2 ? 2 2 1 9 所以当 y0 ? ? 时, | AF | ? | BF | 的最小值为 2 2
所以直线 AB 的方程为 y 0 ? 方法二:根据抛物线的定义,有 AF ? y1 ? 1 , BF ? y2 ? 1 所以 AF ? BF ? ? y1 ?1?? y2 ?1? ? y1 ? y2 ? y1 y2 ? 1 联立 ?

? x2 ? 4 y ? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0

2 2 2 ,消去 x 得 y ? 2 y0 ? x0 y ? y0 ? 0

?

?

2 2 所以 y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0

因为 x0 ? y0 ? 2 ? 0

1? 9 ? 所以 AF ? BF ? y ? 2 y0 ? x ? 1=y ? 2 y0 ? ? y0 ? 2 ? ? 1 =2 y ? 2 y0 +5=2 ? y0 ? ? + 2? 2 ?
2 0 2 0 2 0 2

2

2 0

所以当 y0 ? ?

1 9 时, | AF | ? | BF | 的最小值为 2 2

数学(文科)试卷 A 第 9 页 (共 10 页)

21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x 3 ? kx 2 ? x (k ?R) . (1)当 k ? 1 时,求函数 f (x ) 的单调区间;

(2)当 k ? 0 时,求函数 f (x ) 在 ?k ,?k ? 上的最小值 m 和最大值 M . 21. 解: (1) f ? ? x ? ? 3x ? 2kx ? 1
2

当 k ? 1 时, f ? ? x ? ? 3x ? 2x ?1 , ? ? 4 ? 12 ? ?8 ? 0
2

所以 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 的单调递增区间为 (??, ??) . (2)当 k ? 0 时, f ? ? x ? ? 3x ? 2kx ? 1,其导函数开口向上,对称轴 x ?
2

k 1? ,且过点 ? 0, 3

(i)当 ? ? 4k 2 ? 12 ≤ 0 ,即 ? 3 ≤ k ? 0 时,

f ? ? x ? ≥ 0 , f ? x ? 在 ? k , ?k ? 上单调递增,
所以 f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k , f ? x ? 的得最大值 M ? f ? ?k ? ? ?k ? k ? k ? ?2k ? k .
3 3 3

(ii)当 ? ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,即 k ? ? 3 时, 令 f ? ? x ? ? 3x ? 2kx ? 1 ? 0
2

解得 x1 ?

k ? k2 ?3 , k ? k 2 ? 3 ,注意到 k ? x ? x ? 0 x2 ? 1 2 3 3

所以 f ?( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x f ?( x ) f ( x)

(k , x1 )

x1
0 极大值

?


( x1 , x2 ) ?


x2
0 极小值

( x2 , ?k )

?


所以 m ? min f ? k ? , f ? x2 ? , M ? max f ? ?k ? , f ? x1 ?

?

?

?

?

3 2 2 因为 f ? x2 ? ? f ? k ? ? x2 ? kx2 ? x2 ? k ? ? x2 ? k ? x2 ? 1 ? 0

?

?

f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k
因为 f ? x1 ? ? f ? ?k ? ? x1 ? kx1 ? x1 ? 2k ? k ? ( x1 ? k ) ? (k ? kx1 ) ? (x1 ? k )
3 2 3 3 3 3 2

? ( x1 ? k )( x12 ? kx1 ? k 2 ) ? k (k 2 ? x12 ) ? ( x1 ? k ) ? ( x1 ? k )( x12 ? kx1 ? k 2 ? k 2 ? kx1 ? 1) ? ( x1 ? k )[( x1 ? k )2 ? k 2 ?1] ? 0
所以 f ? x ? 的最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k ? k
3

综上所述, f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ,最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k ? k
3

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