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精品教案 1.3.2 奇偶性


1.3.2

奇偶性

整体设计 教学分析 本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的. 教材沿用了处理函数单调性的方法, 即 先给出几个特殊函数的图象, 让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识, 然后利用表格探 究数量变化特征,通过代数运算,验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立,最 后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念.因此教学时,充分利用信息技术创设教学情境, 会使数与形的结合更加自然. 值得注意的问题:对于奇函数,教材在给出的表格中留出大部分空格,旨在让学生自己 动手计算填写数据, 仿照偶函数概念建立的过程, 独立地去经历发现、 猜想与证明的全过程, 从而建立奇函数的概念.教学时,可以通过具体例子引导学生认识,并不是所有的函数都具 有奇偶性,如函数 y= x与 y=2x-1 既不是奇函数也不是偶函数,可以通过图象看出也可 以用定义去说明. 三维目标 1.理解函数的奇偶性及其几何意义,培养学生观察、抽象的能力,以及从特殊到一般 的概括、归纳问题的能力. 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质,掌握判断函数的奇偶性的方法,渗透数 形结合的数学思想. 重点难点 教学重点:函数的奇偶性及其几何意义. 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.同学们,我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请大家想一下有哪些 美呢?(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美??)今天,我们就来讨论对称美,请大家 想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢?(学生举例,再在屏幕上给出一组图片:喜字、蝴 蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?下 面,我们以麦当劳的标志为例,给它适当地建立平面直角坐标系,那么大家发现了什么特点 呢?(学生发现:图象关于 y 轴对称)数学中对称的形式也很多,这节课我们就同学们谈到的 与 y 轴对称的函数展开研究. 思路 2.结合轴对称与中心对称图形的定义,请同学们 观察图形,说出函数 y=x2 和 y 3 =x 的图象各有怎样的对称性?引出课题:函数的奇偶性. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)如图 1 所示,观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.

图1 (2)如何利用函数的解析式描述函数的图象关于 y 轴对称呢?填写表 1 和表 2, 你发现这
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两个函数的解析式具有什么共同特征? x f(x)=x2 -3 -2 表1 -1 表2 -1 0 1 2 3

x 0 1 2 3 -3 -2 f(x)=|x| (3)请给出偶函数的定义. (4)偶函数的图象有什么特征? (5)函数 f(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函数吗? (6)偶函数的定义域有什么特征? 1 (7)观察函数 f(x)=x 和 f(x)= 的图象,类比偶函数的推导过程,给出奇函数的定义和性 x 质? 活动:教师从以下几点引导学生: (1)观察图象的对称性. (2)学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后,教师指出:这样的函数称为偶 函数. (3)利用函数的解析式来描述. (4)偶函数的性质:图象关于 y 轴对 称. (5)函数 f(x)=x2,x∈[-1,2]的图象关于 y 轴不对称;对定义域[-1,2]内 x=2,f(-2)不 存在,即其函数的定义域中任意一个 x 的相反数-x 不一定也在定义域内,即 f(-x)=f(x)不 恒成立. (6)偶函数的定义域中任意一个 x 的相反数-x 一定也在定义域内, 此时称函数的定义域 关于原点对称. (7)先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称,再列表格观察自变量互为相反数时, 函数值的变化情况,进而抽象出奇函数的概念,再讨论奇函数的性质. 给出偶函数和奇函数的定义后, 要指明: ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性, 函数的奇偶性是函数的整体性质; ②由函数的奇偶性定义, 可知函数具有奇偶性的一个必要 条件是,对于定义域内的任意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于 原点对称);③具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图 象关于原点对称;④可以利用图象判断函数的奇偶性,这种方法称为图象法,也可以利用奇 偶函数的定义判断函数的奇偶性,这种方法称为定义法;⑤函数的奇偶性是函数在定义域 上的性质,是“整体”性质,而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质,是“局部” 性质. 讨论结果:(1)这两个函数之间的图象都关于 y 轴对称. (2) 表1 x 0 1 2 3 -3 -2 -1 2 9 4 1 0 1 4 9 f(x)=x 表2 x 0 1 2 3 -3 -2 -1 3 2 1 0 1 2 3 f(x)=|x| 这两个函数的解析式都满足: f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1). 可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数, 它们对应的函数值相等, 也就是说对于 函数定义域内任一个 x,都有 f(-x)=f(x). (3)一般地, 如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x) 就叫做偶函数.
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(4)偶函数的图象关于 y 轴对称. (5) 不是偶函数. (6)偶函数的定义域关于原点对称. (7)一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称,其定义域关于原点对称. 应用示例 思路 1 例 1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x4; (2)f(x)=x5; 1 (3)f(x)=x+ ; x 1 (4)f(x)= 2. x 活动:学生思考奇偶函数的定义,利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域,并判 断定义域是否关于原点对称,如果定义域关于原点对称,那么再判断 f(-x)=f(x)或 f(-x)= -f(x). 解:(1)函数的定义域是 R,对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=(-x)4=x4=f(x), 所以函数 f(x)=x4 是偶函数. (2)函数的定义域是 R,对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x), 所以函数 f(x)= x5 是奇函数. 1 (3)函数的定义域是(-∞, 0)∪(0, +∞), 对定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=-x+ -x 1? =-? ?x+x?=-f(x), 1 所以函数 f(x)=x+ 是奇函数. x 1 (4)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)= = (-x)2 1 1 2=f(x),所以函数 f(x)= 2是偶函数. x x 点评: 本题主要考查函数的奇偶性. 函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围, 对定义域内任意 x,其相反数-x 也在函数的定义域内,此时称为定义域关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ②确定 f(-x)与 f(x)的关系; ③作出相应结论: 若 f(-x)=f(x)或 f(-x)-f(x)=0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x)=-f(x)或 f(-x)+f(x)=0,则 f(x)是奇函数. 变式训练 设 f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数 C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数 解析:A 中设 F(x)=f(x)f(-x),则 F(-x)=f(-x)f(x)=F(x),即函数 F(x)=f(x)f(-x)为 偶函数; B 中设 F(x)=f(x)|f(-x)|,F(-x)=f(-x)|f(x)|,此时 F(x)与 F(-x)的关系不能确定,即 函数 F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定; C 中设 F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x),即函数 F(x)=f(x)-f(-x)为 奇函数;

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D 中设 F(x)=f(x)+f(-x),F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),即函数 F(x)=f(x)+f(-x)为偶 函数. 答案:D 例 2 已知函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当 x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4, 则当 x∈(0,+∞)时,f(x)=____ ______. 活动:学生思考偶函数的解析式的性质,考虑如何将在区间(0,+∞)上的自变量对应 的函数值,转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.利用偶函数的性质 f(x)=f(-x), 将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值,转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数 值. 解析:当 x∈(0,+∞)时,则-x<0. 又∵当 x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4, ∴f(x)=f(-x)=(-x)-(-x)4=-x-x4. 答案:-x-x4 点评:本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性,求函数的解析式时, 要充分利用函数的奇偶性, 将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的 区间上自变量对应的函数值. 变式训练 3 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2+ x,求 f(x). 解:当 x=0 时,f(-0)=-f(0),则 f(0)=0; 当 x<0 时,-x>0,由于函数 f(x)是奇函数,则 3 3 f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+ -x]=-x2+ x,

? x 2 ? 3 x , x ? 0, ? ? 综上所得,f(x)= ?0, x ? 0, ? 2 3 ? ?? x ? x , x ? 0.
思路 2 例 1 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=2x4,x∈[-1,2]; x3-x2 (2)f(x)= ; x-1 (3)f(x)= x2-4+ 4-x2; 1+x2+x-1 (4)f(x)= . 1+x2+x+1 活动: 学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法. 先判断函数的定义域是否关于 原点对称,再判断 f(-x)与 f(x)的关系.在(4)中注意定义域的求法,对任意 x∈R,有 1+x2 > x2=|x|≥-x,则 1+x2+x>0.则函数的定义域是 R. 解:(1)∵它的定义域关于原点不对称,∴函数 f(x)=2x4,x∈[-1,2]既不是奇函数也不 是偶函数. x3-x2 (2)∵它的定义域为{x|x∈R,且 x≠1},并不关于原点对称,∴函数 f(x)= 既不是 x-1 奇函数也不是偶函数. (3)∵ x2-4≥0 且 4-x2≥0, ∴x=±2, 即 f(x)的定义域是{-2,2}. ∵f(2)=0,f(-2)=0, ∴f(2)=f(-2),f(2)=-f(2). ∴f(-x)=-f(x),且 f(-x)=f(x).
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∴f(x)既是奇函数也是偶函数. (4)函数的定义域是 R. ∵f(-x)+f(x) 1+x2-x-1 1+x2+x-1 = + 1+x2-x+1 1+x2+x+1 1+x2-(x+1)2+1+x2-(x-1)2 = ( 1+x2-x+1)( 1+x2+x+1) 1+x2-x2-2x-1+1+x2-x2+2x-1 = ( 1+x2-x+1)( 1+x2+x+1) =0, ∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)是奇函数. 点评:本题主要考查函数的奇偶性. 定义法判断函数奇偶性的步骤是:(1)求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时, 则此函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时,判断 f(-x)与 f(x)或-f(x) 是否相等;(2)当 f(-x)=f(x)时,此函数是偶函数;当 f(-x)=-f(x)时,此函数是奇函数;(3) 当 f(-x)=f(x)且 f(-x)=-f(x)时, 此函数既是奇函数又是偶函数; (4)当 f(-x)≠f(x)且 f(-x)≠ -f(x)时,此函数既不是奇函数也不是偶函数. 判断解析式复杂的函数的奇偶性时, 如果定义域关于原点对称时, 通常化简 f(-x)+f(x) 来判断 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x)是否成立. 变式训练 f(x) 函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数 g(x)= 在区间(1,+∞) x 上一定( ) A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数 解析:函数 f(x)=x2-2ax+a 的对称轴是直线 x=a, 由于函数 f(x)在开区间(-∞,1)上有最小值, 所以直线 x=a 位于区间(-∞,1)内, f(x) a 即 a<1.g(x)= =x+ -2, x x 下面用定义法判断函数 g(x)在区间(1,+∞)上的单调性. 设 1<x1<x2, a a ? 则 g(x1)-g(x2)=(x1+ -2)-? ?x2+x2-2? x1 a a? =(x1-x2)+? ?x1-x2? a ? =(x1-x2)? ?1-x1x2? x1x2-a =(x1-x2) . x1x2 ∵1<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1>0. 又∵a<1,∴x1x2>a. ∴x1x2-a>0. ∴g(x1)-g(x2)<0. ∴g(x1)<g(x2). ∴函数 g(x)在区间(1,+∞)上是增函数,函数 g(x)在区间(1,+∞)上没有最值. 答案:D 例 2 已知函数 f(x)的定义域是 x≠0 的一切实数, 对定义域内的任意 x1, x2, 都有 f(x1· x2) =f(x1)+f(x2),且当 x>1 时 f(x)>0,f(2)=1, (1)求证:f(x)是偶函数;
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(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; 5? ?7? (3)试比较 f? ?-2?与 f?4?的大小. 活动:(1)转化为证明 f(-x)=f(x),利用赋值法证明 f(-x)=f(x);( 2)利用定义法证明单 调性,证明函数单调性的步骤是“去比赛”;(3)利用函数的单调性比较它们的大小,利用 5? ?7? 函数的奇偶性,将函数值 f? ?-2?和 f?4?转化为同一个单调区间上的函数值. (1)证明:令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),∴f(1)=0. 令 x1=x2=-1,得 f(1)=f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1),∴2f(-1)=0. ∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1· x)=f(-1)+f(x)=f(x).∴f(x)是偶函数. (2)证明:设 x2>x1>0,则 x 2? ?x2? ?x2? f(x2)-f(x1)=f? x1?-f(x1)=f(x1)+f?x1?-f(x1)=f?x1?. ?x1· x2? x2 ∵x2>x1>0,∴ >1.∴f? ?x1?>0,即 f(x2)-f(x1)>0. x1 ∴f(x2)>f(x1).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. 5 5 - ?= f? ?. (3)解:由(1)知 f(x)是偶函数,则有 f? 2 ? ? ?2? 5? ?7? ? 5? ?7? 由(2)知 f(x)在(0,+∞)上是增函数,则 f? ?2?>f?4?.∴f?-2?>f?4?. 点评:本题是抽象函数问题,主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象 函数的奇偶性和单调性通常应用定义法, 比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性 来比较.其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值. 变式训练 已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域 内的任意 x,y,f(x) 都满足 f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求 f(1),f(-1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由. 分析:(1)利用赋值法,令 x=y=1 得 f(1)的值,令 x=y=-1,得 f(-1)的值;(2)利 用定义法证明 f(x)是奇函数,要借助于赋值法得 f(-x)=-f(x). 解:(1)∵f(x)对任意 x,y 都有 f(xy)=yf(x)+xf( y), ∴令 x=y=1 时,有 f(1×1)=1×f(1)+1×f(1). ∴f(1)=0. ∴令 x=y=-1 时,有 f[(-1)×(-1)]=(-1)×f(-1)+(-1)×f(-1).∴f(-1)=0. (2)是奇函数. ∵f(x)对任意 x,y 都有 f(xy)=yf(x)+xf(y), ∴令 y=-1,有 f(-x)=-f(x)+xf(-1). 将 f(-1)=0 代入得 f(-x)=-f(x), ∴函数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数. 知能训练 课本本节练习,1,2. 【补充练习】 1 .设函数 y = f(x) 是奇函数.若 f( - 2) + f( - 1) - 3 = f(1) + f(2) + 3 ,则 f(1) + f(2) = __________. 解析:∵函数 y=f(x)是奇函数,∴f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1). ∴-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3.∴2[f(1)+f(2)]=-6.∴f(1)+f(2)=-3. 答案:-3 2.已知 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则 a=__________,b= __________. 1 解析:∵偶函数的定义域关于原点对称,∴a-1+2a=0.∴a= . 3

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1 ∴f(x)= x2+bx+1 +b.又∵f(x)是偶函数,∴b=0. 3 1 答案: 0 3 3.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为( ) A.-1 B.0 C .1 D.2 解析:f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(2+0)=-f(0). 又 f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0. ∴f(6)=0.故选 B. 答案:B 拓展提升 问题:基本初等函数的奇偶性. 探究:利用判断函数的奇偶性的方法:定义法和图象法,可得 正比例函数 y=kx(k≠0)是奇函数; k 反比例函数 y= (k≠0)是奇函数; x 一次函数 y=kx+b(k≠0), 当 b=0 时是奇函数, 当 b≠0 时既不是奇函数也不是偶函数; 2 二次函数 y=ax +bx+c(a≠0), 当 b=0 时是偶函数, 当 b≠0 时既不是奇函数也不是偶 函数. 课堂小结 本节主要学习了函数的奇偶性, 判断函数的奇偶性通常有两种方法, 即定义法和图象法, 用定义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称. 作业 课本习题 1.3A 组 6,B 组 3. 设计感想 单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点,而本节设计的题目不多,因此,在实际 教学中, 教师可以利用课余时间补充, 让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这 两个性质.在教学设计中,注 意培养学生的综合应用能力,以便满足高考要求. 备课资料 奇、偶函数的性质 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称;奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称. (2)奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个 x 都必须成立. (3)f(-x)=f(x)?f(x)是偶函数,f(-x)=-f(x)?f(x)是奇函数. (4)f(-x)=f(x)?f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)?f(x)+f(-x)=0. (5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数,两个偶函数的和(差)仍是偶函数. 奇偶性相同的两个函数的积(商、 分母不为零)为偶函数, 奇偶性相反的两个函数的积(商、 分母不为零)为奇函数;如果函数 y=f(x)和 y=g(x)的奇偶性相同,那么复合函数 y=f[g(x)] 是偶函数,如果函数 y=f(x)和 y=g(x)的奇偶性相反,那么复合函数 y=f[g(x)]是奇函数,简 称为“同偶异奇”. (6)如果函数 y=f(x)是奇函数,那么 f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相同的单调性; 如果函数 y=f(x)是偶函数,那么 f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相反的单调性. (7)定义域关于原点对称的任意函数 f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和, 即 f(x) f(x)-f(-x) f(x)+f(-x) = + . 2 2 (8)若 f(x)是(-a,a)(a>0)上的奇函数,则 f(0)=0; 若函数 f(x)是偶函数,则 f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(-|x|). 若函数 y=f(x)既是奇函数又是偶函数,则有 f(x)=0.

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