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全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题:不等式求最值

全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题:不等式求最值 全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题:不等式求最值 1.设 a,b,c 是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是( A.(a+3)2<2a2+6a+11 C.|a-b|+ 答案 C 解析 (a+3)2-(2a2+6a+11)=-a2-2<0, 故 A 恒成立; 1 ≥2 a-b 1 1 B.a2+ 2≥a+ a a ) D. a+3- a+1< a+2- a 在 B 项中不等式的两侧同时乘以 a2,得 a4+1≥a3+a?(a4-a3)+(1-a)≥0?a3(a-1)-(a- 1)≥0?(a-1)2(a2+a+1)≥0,所以 B 项中的不等式恒成立; 对 C 项中的不等式,当 a>b 时,恒成立,当 a<b 时,不恒成立; 由不等式 2 2 < 恒成立,知 D 项中的不等式恒成立.故选 C. a+3+ a+1 a+2+ a 2. 已知 a, b, m, n 均为正数, 且 a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为________. 答案 2 解析 (am+ bn)(bm+ an)= abm2+ (a2+ b2)mn + abn2= ab(m2 +n2)+ 2(a2+ b2)≥2abmn + 2(a2 +b2)=4ab+2(a2+b2)=2(a2+2ab+b2)=2(a+b)2=2(当且仅当 m=m= 2时等号成立). 3.(全国名校· 沧州七校联考)若 logxy=-2,则 x+y 的最小值为________. 答案 3 3 2 2 1 解析 由 logxy=-2,得 y= 2. x 3 xx 1 3 1 33 2 1 x x 1 x 1 3 而 x+y=x+ 2= + + 2≥3 · · 2=3 = , 当且仅当 = 2即 x= 2时取等号. 所 x 2 2 x 22x 4 2 2 x 3 3 2 以 x+y 的最小值为 . 2 4.若 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1,则 a+ b+ c的最大值为________. 答案 解析 3 方法一:( a+ b+ c)2=a+b+c+2 ab+2 bc+2 ca≤a+b+c+(a+b)+(b+c) 全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题:不等式求最值 +(c+a)=3. 当且仅当 a=b=c 时取等号成立. 方法二:柯西不等式: ( a+ b+ c)2=(1× a+1× b+1× c)2≤(12+12+12)(a+b+c) =3. 5.已知 a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则 a2+4b2+9c2 的最小值为________. 答案 12 解析 由柯西不等式,得(12+12+12)(a2+4b2+9c2)≥(a+2b+3c)2,即 a2+4b2+9c2≥12, 当 a=2b=3c=2 时等号成立,所以 a2+4b2+9c2 的最小值为 12. ax+by 2 a2x+b2y 6.(全国名校· 江苏南通联考)已知 x>0,y>0,a∈R,b∈R.求证:( )≤ . x+y x+y 答案 略 证明 因为 x>0,y>0,所以 x+y>0. ax+by 2 a2x+b2y 所以要证( )≤ , x+y x+y 即证(ax+by)2≤(x+y)(a2x+b2y), ax+by 2 a2x+b2y 即证 xy(a2-2ab+b2)≥0,即证(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0 显然成立.故( )≤ . x+y x+y 7.(2014· 江苏)已知 x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy. 答案 略 3 3 证明 因为 x>0,y>0,所以 1+x+y2≥3 xy2>0,1+x2+y≥3 x2y>0.故(1+x+y2)(1+x2 3 3 +y)≥3 xy2·3 x2y=9xy. 8.(全国名校· 福建质量检查)若 a,b,c∈R+,且满足 a+b+c=2. (1)求 abc 的最大值; 1 1 1 9 (2)证明: + + ≥ . a b c 2 答案 (1) 8 (2)略 27 解析 (1)因为 a,b,c∈R+, 8 3 所以 2=a+b+c≥3 abc,故 abc≤ . 27 2 当且仅当 a=b=c= 时等号成立. 3 8 所以 abc 的最大值为 . 27 1 1 1 1 (2)证明:因为 a,b,c∈R+,且 a+b+c=2,所以根据柯西不等式,可得 + + = (a+b a b c 2 全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题:不等式求最值 1 1 1 1 +c)· ( + + )= [( a)2+( b)2+( c)2]×[( a b c 2 1 + c× b 12 9 )= . c 2 12 ) +( a 12 ) +( b 12 1 ) ]≥ ( a × c 2 1 + b× a 1 1 1 9 所以 + + ≥ . a b c 2 1 1 9.(全国名校· 课标全国Ⅱ,理)已知函数 f(x)=|x- |+|x+ |,M 为不等式 f(x)<2 的解集. 2 2 (1)求 M; (2)证明:当 a,b∈M 时,|a+b|<|1+ab|. 答案 (1){x|-1<x<1} (2)略 解析 ? ? 1 1 (1)f(x)=?1,-2<x<2, ? . ?2x,x≥1 2 1 -2x,x≤- , 2 1 当 x≤- 时,由 f(x)<2 得-2x<2,解得 x>-1; 2 1 1 当- <x< 时,f(x)<2; 2 2 1 当 x≥ 时,由 f(x)<2 得 2x<2,解得 x<1. 2 所以 f(x)<2 的解集 M={x|-1<x<1}. (2)由(1)知,当 a,b∈M 时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1 =(a2-1)(1-b2)<0. 因此|a+b|<|1+ab|. 1 1 10.(2015· 湖南理)设

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全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题:数学...1 1 1 127 3.用数学归纳法证明不等式 1+ ++...(1-an),试通过计算 c1, (n+1)2 c2,c3 的值...

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