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高中数学-概率与统计练习题


概率与统计练习题
一、选择题
1.在 x ? 3

?

?

10

的展开式中, x 的系数为
4 B. 27 C10

6


6 C. ? 9C10



6 A. ? 27C10

4 D.. 9 C 10

2.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C,以 AC.BC 的长为邻边作一个矩形,则该 矩形的面积小于 32cm2 的概率为 ( ) 4 2 1 1 A. B.. C. D. 5 3 3 6 1 3 .在区间 [?1,1] 上随机取一个数 x ,使 2 x 2 的值介于 0 到 之间的概率为 ( 2 1 1 1 2 A. B. C.. D. 3 4 2 3
4. ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取到的 点到 O 的距离大于 1 的概率为 A. ( )



? ? ? ? B.. 1 ? C. D. 1 ? 4 4 8 8 5 .集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A,B 中各取任意一个数,则这两数之和等于 4 的 概率是 ( ) 2 1 1 1 A. B. 错误!未找到引用源。 C.. D. 3 6 3 2
6. 已知某人在某种条件下射击命中的概率是 ,他连续射击两次,其中恰有一 次射中的概率是 ( ) (A)
1 4
1 2

(B)

1 3

(C).

1 2

(D)

3 4

错误!未找到引用源。
7. 在平面直角坐标系 xOy 中, 设 M 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 4 的点构成的区域, N 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域, 向 M 中随机投一点, 则落入 N 中的概率为( ) π π π π A.. B. C. D. 64 32 16 4
8.(2013 年高考陕西卷(理) )如图, 在矩形区域 ABCD 的 A, C 两点处各有一个通信基站, 假

设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无 信号的概率是 .

D

F

C

1 E A
A.. 1 ?

2
?
4

B
?
2 ?1





B.

C. 2 ?

?
2

D.

?
4

9 .如图所示,在边长为 l 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部

分的概率为 1 A. 3

( B..
1 4



C.

1 5

D.

1 6

10.(2013 辽宁数学(理) )某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据

的分组一次为 ? 20, 40 ? , ? 40, 60 ? , ? 60,80 ? , ?80,100 ? . 若低于 60 分的人数是 15 人,则该 班的学生人数是

( A. 45 B.. 50 C. 55 D. 60



11. (广东理 7)已知随机变量 X 服从正态分布 N (3,1) ,且 P(2 ? X ? 4) ? 0.6826 ,则

P( X ? 4) ?
A.0.1588 B..0.1587 C.0.1586 D.0.1585

12. ( 山 东 理 5 ) 已 知 随 机 变 量 ? 服 从 正 态 分 布 N (0, ? 2 ) , 若 P(? ? 2) =0.023 , 则

P( ? 2 ? ? ? 2 ) ?
A.0.477 B.0.628 C..0.954 D.0.977

13. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) )已知离散型随机

变量 X 的分布列为

X

P
则 X 的数学期望 EX ?

3 5

2 3 10

3 1 10
( )

3 A.. 2

B. 2

5 C. 2

D. 3

14.(山东省考试数学(理)试题)一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字都可从 0—9 中

任选一个,某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,如果他记得密 码的最后一位是偶数,则他不超过 2 次就按对的概率是 (



4 A. 5`

3 B. 5

2 C.. 5

1 D. 5

二、填空题
15. ( x ?
2

1 9 ) 展开式中 x 9 的系数是 2x
2

?

21 2

.

16.已知函数 f(x)=-x +ax-b.若 a、 b 都是从区间[0,4]内任取的一个数, 则 f(1)>0 成立 9 的概率是____ ____. 32 17.某射手射击所得环数 ? 的分布列如下:

?
P

7 x

8 0.1

9 0.3

10 y

已知 ? 的期望 E ? =8.9,则 y 的值为 0.4 .
18.(山东济宁模拟理科数学 )如图,长方形的四个顶点为 O(0,0),A(2,0),B(2,4),C(0,4),

曲线 y ? ax 经过点 B.现将一质点随机投入长方形 OABC 中,则质点落在图中阴影区域的
2

概率是_

2 _____ 3

19. (山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)在区间 ? 0, 4? 内随机取两个数 a、 b, 则使得函数 f ( x) ? x ? ax ? b 有零点的概率
2 2

为________

1 ___. 4
EX ? 2 ? 1 3 11 ? 3? ? . 4 4 4

X 的数学期望为

三、解答题
20.(湖南理 18)某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变) ,设某天开始营业时有该商品 3 件, 当天营业结束后检查存货,若发现存货少于 2 件,则当天进货补充至 3 件,否则不进货,将 频率视为概率。 (Ⅰ)求当天商品不进货的概率; (Ⅱ)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列和数学期型。 解(I) P ( “当天商品不进货” )? P ( “当天商品销售量为 0 件” )? P ( “当天商品销售量

?
为 1 件” )

1 5 3 ? ? . 20 20 10

(Ⅱ)由题意知, X 的可能取值为 2,3.

P( X ? 2) ? P ( “当天商品销售量为 1 件” )

?

5 1 ? ; 20 4

P( X ? 3) ? P ? P( ? P( ( “当天商品销售量为 0 件” ) “当天商品销售量为 2 件” ) “当

?
天商品销售量为 3 件” )

1 9 5 3 ? ? ? . 20 20 20 4

故 X 的分布列为

X
P

2

3

1 4

3 4

21. 某校高三 2 班有 48 名学生进行了一场投篮测试,其中男生 28 人,女生 20 人.为了了解其 投篮成绩,甲、乙两人分别对全班的学生进行编号(1~48 号) ,并以不同的方法进行数据抽样, 其中一人用的是系统抽样,另一人用的是分层抽样.若此次投篮考试的成绩大于或等于 80 分视 为优秀,小于 80 分视为不优秀,以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据:

编号 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47

性别 男 女 男 男 女 男 男 男 男 女 男 女

投篮成绩 90 60 75 80 85 80 95 80 80 60 75 55

编号 1 8 10 17 23 24 27 31 35 37 41 46

性别 男 男 男 男 男 男 男 女 女 女 女 女

投篮成绩 95 85 85 80 60 90 80 80 65 35 60 75

甲抽取的样本数据

乙抽取的样本数据

(Ⅰ)从甲 抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩,记“抽到投篮成绩优秀”的人数为 X,求 . X 的分布列和数学期望; (Ⅱ)请你根据乙 抽取的样本数据完成下列 2× 2 列联表,判断是否有 95%以上的把握认为投篮 . 成绩和性别有关?

优秀 男 女 合计

非优秀

合计

12

(Ⅲ)判断甲、乙各用何种抽样方法,并根据(Ⅱ)的结论判断哪种抽样方法更优?说明理由. 下面的临界值表供参考:

P( K 2 ? k )
k

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

(参考公式: K

2

?

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

解: (Ⅰ)由甲抽取的样本数据可知,投篮成绩优秀的有 7 人,投篮成绩不优秀的有 5 人. X 的所有可能取值为 0,1, 2 .……………………………………………………1 分 所以 P ( X ? 0) ?
2 C5 C1 C1 35 C2 21 7 5 ? ? , P ( X ? 1) ? 7 2 5 ? , P ( X ? 2) ? 27 ? .…4 分 2 66 C12 33 C12 C12 66 22

故 X 的分布列为 X

P

0 5 33

2 1 35 7 66 22 …………………………………………5 分
……6 分

∴ E( X ) ? 0 ?

5 35 7 7 ? 1? ? 2 ? ? . 33 66 22 6
优秀 男 女 合计
2

(Ⅱ)设投篮成绩与性别无关,由乙抽取的样本数据,得 2? 2 列联表如下: 非优秀 1 4 5 合计 7 5 12 …………7 分
K 2 的观测值 k ?

6 1 7

12(6 ? 4 ?1?1) ? 5.182 ? 3.841,……………………………9 分 7 ? 5? 5? 7 所以有 95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关. ……………………10 分
……………………11 分 ……………………13 分

(Ⅲ)甲用的是系统抽样,乙用的是分层抽样. 因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优.

由(Ⅱ)的结论知,投篮成绩与性别有关,并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异,

22.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种保 险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立。 (Ⅰ)求该地 1 为车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (Ⅱ)X 表示该地的 100 为车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求 X 的期望。 解: (Ⅰ)设购买乙种保险的概率为 x ,因为购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3 故 ?1 ? 0.5? x ? 0.3 ? x ? 0.6 , 所以该地 1 为车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为 1 ? ?1 ? 0.5??1 ? 0.6? ? 0.8 (Ⅱ)由(Ⅰ)易知,甲、乙两种保险都不购买的概率为 1 ? 0.8 ? 0.2
X 所以有 X 个车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 p ? C100 ? 0.2 ? X

? 0.8 ?

100 ? X

显然,X 服从二项分布,即 X 所以 EX ? 100 ? 0.2 ? 20 X 的期望为 20

B ?100,0.2? ,

23.(2013 年福建数学(理) )某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,

方案甲的中奖率为

2 2 ,中将可以获得 2 分;方案乙的中奖率为 ,中将可以得 3 分;未中 3 5

奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分 数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X , Y ,求 X ? 3 的概率; (2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计 的得分的数学期望较大? 解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为

2 2 ,小红中奖的概率为 ,两人中奖与否互不影响, 3 5

记“这 2 人的累计得分 X ? 3 ”的事件为 A,则 A 事件的对立事件为“ X ? 5 ”,

P( X ? 5) ?

2 2 4 11 ? ? ,? P( A) ? 1 ? P( X ? 5) ? 3 5 15 15

? 这两人的累计得分 X ? 3 的概率为

11 . 15

(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 X 1 ,都选择方案乙抽奖中奖的次数 为 X 2 ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E (2 X 1 ) ,选择方案乙抽奖累计 得分的数学期望为 E (3 X 2 ) 由已知: X 1 ~ B (2, ) , X 2 ~ B (2, )

2 3

2 5

? E( X1) ? 2 ?

2 4 2 4 ? , E( X 2 ) ? 2 ? ? 3 3 5 5

8 12 ? E (2 X 1 ) ? 2 E ( X 1 ) ? , E (3 X 2 ) ? 3E ( X 2 ) ? 3 5
E (2 X 1 ) ? E (3 X 2 )

? 他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.
24.(2013 重庆数学(理) )某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖

者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,再从装有个蓝球与 2 个白球的 袋中任意摸出个球,根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数,设一.二.三等奖如下: 奖级 摸出红.蓝球个数 获奖金额 一等奖 3红1蓝 200 元

二等奖 三等奖

3红0蓝 2红1蓝

50 元 10 元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E ? X ? .

【答案】


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