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高中数学解题基本方法:配方法


高考第二轮复习
第一章 高中数学解题基本方法:配方法 一、 (课时 9)

一、知识提要 配方法主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数 式的讨论与求解,或者缺 xy 项的二次曲线的平移变换等问题.常见配方形式,如:

a 2 ? b 2 ? (a ? b) 2 ? 2ab ? (a ? b) 2 ? 2ab ;
b 3 a 2 ? ab ? b 2 ? (a ? b) 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? 3ab ? (a ? ) 2 ? ( b) 2 ; 2 2
1 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca ? [( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ] . 2

1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? ) 2 ;
x2 ? 1 1 1 ? ( x ? ) 2 ? 2 ? ( x ? ) 2 ? 2 ;?? 等等. 2 x x x

二、例题讲解 例 1.已知长方体的全面积为 11,其 12 条棱的长度之和为 24,则这个长方体的一条对 角线长为_____. A. 2 3 B. 14 C. 5 D. 6 解:设长方体长宽高分别为 x, y , z ,由已知“长方体的全面积为 11,其 12 条棱的长度 之和为 24”而得: ?

?2( xy ? yz ? xz ) ? 11 . ?4( x ? y ? z ) ? 24
x2 ? y2 ? z2 =
( x ? y ? z ) 2 ? 2( xy ? yz ? xz ) =

长方体所求对角线长为:

62 ? 11 =5,所以选 B.
2 例 2. 设方程 x ? kx ? 2 ? 0 的两实根为 p 、 q ,若(

p 2 q 2 ) +( ) ≤7 成立,求实数 k q p

的取值范围.
2 解:方程 x ? kx ? 2 ? 0 的两实根为 p 、 q ,由韦达定理得: p ? q ? ?k , pq ? 2 ,

p 2 q 2 p 4 ? q 4 ( p 2 ? q 2 )2 ? 2 p 2 q 2 [( p ? q )2 ? 2 pq]2 ? 2 p 2 q 2 ( ) +( ) = = = q p ( pq )2 ( pq )2 ( pq)2
( k 2 ? 4)2 ? 8 = ≤7, 解得 k ? ? 10 或 k ? 10 . 4
2 又 ∵ p 、 q 为方程 x ? kx ? 2 ? 0 的两实根, ∴

? ? k2 ?8 ? 0

即 k ? 2 2 或 k ? ?2 2 , 综上可得, k 的取值范围是:- 10 ? k ? ?2 2 或 2 2 ? k ? 10 . 例 3.设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,给定 m 、 n (m ? n) ,且满足

a 2 [(m ? n) 2 ? m2 n 2 ] ? 2a[b(m ? n) ? cmn] ? b 2 ? c 2 ? 0 ,
(1)解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)是否存在一个实数 t ,使当 x ? (m ? t , n ? t ) 时, f ( x) ? 0 ?若不存在,说出理由; 若存在,指出 t 的取值范围. 解: (1)由已知得, a ? 0 且 [a(m ? n) ? b]2 ? (amn? c) 2 ? 0 , ∴m? n ? ?

b c , mn ? 即 m 、 n 是方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两根,且 m ? n ,所以, a a

当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? n 或 x ? m} ; 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 的解集为 {x | m ? x ? n}, (2)当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 的解集为 {x | m ? x ? n}, 若0 ? t ?

n?m ,则 (m ? t , n ? t ) ? (m, n) ,即 x ? (m ? t , n ? t ) 时, f ( x) ? 0 ; 2

若 t ? 0 ,则 (m ? t , n ? t ) ? (m, n) ,不满足对所有的 x ? (m ? t , n ? t ) , f ( x) ? 0 .当

a ? 0 时, f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? n 或 x ? m} ,不存在 t 使得 x ? (m ? t , n ? t )
时, f ( x) ? 0 成立.综上可得,当 a ? 0 时,存在 t 满足 x ? (m ? t , n ? t ) 时, f ( x) ? 0 , 此时 t 的取值范围为 0 ? t ? 成立. 三、同步练习 1.在正项等比数列 {an } 中, a1 ? a5 ? 2a3 ? a5 ? a3 ? a7 ? 25 ,则 a3 ? a5 =___5___.
2 2 2.方程 x ? y ? 4kx ? 2 y ? 5k ? 0 表示圆的充要条件是___ k ? 1或k ?

n?m ; 当 a ? 0 时不存在 t 使得 x ? (m ? t , n ? t ) 时,f ( x) ? 0 2

1 ____. 4

3.函数 y ? log1 (?2 x ? 5x ? 3) 的单调递增区间是( D
2 2

) D. [ ,3)

5 A. (?? , ) 4

B. [ ,?? )

5 4

C. ( ?

1 5 , ] 2 4

5 4

4.已知方程 x 2 ? (a ? 2) x ? a ? 1 ? 0 的两根 x1 、 x2 ,且点 P ( x1 , x2 )在圆 x +y =4
2 2

上,则实数 a =___ 3 ? 7 __. 5.函数 y ? ( x ? a) 2 ? ( x ? b) 2 ( a 、 b 为常数)的最小值为( B ) A.8 B. ( a ? b )
2
2 2 2 C. a ? b

2

D.最小值不存在

x2 ? y2 ? 1 的 两 个 焦 点 , 点 P 在 双 曲 线 上 且 满 足 6. 设 F1 和 F2 为 双 曲 线 4

?F1 PF2 ? 90? ,则△ F1 PF2 的面积是___1___.
7.椭圆 x 2 ? 2ax ? 3 y 2 ? a 2 ? 6 ? 0 的一个焦点在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,则 a ? ( C ) A.2 B.-6 C. -2 或-6 D. 2 或 6

4 2 2 8. 设 s ? 1, t ? 1, m ? R , x ? logs t ? logt s, y ? log4 s t ? logt s ? m(logs t ? logt s) ,

(1)将 y 表示为 x 的函数 y ? f ( x) ,并求出 f ( x) 的定义域; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 m 的取值范围. 解: (1) f ( x) ? ( x 2 ? 2) 2 ? m( x 2 ? 2) ? 2( x ? 2) (2) m ? ?1


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