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【状元360】高考数学一轮复习 2.10 指数函数课件 理_图文

1.指数与指数幂的运算 n x =a ,那么 x 叫做 a (1)n 次方根的定义:一般地,如果________ 的 n 次方根,其中 n>1 且 n∈N*.x 的表示如下表所示. a n∈N*且 n>1); (2)根式的性质:①( a)n=____( a n 为大于 1 的奇数); ② an=____( n n n ③ ? ? a,a≥0, n a =|a|=? ? ? -a,a<0 (n 为大于 1 的偶数). am a>0,m,n∈N*且 n>1); (3)分数指数幂:①a =______( m n n 1 ②a =________( am a>0,m,n∈N*且 n>1); 0, 没有意义 ③0 的正分数指数幂等于____ 0 的负分数指数幂________ . ? m n n (4)实数指数幂的运算性质(设 a,b>0,r,s∈R) r+s r s r s a ( a ) =ars; ①a · a =______;②_____ ar· br ③(ab)r=______. 2.指数函数的图象与性质 函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图象和性质如右表所示, a>1 0<a<1 图 象 R (0,+∞) (0,1) 1 0 1 增 减 考点一 指数与指数幂的运算 示范1 计算下列各式的值: (1)(0.064) -(2 3-1) +[(-2) ] 1 2 ? 1 2 ? 1 3 ? 4 3 0 3 +16-0.75+ 0.01; x ?x ?2 (2)已知 x +x =3,求 2 的值. ?2 x ? x ?3 3 2 ? 3 2 分析 根据指数幂的运算进行. 解析 (1)原式= 3 1 0.4 10 1 1 1 143 = -1 + + + = . 4 16 8 10 80 (2)∵x +x =3,∴两边平方得 x+x-1=7, 再两边平方得 x2+x-2=47, 3×?7-1?+2 2 ? x ? x ?? x ? 1 ? x ?1 ? ? 2 原式= = = . 2 ?2 5 47 + 3 x ? x ?3 1 2 ? 1 2 1 2 ? 1 2 1 4 -1+ 4+(2 ) ?-2? 3 ? 3 4 +0.1 【点评】?1?主要用好指数幂的运算性质;?2?把已知条件进 行变形,可以考虑平方、立方等. 展示1 计算下列各式的值: (1) >0); ÷ (a 【解析】 方法点拨:进行指数与指数幂的运算时.要根据相关的运算 性质?见知识要点 1?进行.分数指数幂与根式可以互化,运算时, 通常利用分数指数幂进行根式的运算.在运用公式进行式的变形 时,应注意公式成立的条件.在有关根式、分数指数幂的变形、 求值过程中,要注意运用方程的观点处理问题,通过解方程或 方程组来求值. 考点二 指数函数的性质 示范2 求下列函数的定义域和值域: 2x (1)y= x ; 2 +1 (2)y=2 -x2-3x+4. 分析 指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的定义域是 R, 所以函数 y=af(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同.值域要应用单调性来 求解. x 2 解析 (1)因为 2x+1>0 恒成立, 所以定义域为 R, 又 y= x 2 +1 =1- 1 , x 2 +1 x 1 而 2 >0,所以 0< x <1, 2 +1 1 则-1<- x <0, 2 +1 得 0<y<1,即值域为(0,1). (2)令-x2-3x+4≥0,解得-4≤x≤1, 设 μ= -x -3x+4= 5 ∴0≤μ≤ . 2 2 ? 3? ? ?2 25 -?x+2? + (-4≤x≤1), 4 ? ? 又 y=2u 是增函数,∴20≤2μ≤2 , 即值域为[1,4 2]. 5 2 【点评】指数函数 y=ax?a>0 且 a≠1?的值域?0,+∞?,单 调性由底数的范围决定,复合函数求值域应先分解函数,再通 过多次分析单调性再求值域得到复合函数值域. 展示2 (1)设 y1=4 ,y2=8 的大小关系是________. 0.9 0.48 ?1?-1.5 ,y3=?2? ,则 ? ? y1,y2,y3 (2)(2011 广州一模)已知函数 f(x)满足 f(1)=2 且对任意 x,y n 10 f?x? ∈R 都有 f(x-y)= , 记 ai=a1a2…an, 则 ?f(6-i)=________. f?y? i? =1 i=1 【答案】(1)y1>y3>y2 (2)32 【解析】(1)y1=21.8, y2=21.44, y3=21.5, ∵函数 y=2x 是 R 上的增函数,∴y1>y3>y2. (2)特殊函数法,根据题意及指数函数的性质,可构造函数 f(x)=2x 进行求解,可得答案为 25=32. 示范3 已知函数 f(x)=b· ax(其中 a,b 为常量,a>0 且 a≠1) 的图象经过点 A(1,6),B(3,24), (1)求函数 f(x)的解析式; ?1? ?1? x (2)若关于 x 的不等式?a? +?b?x-m≥0 在 x∈(-∞,1]时恒 ? ? ? ? 成立,求实数 m 的取值范围. 解析 (1)把A(1,6),B(3,24)代入f(x)=b· ax得 ? ?6=ab, ? 3 ? 24 = b · a . ? ? ?a=2, 结合a>0且a≠1,解得:? ? ?b=3. ∴f(x)=3· 2x. 1x 1x (2)要使(2) +(3) ≥m在(-∞,1]上恒成立, 1x 1x 只需保证函数y=( 2 ) +( 3 ) 在(-∞,1]上的最小值不小于m 即可. 1x 1x ∵函数y=(2) +(3) 在(-∞,1]上为减函数, 1x 1x 5 ∴当x=1时,y=(2) +(3) 有最小值6. 5 ∴只需m≤6即可.