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全国重点名校高考数学优质复习题 20套专题汇编 不等式选讲

全国重点名校高考数学优质复习题 20 套专题汇编 第 97 炼 不等式选讲 一、基础知识: (一)不等式的形式与常见不等式: 1、不等式的基本性质: (1) a ? b ? b ? a (2) a ? b, b ? c ? a ? c (不等式的传递性) 注: a ? b, b ? c ? a ? c , a ? c 等号成立当且仅当前两个等号同时成立 (3) a ? b ? a ? c ? b ? c (4) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (5) a ? b ? 0 ? an ? bn ? n ? 2, n ? N ? (6) a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? 2, n ? N ? 2、绝对值不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b (1) a ? b ? a ? b 等号成立条件当且仅当 ab ? 0 (2) a ? b ? a ? b 等号成立条件当且仅当 ab ? 0 (3) a ? b ? b ? c ? a ? c :此性质可用于求含绝对值函数的最小值,其中等号成立当 且仅当 ? a ? b?? b ? c ? ? 0 3、均值不等式 (1)涉及的几个平均数: ① 调和平均数: H n ? n 1 1 ? ? a1 a2 n ? 1 an ② 几何平均数: Gn ? ③ 代数平均数: An ? ④ 平方平均数: Qn ? a1a2 an a1 ? a2 ? n 2 a12 ? a2 ? n ? an 2 ? an (2)均值不等式: Hn ? Gn ? An ? Qn ,等号成立的条件均为: a1 ? a2 ? ? an 全国重点名校高考数学优质复习题 20 套专题汇编 (3)三项均值不等式: ① a ? b ? c ? 33 abc ② abc ? ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 abc 3 ?a?b?c? ? 3 ? ? ③ a?b?c?3 a 2 ? b2 ? c 2 3 4、柯西不等式: a1 ? a2 ? 2 2 ? 2 ? an ?? b12 ? b22 ? 2 ? bn ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ? 2 等号成立条件当且仅当 a1 a2 ? ? b1 b2 ? 2 an 或 b1 ? b2 ? bn ? bn ? 0 2 (1)二元柯西不等式: a ? b 2 ? 2 ?? c ? d 2 ? ? ? ac ? bd ? ,等号成立当且仅当 ad ? bc (2)柯西不等式的几个常用变形 ① 柯西不等式的三角公式: 2 a12 ? a2 ? 2 a12 a2 ? ? ② b1 b2 2 2 ? an ? b12 ? b2 ? 2 ? a ? a2 ? an ? 1 bn b1 ? b2 ? 2 ? an ? ? b1 ? b2 ? bn ? 2 ? bn ? ? a1 ? b1 ? 2 2 ? ? a2 ? b2 ? ? 2 ? ? an ? bn ? 2 ? ? an ? ? bn ? a2 a2 ?? 1 ? 2 ? ? b1 b2 ? ? bn ? ? ? a1 ? a2 ? ? an ? 2 2 2 ②式体现的是当各项 a1 , a2 , 2 系数不同时,其“平方和”与“项的和”之间的不等关系, , an 刚好是均值不等式的一个补充。 a a ③ 1? 2 ? b1 b2 ? a1 ? a2 ? ? an ? a ? n ? bn a1b1 ? a2b2 ? ? anbn 2 5 、 排 序 不 等 式 : 设 a1 ? a 2 ? ? an , b 1? b 2 ? ? bn 为 两 组 实 数 , c1 , c2 , , cn 是 b1 , b2 , , bn 的任一排列,则有: a1bn ? a2bn ?1 ? ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ? anbn 即“反序和 ? 乱序和 ? 顺序和” (二)不等式选讲的考察内容: 1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立 全国重点名校高考数学优质复习题 20 套专题汇编 2、利用常见不等式(均值不等式,柯西不等式)求表达式的最值,要注意求最值的思路与 利用基本不等式求最值的思路相似,即“寻找合适的模型→将式子向定值放缩(消元)→验 证等号成立条件” 3、解不等式(特别是含绝对值的不等式——可参见“不等式的解法”一节) 二、典型例题: 例 1:若不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? m ? 1 恒成立,则 m 的取值范围为________. 思路:本题为恒成立问题,可知 m ? 1 ? x ? 1 ? x ? 3 ? ? min ,所以只需求出 x ? 1 ? x ? 3 的最小值即可,一种思路可以构造函数 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 3 ,通过对绝对值里的符号进 ? 2 x ? 4, x ? ?1 ? , ?3 ? x ? ?1 ,进而得到 f ? x ?min ? 2 ,另一种 行分类讨论得到分段函数: f ? x ? ? ? 2 ? ?2 x ? 4, x ? ?3 ? 思路可以想到绝对值不等式: x ? 1 ? x ? 3 ? ? x ? 1? ? ? x ? 3? ? 2 ,进而直接得到最小 值,所以 m ? 1 ? 2 ,从而 ?1 ? m ? 3 答案: ?1 ? m ? 3 例 2:若存在实数 x 使得 x ? 4 x ? a ? 2 ? a ? 1 ? 0 成立,求实数 a 的取值范围 2 思路:本题可从方程有根出发,得到关于 a 的不等式,从而解出 a 的范围 解:依题意可知二次方程 x ? 4 x ? a ? 2 ? a ? 1 ? 0 有解 2 ??

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