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全国重点名校高考数学优质复习题 20套专题汇编 不等式选讲


全国重点名校高考数学优质复习题 20 套专题汇编 第 97 炼 不等式选讲 一、基础知识: (一)不等式的形式与常见不等式: 1、不等式的基本性质: (1) a ? b ? b ? a (2) a ? b, b ? c ? a ? c (不等式的传递性) 注: a ? b, b ? c ? a ? c , a ? c 等号成立当且仅当前两个等号同时成立 (3) a ? b ? a ? c ? b ? c (4) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (5) a ? b ? 0 ? an ? bn ? n ? 2, n ? N ? (6) a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? 2, n ? N ? 2、绝对值不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b (1) a ? b ? a ? b 等号成立条件当且仅当 ab ? 0 (2) a ? b ? a ? b 等号成立条件当且仅当 ab ? 0 (3) a ? b ? b ? c ? a ? c :此性质可用于求含绝对值函数的最小值,其中等号成立当 且仅当 ? a ? b?? b ? c ? ? 0 3、均值不等式 (1)涉及的几个平均数: ① 调和平均数: H n ? n 1 1 ? ? a1 a2 n ? 1 an ② 几何平均数: Gn ? ③ 代数平均数: An ? ④ 平方平均数: Qn ? a1a2 an a1 ? a2 ? n 2 a12 ? a2 ? n ? an 2 ? an (2)均值不等式: Hn ? Gn ? An ? Qn ,等号成立的条件均为: a1 ? a2 ? ? an 全国重点名校高考数学优质复习题 20 套专题汇编 (3)三项均值不等式: ① a ? b ? c ? 33 abc ② abc ? ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 abc 3 ?a?b?c? ? 3 ? ? ③ a?b?c?3 a 2 ? b2 ? c 2 3 4、柯西不等式: a1 ? a2 ? 2 2 ? 2 ? an ?? b12 ? b22 ? 2 ? bn ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ? 2 等号成立条件当且仅当 a1 a2 ? ? b1 b2 ? 2 an 或 b1 ? b2 ? bn ? bn ? 0 2 (1)二元柯西不等式: a ? b 2 ? 2 ?? c ? d 2 ? ? ? ac ? bd ? ,等号成立当且仅当 ad ? bc (2)柯西不等式的几个常用变形 ① 柯西不等式的三角公式: 2 a12 ? a2 ? 2 a12 a2 ? ? ② b1 b2 2 2 ? an ? b12 ? b2 ? 2 ? a ? a2 ? an ? 1 bn b1 ? b2 ? 2 ? an ? ? b1 ? b2 ? bn ? 2 ? bn ? ? a1 ? b1 ? 2 2 ? ? a2 ? b2 ? ? 2 ? ? an ? bn ? 2 ? ? an ? ? bn ? a2 a2 ?? 1 ? 2 ? ? b1 b2 ? ? bn ? ? ? a1 ? a2 ? ? an ? 2 2 2 ②式体现的是当各项 a1 , a2 , 2 系数不同时,其“平方和”与“项的和”之间的不等关系, , an 刚好是均值不等式的一个补充。 a a ③ 1? 2 ? b1 b2

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