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中考数学综合题集锦一


23. (本小题满分 12 分) 在 Rt△ABC 中,BC=9, CA=12,∠ABC 的平分线 BD 交 AC 与点 D, DE⊥DB 交 AB 于点 E. (1)设⊙O 是△BDE 的外接圆,求证:AC 是⊙O 的切线; (2)设⊙O 交 BC 于点 F,连结 EF,求

EF 的值. AC

(1) 证明:由已知 DE⊥DB,⊙O 是 Rt△BDE 的外接圆, 证明: ∴BE 是⊙O 的直径,点 O 是 BE 的中点,连结 OD, 1 分 ∵ ∠C = 90o ,∴ ∠DBC + ∠BDC = 90o . 又∵BD 为∠ABC 的平分线,∴ ∠ABD = ∠DBC . ∵ OB = OD ,∴ ∠ABD = ∠ODB . ∴ ∠ODB + ∠BDC = 90o ,即∴ ∠ODC = 90o ······································································· 4 分 又∵OD 是⊙O 的半径, ∴AC 是⊙O 的切线. ····························································· 5 分 (2) 解:设⊙O 的半径为 r, 在 Rt△ABC 中, AB 2 = BC 2 + CA2 = 9 2 + 12 2 = 225 , ∴ AB = 15 ················································································· 7 分 ∵ ∠A = ∠A , ∠ADO = ∠C = 90o ,∴△ADO∽△ACB.

AO OD 15 ? r r .∴ = = . AB BC 15 9 45 45 ∴r = .∴ BE = ························································ 10 分 8 4
∴ 又∵BE 是⊙O 的直径.∴ ∠BFE = 90o .∴△BEF∽△BAC

45 EF BE 3 ∴ = = 4 = . AC BA 15 4
24. (本小题满分 15 分) 如图,已知 A(?4, 0) , B (0, 4) ,现以 A 点为位似中心,相 似比为 9:4,将 OB 向右侧放大,B 点的对应点为 C. (1) 求 C 点坐标及直线 BC 的解析式; (2) 一抛物线经过 B、C 两点,且顶点落在 x 轴正半轴上,求 该抛物线的解析式并画出函数图象; (3) 现将直线 BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点 P,请找 出抛物线上所有满足到直线 AB 距离为 3 2 的点 P. (4) 解: (1)过 C 点向 x 轴作垂线,垂足为 D,由位似图形 性质可知:

△ABO∽△ACD, ∴

AO BO 4 = = . AD CD 9

由已知 A(?4, 0) , B (0, 4) 可知: AO = 4, BO = 4 . ∴ AD = CD = 9 .∴C 点坐标为 (5, 9) .····················· 2 分 直线 BC 的解析是为:

y ?4 x?0 = 9?4 5?0

化简得: y = x + 4 ··························································3 分 (2)设抛物线解析式为 y = ax + bx + c ( a > 0) ,由题
2

4=c ? ? 意得: ?9 = 25a + 5b + c , ? b 2 ? 4ac = 0 ?

1 ? ?a2 = 25 ? a1 = 1 ? 4 ? ? 解得: ?b1 = ?4 ? b2 = 5 ?c =4 ? ? 1 ? c2 = 4 ? ?
∴解得抛物线解析式为 y1 = x ? 4 x + 4 或 y2 =
2

1 2 4 x + x + 4. 25 5

又∵ y2 =

1 2 4 x + x + 4 的顶点在 x 轴负半轴上,不合题意,故舍去. 25 5
2

∴满足条件的抛物线解析式为 y = x ? 4 x + 4 ········································································· 5 分 (准确画出函数 y = x ? 4 x + 4 图象)····················································································· 7 分
2

(3) 将直线 BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点 P,设 P 到 直线 AB 的距离为 h, 故 P 点应在与直线 AB 平行,且相距 3 2 的上下两条平行直线 l1 和 l2 上.························· 8 分 由平行线的性质可得:两条平行直线与 y 轴的交点到直线 BC 的距离也为 3 2 . 如图,设 l1 与 y 轴交于 E 点,过 E 作 EF⊥BC 于 F 点, 在 Rt△BEF 中 EF = h = 3 2 , ∠EBF = ∠ABO = 45 ,
o

∴ BE = 6 .∴可以求得直线 l1 与 y 轴交点坐标为 (0,10) ····················································· 10 分 同理可求得直线 l2 与 y 轴交点坐标为 (0, ?2) ·········································································· 11 分

∴两直线解析式 l1 : y = x + 10 ; l2 : y = x ? 2 . 根据题意列出方程组: ⑴ ?

? y = x2 ? 4 x + 4 ? y = x + 10

;⑵ ?

? y = x2 ? 4 x + 4 ? y = x?2

∴解得: ?

? x1 = 6 ? x2 = ?1 ? x3 = 2 ? x4 = 3 ;? ;? ;? ? y1 = 16 ? y2 = 9 ? y3 = 0 ? y4 = 1

∴满足条件的点 P 有四个,它们分别是 P (6,16) , P2 ( ?1, 9) , P3 (2, 0) , P4 (3,1) ········· 15 分 1 [注:对于以上各大题的不同解法,解答正确可参照评分!] 注 对于以上各大题的不同解法,解答正确可参照评分! 24.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y = x 2 + bx + c 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B
的左侧) ,与 y 轴交于点 C ,点 B 的坐标为 (3, ,将直线 y = kx 沿 y 0) 轴向上平移 3 个单位长度后恰好经过 B,C 两点. (1)求直线 BC 及抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为 D ,点 P 在抛物线的对称轴上,且 ∠APD = ∠ACB ,求点 P 的坐标; (3)连结 CD ,求 ∠OCA 与 ∠OCD 两角和的度数. - 【解析】⑴ Q y = kx 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后经过 y 轴上的点 解析】 C, ∴ C (0, . 3) 设直线 BC 的解析式为 y = kx + 3 . Q B (3, 在直线 BC 上, 0) -

y 4 3 2 1 1 2 3 4 x

∴ 3k + 3 = 0 . 解得 k = ?1 . ∴ 直线 BC 的解析式为 y = ? x + 3 .······································································ 1 分

Q 抛物线 y = x 2 + bx + c 过点 B,C , ?9 + 3b + c = 0, ∴? ?c = 3. ?b = ?4, 解得 ? ?c = 3.
∴ 抛物线的解析式为 y = x 2 ? 4 x + 3 .··································································2 分

⑵ 由 y = x2 ? 4x + 3 . 可得 D (2, 1),A(1, . ? 0)
∴ OB = 3 , OC = 3 , OA = 1 , AB = 2 . 可得 △OBC 是等腰直角三角形. ∴∠OBC = 45o , CB = 3 2 .

y 4 3 C 2 P E

如图 1,设抛物线对称轴与 x 轴交于点 F ,
∴ AF = 1 AB = 1 . 2

过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E . ∴∠AEB = 90o . 可得 BE = AE = 2 , CE = 2 2 . 在 △ AEC 与 △ AFP 中, ∠AEC = ∠AFP = 90o , ∠ACE = ∠APF , ∴△ AEC ∽△ AFP .

AE CE 2 2 2 , . = = AF PF 1 PF 解得 PF = 2 . Q 点 P 在抛物线的对称轴上, ∴ 点 P 的坐标为 (2, 或 (2, 2) .········································································ 5 分 2) ? ∴
⑶ 解法一: 如图 2,作点 A(1, 关于 y 轴的对称点 A′ ,则 A′(?1, . 0) 0) 连结 A′C,A′D , 可得 A′C = AC = 10 , ∠OCA′ = ∠OCA .
2 2

y 4 3 C 2

由勾股定理可得 CD = 20 , A′D = 10 . 又 A′C 2 = 10 , 1 A′ A B ∴ A′D 2 + A′C 2 = CD 2 . x -1 O 1 2 F 3 4 ∴△ A′DC 是等腰直角三角形, ∠CA′D = 90o , -1 D ∴∠DCA′ = 45o . -2 ∴∠OCA′ + ∠OCD = 45o . 图2 ∴∠OCA + ∠OCD = 45o . 即 ∠OCA 与 ∠OCD 两角和的度数为 45o .··························································· 7 分 解法二: y 如图 3,连结 BD . 4 同解法一可得 CD = 20 , AC = 10 . 3 C 在 Rt△DBF 中, ∠DFB = 90o , BF = DF = 1 ,
∴ DB = DF + BF = 2 .
2 2

2 1
-2 -1 O -1 -2

A 1 2F 3 D
图3

B 4

x

在 △CBD 和 △COA 中,

DB 2 BC 3 2 CD 20 = = 2, = = 2, = = 2. AO 1 OC 3 CA 10



DB BC CD = = . AO OC CA

∴△CBD ∽△COA . ∴∠BCD = ∠OCA .

Q ∠OCB = 45o , ∴∠OCA + ∠OCD = 45o .

即 ∠OCA 与 ∠OCD 两角和的度数为 45o .··························································· 7 分 点评】 将几何与函数完美的结合在一起, 对学生综合运用知识的能力 【点评】 本题设计得很精致, 要求较高,本题 3 问之间层层递进,后两问集中研究角度问题。中等层次的学生能 够做出第⑴问,中上层次的学生可能会作出第⑵问,但第⑵问中符合条件的 P 点 有两个,此时学生易忽视其中某一个,成绩较好的学生才可能作出第⑶问,本题是 拉开不同层次学生分数的一道好题。 本题考点:函数图形的平移、一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、相 似三角形、 等腰直角三角形的判定及性质、勾股定理 难度系数:第⑴问:5.5;第⑵问:3.5;第⑶问:2.5


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