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烟台芝罘区数学2015-2016高三专题复习-数列(1)求通项方法及经典练习(含答案)


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山东省烟台市芝罘区数学 2015-2016 高三专题复习 -数列(1)求通项方法及经典练习(含答案) 烟台乐博士教育特供 1、定义法: 直接求首项和公差或公比。 2、公式法:
(n ? 1) ? Sn an ? ? 两种用途(列举),结果要验证能否写成统一的式子. ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2)

明老师整理

例、数列 ?an ? 的各项都为正数,且满足 Sn 解一:由 Sn

? a ? 1? ? n
4

2

? n ? N ? ,求数列的通项公式.
*
2 2

? a ? 1? ? n
4

2

? n ? N ? 得 4a
*

n ?1

? 4 ? S n ?1 ? S n ? ? ? an ?1 ? 1? ? ? an ? 1? 化简得

? an?1 ? an ?? an?1 ? an ? 2? ? 0 ,因为 an ? 0,?an?1 ? an ? 2 ,
又 4 S1 ? 4a1 ? ? a1 ? 1? 得 a1 ? 1 , 故 {an } 是以 1 为首项, 2 为公差的等差数列, 所以 an ? 2n ? 1 .
2

解二:由 Sn 化简可得

? a ? 1? ? n
4

2

? n ? N ? ,可得 2
*

Sn ? an ? 1,? 2 Sn ? Sn ? Sn?1 ? 1? n ? 2 ?

?

Sn ? 1 ? Sn?1 ,即 Sn ? Sn?1 ? 1 ,

?

2

又 S1 ? 1 ,所以数列 { Sn } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, ∴ Sn ? n ,从而 Sn ? n2 ,所以 an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ?1,又 a1 ? 1 也适合,故 an ? 2n ? 1 . 练习:已知数列{a n}的前 n 项和 S n 满足 an ? 2Sn Sn ?1 ? 0 ( n ? 2 ),a1= 1 ,求 a n .
2

?1 (n ? 1) ? ?2 答案:a n= ? . 1 ?? (n ? 2) ? ? 2n(n ? 1)

扩展一:作差法 例、在数列 {an } 中, a1 ? 1 , a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ?1)2 ? n ,求 a n . 解:由 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1)2 ? n ,得 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 ? (n ? 2)2 ? n ?1 ,

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两式相减,得 nan ? ?6n ? 6 ,∴ an ? ? ? 6 ? 6n
? ? n

?1

(n=1) (n ? 2)



练习(理):已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 an . 解:由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) , 得 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 ? nan ,两式相减,得 an?1 ? an ? nan , 即
an ?1 a a a n! ? n ? 1(n ? 2) ,所以 an ? n ? n?1 ?? ? 3 ? a2 ? [n(n ? 1) ?? ? 4 ? 3]a2 ? a2 又由已知,得 an an?1 an?2 a2 2
n! , 2

a2 ? a1 ? 2a2 ,则 a2 ? a1 ? 1 ,代入上式,得 an ? 1? 3 ? 4 ? 5 ?? ? n ?
?1 (n ? 1) ? 所以, {an } 的通项公式为 an ? ? n ! . (n ? 2) ? ?2

扩展二、作商法 例、在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,对所有的 n ? 2 ,都有 a1 ? a2 ? a3 ?? ? an ? n2 ,求 a n .
a2 ? a3 ? ?? a 2?n ?n ? ( ) 1 2, 解: ∵ a1 ? a2 ? a3 ?? ? an ? n2 , ∴ a1 ? 故当 n ? 2 时, 两式相除, 得 an ?
n2 ( n ? 1) 2



(n=1) ?1 ? 2 ∴ an ? ? n . ? (n ? 1)2 (n ? 2) ?

3、 叠加法:对于型如 an?1 ? an ? f (n) 类的通项公式. 例、在数列{ an }中, a1 ? 3 , a n ?1 ? a n ? 答案: a n ? 4 ?
1 . n

1 ,求通项公式 an . n(n ? 1)

例、已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? 2an ? 2n?1 ? 3n ?1( n ? N * ), a3 ? 52 ,求通项 a n . 解:由 an?1 ? 2an ? 2n?1 ? 3n ?1,两边同除以 2n?1 ,得
an ?1 an 3n 1 ? ? ? ? 1? n ? 1? ,列出相加得 2n ?1 2n 2n ?1 2n ?1

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2 n ?1 an a1 1 ? 3 ? 3 ? ? 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2n 2 2 ? ? 3? ? ? ?2 ? 2 ? 2 n ?1 1 ?1 ? 1 ? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ?1 2? ?2? ? ?2 ? 2 ? ?

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又由已知求得 a1 ? 6 ,∴ an ? n ? 2n ? 3n ?1? n ? N * ? . 练习:已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3n ? 1,a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式. 答案: a n ? 2 ?
3 ? 3n ? n ? 2 ? 3n ? n ? 1 . 1? 3

4、叠乘法:一般地,对于型如 a n ?1 = f (n)〃 an 的类型 例(理)、已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式. 解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则
an ?
an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an an?1 a a ? ??? 3 ? 2 ? a1 ? [2(n ?1 ? 1)5n?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n?2 ]?[2(1 ?1) ? 51 ] ? 3 an?1 an?2 a2 a1
n ( n ?1) 2

? 2n?1[n(n ?1) ??? 3 ? 2] ? 5(n?1)?(n?2)???2?1 ? 3 ? 3 ? 2n?1 ? 5

? n! ,所以数列 {an } 的通项公式为

an ? 3 ? 2n?1 ? 5

n ( n ?1) 2

? n! .
1 2

练习:在数列{an}中, a1 ? , an ? 5、构造法:型如 a
n+1

n ?1 ? a (a ≥2),求 an . n ? 1 n?1

答案: a n ?

1 . n( n ? 1 )

=pa n+f(n) (p 为常数且 p≠0, p≠1)的数列

(1)f(n)= q (q 为常数) 一般地,递推关系式 a +1=pan+q (p、q 为常数,且 p≠0,p≠1)等价 与 a n ?1 ?
q q q ? p(a n ? ) ,则{ a n ? }为等比数列,从而可求 an . 1? p 1? p 1? p
3 ? an ?1 1 , an ? ( n ? 2 ),求通项 an . 2 2

例、已知数列 {an } 满足 a1 ? 解: 由 an ?

3 ? an ?1 1 1 1 1 ? an ? )1 , , 得 1 ? an ? ? ( 又 1 ? a1 ? ? 0 , 所以数列 {1 ? an } 是首项为 , 2 2 2 2

1 1 1 公比为 ? 的等比数列,∴ an ? 1 ? (1 ? a1 )(? ) n ?1 ? 1 ? (? ) n . 2 2 2

练习:已知数列 {an } 的递推关系为 an ?1 ? 2an ? 1 ,且 a1 ? 1 ,求通项 an . 答案: an ? 2n ? 1 .

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(2) f(n)为等比数列, 如 f(n)= q n (q 为常数) , 两边同除以 q n,得 q 则可转化为 bn+1=pbn+q 的形式求解. 例、已知数列{a n}中,a1= 解:由条件,得 2 n+1a n+1=

a n?1 an a , ? p ? 1 ,令 bn ? n n ?1 n qn q q

1 1 5 , an ?1 ? an ? ( ) n ?1 ,求通项 an . 3 2 6

2 n 2 2 (2 a n)+1,令 b n=2 na n,则 bn+1= bn+1,bn+1-3= (bn-3) 3 3 3

4 2 4 2 2 3 易得 b n= ? ( ) n ?1 ? 3 ,即 2 na n= ? ( ) n ?1 ? 3 , ∴ an= ? n ? n . 3 3 3 3 3 2

练习、已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求通项 an .
3 1 答案: an ? ( n ? )2 n . 2 2

(3) f(n)为等差数列,如 an ?1 ? Aan ? Bn ? C 型递推式,可构造等比数列.(选学,注重记忆方 法) 例、已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? an ?1 ? 2n ? 1 ( n ? 2 ),求
1 2



解:令 bn ? an ? An ? B ,则 an ? bn ? An ? B ,∴ an ?1 ? bn ?1 ? A(n ? 1) ? B ,代入已知条件, 得 bn ? An ? B ? [bn?1 ? A(n ?1) ? B] ? 2n ?1 ,即 bn ? bn?1 ? ( A ? 2)n ? ( A ? B ? 1) ,
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

令 ? 2 ? 0 , ? ? 1 ? 0 ,解得 A=-4,B=6,所以 bn ? bn ?1 ,且 bn ? an ? 4n ? 6 ,

A 2

A 2

B 2

1 2

∴ {bn } 是以 3 为首项、以 为公比的等比数列,故 bn ?

1 2

3 3 ,故 an ? n ?1 ? 4n ? 6 . 2n ?1 2

点拨:通过引入一些尚待确定的系数,经过变形与比较,把问题转化成基本数列(等差或 等比数列)求解. 练习:在数列 {a n } 中, a1 ? , 2an ? an ?1 ? 6n ? 3 ,求通项 a n .
3 2

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1 答案: a n ? 6n ? 9 ? 9 · ( ) n . 2

解:由 2an ? an ?1 ? 6n ? 3 ,得 an ? an?1 ? (6n ? 3) ,令 an ? An ? B ? [an ?1 ? A(n ? 1) ? B] , 比较系数可得:A=-6,B=9,令 bn ? an ? An ? B ,则有 bn ? bn ?1 ,又 b1 ? a1 ? A ? B ? ,∴ {bn } 是
1 9 1 1 9 首项为 ,公比为 的等比数列,所以 bn ? ( ) n ?1 ,故 a n ? 6n ? 9 ? 9 · ( ) n . 2 2 2 2 2
1 2 9 2

1 2

1 2

1 2

(4) f(n)为非等差数列,非等比数列 法一、构造等差数列法 例、在数列 ?an ? 中,a1 ? 2,an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ?)2n (n ? N? ) ,其中 ? ? 0 ,求数列 ?an ? 的 通项公式.

?2? 解:由条件可得 n?1 ? ? ? ? ??? an?1
等差数列,故

n ?1

n ? an ? 2 ? n ? ? ? ?2? ? n ? ? ? ? 1 ,∴数列 ? n ? ? ? ? 是首项为 0,公差为 1 的 ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?

an

?2? ? ? ? ? n ? 1 ,∴ an ? (n ?1)? n ? 2n . ?n ? ? ? an

n

练习:在数列{an}中, a1 ? 3,na n ?1 ? (n ? 2)a n ? 2n(n ? 1)(n ? 2) ,求通项 a n 。 答案 a n ?
1 n(n ? 1)(4n ? 1) . 2
an?1 an an a1 3 ? 、公差为 2 的 ? ? 2 ,∴数列 { } 是首项为 (1 ? 1)× 1 2 (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) (n ? 1)n

解:由条件可得: 等差数列。

法二、构造等比数列法 例、⑴在数列 {an } 中, a1 ? 2 , a2 ? 3 , an ? 2 ? 3 ? an ?1 ? 2 ? an ,求 a n ;
2 1 ⑵在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? 2 ? an ?1 ? an ,求 an . 3 3

解:⑴由条件 an?2 ? 3 ? an?1 ? 2 ? an , ∴ an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ), 故 an ? 2 ? an ?1 ? 2n ?1 , 叠加法得:

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an ? a2 ?

22 (1 ? 2n ? 2 ) ? 2n ? 1 ; 1? 2

⑵由条件可得 an? 2 ? an?1 ? ? (an?1 ? an ) (等比数列),

1 3

7 3 1 故 an = ? (? ) n ?1 . 4 4 3

点拨:形如 f (an?2,an?1 , an ) ? 0 的复合数列,可把复合数列转化为等差或等比数列,再用 初等方法求得 a n . 例、已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式. 解:设 an?1 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y) ,将已知条件代入此式,整理后得
?x ? 5 ?5 ? 2 x ? 3x ,解得 ? , (5 ? 2x) ? 2n ? 4 ? y ? 3x ? 2n ? 3 y ,令 ? ?y ? 2 ?4 ? y ? 3 y

∴有 an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2) ,又 a1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ?12 ? 13 ? 0 , 且 an ? 5 ? 2n ? 2 ? 0 ,故数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是以 a1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ?12 ? 13 为首项,以 3 为公 比的等比数列,∴ an ? 5 ? 2n ? 2 ? 13? 3n?1 ,故 an ? 13? 3n?1 ? 5 ? 2n ? 2 . 5、递推法(迭代法):
2 2 * 例、设数列 ?an ? 是首项为 1 的正项数列,且 ? n+1? an ?1 ? nan ? an ?1an ? 0 ? n ? N ? ,求数列的

通项公式. 解:由题意知 a1 ? 1, an ? 0 ,将条件变形,得 ? an ?1 ? an ? ? ?? n ? 1? an ?1 ? nan ? ??0, 又 an ? 0 ,得 an?1 ? an ? 0 ,所以 an ?1 ? 法一(递推法): an ? 法二(叠成法):
n a n an ,即 n ?1 ? ,到此可采用: n ?1 an n ?1

n ?1 n ?1 n ? 2 n ?1 n ? 2 1 1 an ?1 ? ? an ?2 ? ? ? ? ?? ? a1 ,从而 an ? . n n n ?1 n n ?1 2 n

an an?1 a n ?1 n ? 2 1 1 . ? ?? ? 2 ? ? ??? , 所以 an ? an?1 an?2 a1 n n ?1 2 n

法三 (构造法) : 由

+ 1 ? an?1 an ?1 1 ?n n nan ? 1? a1 ? 1,? an ? . ? , 得 故 ?nan ? 是常数列, ?1, n an n ?1 nan
an ? f ? n ? 求通项的题 an ?1

点拨:解法一是迭代法,这是通法;解法二是叠乘法,适合由条件

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型;解法三是构造法(简单+经典),根据条件特点构造特殊数列求通项,技巧性较强,体现 了转化思想. 例、已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 3n ? 1,a1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式. 解:由已知,得(两边除以 3 n ?1 ),得 故
a n ?1 3
n ?1

?

an 3
n

?

a n ?1 a n 2 2 1 1 ? n ?1 ,即 n ? n ? ? n ?1 , ?1 3 3 3 3 3 3

an an an ?1 a an ? 2 a2 a1 a 2 1 2 1 2 1 3 ?( n ? ) ? ( n ?1 ? n ) ?? ? ( 2 ? ) ? 1 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? an ?1 an ?1 3 ? 2 3 3n 3 3 31 3 3 3 3 3 3 3

?

2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ) ? 1 , 3 3 3 3 3 3

1 ? (1 ? 3 n ?1 ) a n 2(n ? 1) 3 n 2n 1 1 2 1 1 ∴ n ? ,即 a n ? ? n ? 3n ? ? 3n ? ? ?1? ? ? n 3 1? 3 3 2 2?3 3 2 2 3

练习:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? n ,求通项公式 an .(尝试叠加法)

解:由已知,得 an ? an?1 ? ? n ?1? ? an?2 ? ? n ?1? ? ? n ? 2?
? ? ? a1 ? ? n ? 1? ? ? n ? 2 ? ? ? ? 1 ? 1 ? n ? n-1? n 2 ? n+2 ? 2 2

6、归纳猜想:给出或求出了数列的前几项可以根据前几项的规律,归纳猜想出数列的通项 公式,然后再用数学归纳法证明之. 例、 已知点的序列 An ( xn ,0), n ? N * , 其中 x1 ? 0 ,x2 ? a(a ? 0) ,A3 是线段 A1 A2 的中点,A4 是线段 A2 A3 的中点,…, An 是线段 An?2 An?1 的中点,…,⑴写出 xn 与 xn?1 , xn?2 之间的关系式 ( n ? 3 );⑵设 an ? xn?1 ? xn ,计算 a1 , a2 , a3 ,由此推测 ?an ? 的通项公式,并加以证明. 解:(1)∵ An 是线段 An?2 An?3 的中点, ∴ x (2)由题意,得 a1 ? x2 ? x1 ? a ? 0 ? a ,
a2 ? x3 ? x2 ? x2 ? x1 2 x ? x2 1 1 1 1 ? x2 = ? ( x2 ? x1 ) ? ? a , a3 ? x4 ? x3 ? 3 ? x3 = ? ( x3 ? x2 ) ? a , 2 2 2 2 4
n

?

xn ?1 ? xn ? 2 2

(n ? 3) ;

1 猜想 a n ? (? ) n ?1 a (n ? N *) ,下面用数学归纳法证明: 2

(1)当 n=1 时, a1 ? a 显然成立;
1 (2)假设 n=k 时命题成立,即 a k ? (? ) k ?1 a(k ? N *) ,则当 n=k+1 时, 2

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a k ?1 ? x k ? 2 ? x k ?1 ?

x k ?1 ? x k 1 1 1 1 1 ? x k = ? ( x k ?1 ? x k ) ? ? a k = (? )(? )k ?1 a ? (? )k a , 2 2 2 2 2 2

∴ 当 n=k+1 时命题也成立,故命题对任意 n ? N * 都成立. 练习:已知数列 {an } 满足 a1 ? , an ?1 ? an ?
9 8
8( n ? 1) (2n ? 1) 2 (2n ? 3) 2

,求通项 a n .

答案: a2 ?

24 25

, a3 ?

48 49
8

, a4 ?

80 81

,猜测 an ?

(2n ? 1) 2 ? 1 (2n ? 1) 2



(1)当 n ? 1 时, a1 ? ,所以等式成立;
9
(2k ? 1) 2 ? 1 (2k ? 1) 2

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

, n ? k ? 1 时等式也成立.
1 1 ,先求出 ,再 an an ?1 an

7、倒数法:形如 f (an , an ?1 , an an ?1 ) ? 0 的关系,可在等式两边同乘以 求出 a n . 例、已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , a n ?1 ?

an ( n ? N ),,求 a n . an ? 1

答案: a n ?

1 . n

例、设正数数列 {an } ( n ? N )满足: an an?2 ? an?1an?2 = 2a n ?1 (n ? 2) , 且 a0 ? a1 ? 1 ,求 {an } 的通项公式. 解:将原式两边同除以 an?1an?2 整理得:

an an a , ? 2 n?1 ? 1,设 b n = an?1 an?1 an?2

则 bn ? 2bn?1 ? 1 ,故有 bn ? 1 ? 2(bn?1 ? 1) ,又 b1 ? 1 ? 2 ,∴数列 {bn ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比 数列,∴ bn ? 1 ? 2n ,即

an a = 2 n ? 1 ,∴ n ? (2n ?1)2 ( n ? N ),逐项相乘得: a an?1 n?1

an = (2 ? 1) 2 ? (2 2 ? 1) 2 ? ?? (2 n ? 1) 2 ,考虑到 a0 ? 1 ,

故 an ? ? ?

?1

(n ? 0)

2 2 2 n 2 ? ?(2 ?1) ? (2 ?1) ??? (2 ?1) (n ? 1)


an ,求通项 a n. 2 ·a n ? 3
n

例、已知数列 {a n } ,其中 a1 ? 1 ,且 a n ?1 ?

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解:

1 a n ?1

??

3 1 1 1 ? 2 n ,设 bn= ,则 bn ?1 ? ?3bn ? 2 n ,(之前方法) bn ? · 2n ? (?3)n ,得 5 5 an an

an ?

5 . 2 ? ( ?3) n
n

练习 1: 设数列 {an } 满足 a1 ? 2, an?1 ?

an ( n?N * ) , 求 an . an ? 3

答案:an ?

2 . 2 ? 3n ?1 ? 1

练习 2:若数列 {an } 中, a1 ? 1 , S n 是数列 {an } 的前 n 项之和,且 S n ?1 ? 求数列 {an } 的通项公式是 an . 解:由 S n ?1 ? 则有 ? ? 2 ,故 ∴数列{ ∴
1 S n?1

Sn (n ? 1 ), 3 ? 4S n

Sn 1 1 1 1 ? 3? ? 4 ,令 ? ? ? 3( ? ? ) , ,得 S n ?1 Sn S n?1 Sn 3 ? 4S n
? 2 ? 3( 1 ? 2) , Sn

1 1 ? 2 }是以 ? 2 ? 3 为首项,3 为公比的等比数列, Sn S1

1 ? 2 = 3 ? 3 n ?1 ? 3 n , Sn
1 1 1 ?2 ? 3n ,当 n ? 2 时,由 an ? Sn ? Sn ?1 ( n ? 2 )得 an ? n , ? n?1 ? 2n 3 ? 2 3 ? 2 3 ? 8 ? 3n ?12 3 ?1
n

∴ Sn ?

?1 ? ∴ an ? ? ?2 ? 3n ? 2n n ? 3 ? 8 ? 3 ? 12

(n ? 1) (n ? 2)



8、其它特殊方法: (1)取对数法 例、若数列{ an }中, a 1 =3 且 an?1 ? an (n 是正整数),则它的通项公式是 an =▁▁. 解 由题意知 an >0,将 an?1 ? an 两边取对数得 lg an?1 ? 2 lg an ,即
2 2

lg a n ?1 ? 2 ,所以数列 lg a n
n ?1

{lg an } 是以 lg a1 = lg 3 为首项,公比为 2 的等比数列, lg an ? lg a1 ? 2 n?1 ? lg 32

,即 an ? 32 .

n ?1

(2)循环法:数列有形如 f (an?2,an?1 , an ) ? 0 的关系,如果复合数列构不成等差、等比数 列,有时可考虑构成循环关系而求出 a n . 例、已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ?1 ? an ? 2n ? 3 ,求 .

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解:由 an ?1 ? an ? 2n ? 3 ,得 an ? 2 ? an ?1 ? 2(n ? 1) ? 3 ,两式相减得 an ? 2 ? an ? 2 ,即数列 {an } 的奇数 项组成一个首项为 1、公差为 2 的等差数列;偶数项组成一个首项为 a2=4,公差为 2 的等差 数列。

? n, n是奇数 ∴a2n+1=1+2(n-1),a2 n=4+2(n-1),故 a n= ? . ?n ? 2, n是偶数
注:此例中的数列为特殊形式,称为周期数列.这类数列曾多次出现在高考试题中,要注 意把握. 练习:在数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? 5 , an? 2 ? an?1 ? an ,求 a2011 . 解:由条件 an?3 ? an? 2 ? an?1 ? (an?1 ? an ) ? an?1 ? ?an ,即 an ?3 ? ?an , an?6 ? ?an?3 ? an , 即每间隔 6 项循环一次,2011=6×335+1,∴ a2011 ? a1 ? 1 .

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经典练习 1 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1=

n?2 Sn(n=1,2,3……),求 an. n

2 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2SnSn-1=0(n≥2);a1=

1 ,求通项 an. 2

3 已知函数 f(x)=( x + 2 )2(x>0),设正项数列{an}的首项 a1=2,前 n 项和 Sn 满足 Sn=f(Sn-1)(n≥ 2 且 n∈N*),求通项 an.

4 已知数列{an}中,a1=1,且 an+1=3an-1(n∈N*),求 an.

5 已知正项数列{an}的前项和 Sn 满足 Sn=

1 1 (an+ ),求通项 an. an 2

6 已知数列{an}中,a1=2,an=

2a n ?1 (n≥2),求通项 an. a n ?1 ? 2

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一中十中校区:南山路 9 号(进德小区)

答案: 1 解析: ∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= 即

n?2 Sn n

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn), 整理得 nSn+1=2(n+1)Sn,

S n ?1 S S S =2 〃 n , 故 数 列 { n } 是 以 1 =a1=1 为 首 项 , 2 为 公 比 的 等 比 数 列 , 即 n ?1 n n 1

Sn =2n-1,Sn=n〃2n-1, n

当 n≥2 时,an=Sn-S n-1=n〃2n-1-(n-1)2n-2=(n+1)2n-2,当 n=1 时也适合,故 an=(n+1)〃2n-2n ∈ N* . 2 解析:当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=-2 SnSn-1,两边同除以 SnSn-1 得
1 1 1 1 =2,又 = =2, ∴ Sn S n ?1 S1 a1

数列{ Sn=

1 1 }是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,则 =2+2(n-1)=2n, Sn Sn

1 1 ,由 a1= , 2n 2
1 1 1 =,不能合并. 2n(n ? 1) 2 n 2(n ? 1)

n≥2 时,an=Sn-Sn-1=

3 解析:∵an>0,∴Sn>0,由 Sn=f(Sn-1)=( S n?1 + 2 )2 两边开方得 S n = S n?1 + 2 ,∴数列{ S n } 是以 S1 = a1 = 2 为首项,公差 d= 2 的等差数列,即 S n = 2 +(n-1) 2 = 2 n,则 Sn=2n2, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-2,当 n=1 时,a1=2 也适合上式,故 an=4n-2(n∈N*). 4 解 析 : 设 an+1+x=3(an+x), 则 an+1=3an+2x, 又 an+1=3an-1, 则 2x=-1, 即 x=-

1 ,故而 2

1 1 =3(an- ), 2 2 1 1 1 则数列{an- }是以首项 a1- = ,公比为 3 的等比数列, 2 2 2 1 1 1 1 ∴an- = 〃3n-1,即 an= 〃3n-1+ . 2 2 2 2
an+15 解 析 : 由 S1=a1=

1 2

(a1+

1 a1

) 得

a1=1 , 又

an=Sn-Sn-1(n ≥ 2) ∴

Sn=

1 1 1 1 1 (an+ )= (Sn-Sn-1+ )可得 Sn+Sn-1= ,即 Sn2-Sn-12=1, an S n ? S n?1 S n ? S n?1 2 2

∴数列{Sn2}是首项为 S12=a12=1,公差为 1 的等差数列.

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∴Sn2=1+(n-1)〃1=n,又 Sn>0, ∴Sn= n ,当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1= n - n ? 1 ,当 n=1 时, a1=1 也适合, 故通项 an= n - n ? 1 . 6 解析:由题意知 an ≠ 0 ,在 an=
1 1 1 = , a n a n ?1 2

2a n ?1 a ?2 1 1 1 两边同时取倒数得, = n ?1 = + ,即 an a n ?1 2 a n ?1 ? 2 2a n ?1

∴数列{

1 1 1 }是首项为 ,公差为 的等差数列, an a1 2



1 1 1 n 2 = +(n-1) = , 则 an= . an 2 2 2 n


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