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2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编 专题06 数列


一.基础题组 1.【江苏省诚贤中学 2014 届高三数学月考试题】 在等比数列 { an } 中,若 a7 ? a9 ? 4, a4 ? 1 ,
则 a12 的值是 .

2. 【江苏省诚贤中学 2014 届高三数学月考试题】已知等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若
a 2 a 8 ? 2a 3 a 6 , S 5 ? ?62 ,则 a 1 的值是



3.【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】若 S n 是等差数列 {a n }
的前 n 项和,且 S8 ? S3 ? 20 ,则 S11 的值为 .

4.

【江苏省灌云高级中学 2013-2014 学年度高三第一学期期中考试】等差数列 {an } 中,

1

a1 ? 0 , 公差 d ? 0 , 且 2a3 ?a7 ? 2 数列 {bn } 是等比数列, 且 b7 ? a7 则 b6b8 =
2



5.

【江苏省灌云高级中学 2013-2014 学年度高三第一学期期中考试】已知数列 {an } 满足:

a1 ? 1, a2 ? a(a ? 0). 数列 {bn } 满足 bn ? an an?1 (n ? N *) 。
(1)若 {an } 是等差数列,且 b3 ? 12, 求 a 的值及 {an } 的通项公式; (2)当 {bn } 是公比为 a ? 1 的等比数列时,{an } 能否为等比数列?若能, 求出 a 的值; 若不能, 请说明理由.

试题解析:解: (1)?{an } 是等差数列, a1 ? 1, a2 ? a(a ? 0),? an ? 1 ? (n ? 1)(a ? 1) .--- 2 分

5 又 b3 ? 12,? a3a4 ? 12,即(2a ? 1)(3a ? 2) ? 12 ,解得 a ? 2或a ? ? , 6
? a ? 0,? a ? 2.从而an ? n . …………………………6 分
(2)数列 {an } 不能为等比数列. …………………8 分

? bn ? an an ?1 ,?

bn ?1 an ?1an ? 2 an ? 2 a ? ? , 则 n ? 2 ? a ? 1,? a3 ? a ? 1 , bn an an ?1 an an
2

………10 分

假设数列 {an } 能为等比数列,由 a1 ? 1, a2 ? a, 得a3 ? a 2 ,

………………12 分

? a2 ? a ? 1,即a2 ? a ? 1 ? 0 ,?此方程无解,?数列 {an } 一定不能为等比数列.………14 分
考点:1.等差数列的通项公式;2.等比数列的定义

6.

【江苏省灌云高级中学 2013-2014 学年度高三第一学期期中考试】设等比数列 ? an ? 的

首项为 a1 ? 2 ,公比为 q ( q 为正整数) ,且满足 3a3 是 8a1 与 a5 的等差中项;数列 ?bn ? 满 足 2n 2 ? (t ? bn )n ?

(1)求数列 ? an ? 的通项公式;

3 bn ? 0 ( t ? R, n ? N * ). 2

(2)试确定 t 的值,使得数列 ?bn ? 为等差数列; (3)当 ?bn ? 为等差数列时,对每个正整数 k ,在 ak 与 ak ?1 之间插入 bk 个 2,得到一个新 数列 ?cn ? . 设 Tn 是数列 ?cn ? 的前 n 项和,试求满足 Tm ? 2cm?1 的所有正整数 m .

3

试题解析:解: (Ⅰ)因为 6a3 ? 8a1 ? a5 ,所以 6q 2 ? 8 ? q 4 , 解得 q 2 ? 4或q 2 ? 2 (舍) ,则 q ? 2 ………………3 分
n 又 a1 ? 2 ,所以 an ? 2 ……………………………5 分

4

7.

【南京市、盐城市 2014 届高三第一次模拟考试】已知等比数列 {an } 的首项为

4 ,公比 3

1 1 为 ? ,其前 n 项和为 S n ,若 A ? Sn ? ? B 对 n ? N * 恒成立,则 B ? A 的最小值为 Sn 3

8.

【南京市、盐城市 2014 届高三第一次模拟考试】等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知

5

a1 ? 2 , S6 ? 22 .
(1)求 S n ; (2)若从 {an } 中抽取一个公比为 q 的等比数列 {akn } ,其中 k1 ? 1 ,且 k1 ? k2 ? ? kn ? ?,

kn ? N * .
①当 q 取最小值时,求 {kn } 的通项公式; ②若关于 n(n ? N * ) 的不等式 6Sn ? kn ?1 有解,试求 q 的值.

试题解析: (1)设等差数列的公差为 d ,则 S6 ? 6a1 ? 分 所以 Sn ?

1 2 ? 6 ? 5d ? 22 ,解得 d ? ,……2 3 2

n(n ? 5) . 3

………4 分

(2)因为数列 {a n } 是正项递增等差数列,所以数列 {a k n } 的公比 q ? 1 , 若 k 2 ? 2 ,则由 a 2 ?

a2 4 8 4 32 32 2 ? ,此时 a k3 ? 2 ? ( ) 2 ? ? (n ? 2) , ,得 q ? ,由 a1 3 3 3 9 9 3

6

9.

【江苏省通州高级中学 2013-2014 学年度秋学期期中考试】 各项均为正数的等比数列

{an } 中, a1 ?
积为 (4 2)
m ?1

1 a1 ? a2 ? ... ? am ? 8m (m ? 2, m ? N ? ) ,若从中抽掉一项后,余下的 m-1 项之 8
,则被抽掉的是第 ▲_ 项.

7

10.

【江苏省通州高级中学 2013-2014 学年度秋学期期中考试】 设各项均为正实数的数
2

* 列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且满足 4S n ? (a n ? 1) ( n ? N ) .

(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn } 的通项公式为 b n ? 成等差数列,求 t 和 m 的值; (Ⅲ)证明:存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形,其三边长为 {a n } 中的三 项 a n1 , a n2 , a n3 .

an (t ? N*) ,若 b1 , b2 , bm ( m ? 3, m ? N * ) an ? t

8

角形的三边 a n1 ? (2k ? 3) , a n2 ? (2k ? 3)( 2k ? 5) , a n3 ? (2k ? 5) ,再利用三角形两
2 2

边之和大于第三边来判断能构成一个三角形;又欲证明它们互不相似, 这是一个否定性命题, 故不难想到运用反证法证明,假设某两个三角形相似,用上述所设某两边代入并整理,可得

k1 ? k 2 ,与 k1 ? k 2 相矛盾,从而命题得证.

9

11.

【江苏省扬州中学 2013—2014 学年第一学期月考】在等差数列 {an } 中,若 .

a7 ? a8 ? a9 ? 3 ,则该数列的前 15 项的和为
【答案】15 【解析】

试题分析:对数列问题,能用性质的尽量应用性质解题可以更简捷,由等差数列的性质

a7 ? a8 ? a9 ? 3a8=3 , a8 ? 1 , S15 ? 15a8 ? 15 .
考点:等差数列的性质,等差数列 {an } 中, m ? n ? 2 p(m, n, p ? N *) ? am ? an ? 2a p

12.

【江苏省扬州中学 2013—2014 学年第一学期月考】 设 f1 ( x) =
f n (0) - 1 ,则 a2014 ? f n (0) + 2

2 , 1+ x

f n+ 1 ( x) = f1[ f n ( x)] ,且 an =



10

13.

【 江 苏 省 扬 州 中 学

2013 — 2014

学 年 第 一 学 期 月 考 】 设

2n ? 1 ? ?1 3 5 A n ? ? , , ,??, n ? ? n ? N ? , n ? 2 ? , A n 的所有非空子集中的最小元素的和为 2 ? ?2 4 8

S ,则 S =



?7 ?4 ,n ? 2 【答案】 ? 2 n ?1 ? , n ? 3, n ? N * ? 2
【解析】 试题分析:这个问题主要是研究集合 An 中的每个元素在和 S 中分别出现多少次,事实上, 以

1 为例,集合 2

11

14.

【江苏省扬州中学 2013—2014 学年第一学期月考】已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ,设曲线
2

y ? f ? x ? 在点 ? xn , yn ? 处的切线与 x 轴的交点为 ? xn ?1 , 0 ? ,其中 x1 为正实数.
(1)用 xn 表示 xn ?1 ; (2) x1 ? 2 ,若 an ? lg

xn ? 1 ,试证明数列 ?an ? 为等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; xn ? 1

(3)若数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ?

n ? n ? 1? 2

,记数列 {a n ? bn } 的前 n 项和 Tn ,求 Tn .

? a2b1 ? a3b2 ? ? ? an?1bn ,两式相减,即 Tn ? qTn ,这个和是容易求得的.
12

15.

【苏北四市 2014 届高三第一次质量检测】 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 且 Sk ? 33 , Sk ?1 ? ?63 , 其中 k ? N ? , 则 Sk ? 2 的值为 a4 , a3 , a5 成等差数列, .

13

16.

【苏北四市 2014 届高三第一次质量检测】 已知数列 {a n } 满足 a1 ? x , a2 ? 3x ,
Sn ?1 ? Sn ? Sn ?1 ? 3n2 ? 2 (n ≥ 2 , n ? N* ) , S n 是数列 {an } 的前 n 项和.

(1)若数列 {a n } 为等差数列. (ⅰ)求数列的通项 an ; (ⅱ)若数列 {b n } 满足 bn ? 2an ,数列 {c n } 满足 cn ? t 2bn ? 2 ? tbn ?1 ? bn ,试比较数列 {bn } 前 n 项和 Bn 与 {c n } 前 n 项和 Cn 的大小; (2)若对任意 n ? N* , an ? an ?1 恒成立,求实数 x 的取值范围.

试题解析:(1)(ⅰ)因为 Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2(n ≥ 2, n ? N*) ,所以 S3 ? S2 ? S1 ? 14 , 即 a3 ? 2a2 ? 3a1 ? 14 ,又 a1 ? x, a2 ? 3x ,所以 a3 ? 14 ? 9 x , ……………………2 分

又因为数列 {a n} 成等差数列,所以 2a2 ? a1 ? a3 ,即 6 x ? x ? ?14 ? 9 x ? ,解得 x ? 1 ,

14

所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? 1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1? n ? N *? ;

……………………4 分

17. 【苏州市 2014 届高三调研测试】 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,已知 S5 = 5,S9 =
27,则 S7 = ▲ .

15

18.

【苏州市 2014 届高三调研测试】 设数列{an}满足 an?1 = 2an ? n2 ? 4n ? 1.

(1)若 a1 ? 3,求证:存在 f (n) ? an2 ? bn ? c (a,b,c 为常数) ,使数列{ an ? f(n) }是等 比数列,并求出数列{an}的通项公式; (2)若 an 是一个等差数列{bn}的前 n 项和,求首项 a1 的值与数列{bn}的通项公式.

试题解析:解(1)? a n ?1 ? 2a n ? n ? 4n ? 1,
2

设 a n ?1 ? a(n ? 1) ? b(n ? 1) ? c ? 2(a n ? an ? bn ? c), …………………… 2 分
2 2

也即 a n ?1 ? 2a n ? an ? (b ? 2a)n ? c ? a ? b, …… 4 分
2

16

19. 【江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三 12 月月考】设等比数列 {an } 的公比为 q ,
前 n 项和为 S n .则“ | q | ?

2 ”是“ S6 ? 7 S2 ”

的条件.

20.

【江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三 12 月月考】 数列 {an } 是公差不为 0 的等

差数列,且 a 2 ? a6 ? a8 ,则

S5 ? a5



17

二.能力题组 1. 【江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三 12 月月考】 已知数列 {an } 中,a1 ? 3, 前n和
1 Sn ? (n ? 1)(an ? 1) ? 1 2
(1)求证:数列 {an } 是等差数列 (2)求数列 {an } 的通项公式

? 1 ? (3)设数列 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在实数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数 ? a n a n ?1 ?

n 都成立?若存在,求 M 的最小值,若不存在,试说明理由。

18

三.拔高题组 1. 【江苏省诚贤中学 2014 届高三数学月考试题】已知 ?an ? 是首项为 a,公差为 1 的等差数
列 , bn ? 是

1 ? an * . 若 对 任 意 的 n ? N , 都 有 bn ? b8 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 an


2.

【江苏省诚贤中学 2014 届高三数学月考试题】已知 a 为实数,数列 ? an ? 满足 a1 ? a ,

19

当 n ? 2 时, an ? ?

?an ?1 ? 3 ?4 ? an ?1

(an ?1 ? 3) (an ?1 ? 3)



(Ⅰ) 当a ? 100 时,求数列?an ?的前100项的和S100 ;(5 分) (Ⅱ)证明:对于数列 ? an ? ,一定存在 k ? N ,使 0 ? ak ? 3 ;(5 分)
*

(Ⅲ)令 bn ?

n an 20 ? a ,当 时,求证: bi ? . (6 分) 2 ? a ? 3 ? n n 12 2 ? (?1) i ?1

20

从而此时命题成立……………………………………………………(8 分) ③若 a1 ? 0 ,由题意得 a2 ? 4 ? a1 ? 3 ,则由②的结论知此时命题也成立. 综上所述,原命题成立…………………………………………………(10 分)

21

22


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