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高中数学_椭圆,知识题型总结

陈氏优学

椭圆教学课题

知识点一:椭圆的定义

平面内一个动点到两个定点、的距

离之和等于常数(),这个动 点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点, 两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 若 ,则动点的轨迹无图形. ,则动点的轨迹为线段;

注意:

若讲练结合一.椭圆的定义

.若的两个顶点,的周长为,则顶点的轨迹方程是

知识点二:椭圆的标准方程
轴上时,椭圆的标准方程: ,其中; 标准方程: ,其中;

1.当焦点在

2.当焦点在轴上时,椭圆的

注意:

1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对 2.在

称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程; 椭圆的两种标准方程中,都有和;

, ;当焦点在 3.椭圆的焦点总在长 轴上时,椭圆的焦点坐标为, 。 22xym 的焦距

轴上.当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为

讲练结合二.利用标准方程确定参数
为,则= 么 。 。 1.椭圆 2

.椭圆的一个焦点是,那

知识点三:椭圆的简单几何性质
几何性质

椭圆的的简单

(1)对称性

对于椭圆标准方程,把 x 换成―x,或把

y 换成―y,或把 x、y 同时换成―x、―y, 方程都不变,所以椭圆是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图 形,这个对称中心称为椭圆的中心。

(2)范围

椭圆上所有的点都

位于直线 x=±a 和 y=±b 所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a,

|y|≤b。

(3)顶点

①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆(a>b>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别 为 A(―a,10) , A(a,0) ,B(0,―b) ,B(0,b) 。 212 ③线段

AA,BB 分别叫做椭圆的长轴和短轴,|AA|=2a,|BB|=2b。a 和 b 分别叫 做椭圆 12121212 的长半轴长 和短半轴长。

(4)离心率

①椭 ②因

圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用 e 表示,记作。

为 a>c>0,所以 e 的取值范围是 0<e<1。e 越接近 1,则 c 就越接近 a, 从而越小,因 此椭圆越扁;反之,e 越接近于 0,c 就越接近 0,从而 b a=b 时,c=0,这时

越接近于 a,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当 222 两个焦点重合,图形变为圆,方程为 x+y=a。 椭圆的图像中线段的几何特征(如下图) : (2) , , ; (3),, ;

(1) , , ;

知识点四:椭圆与(a>b>0)的
图形 焦点 , , 焦距 ,, , , 顶点 长轴长=,短

区别和联系

标准方程

范围 性质 对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称 轴长= 轴 离心率 准线方程 焦半径 , ,

注意:椭圆, (a>b>0)的相同

点为形状、大小都相同,参数间的关系 222 都有 a>b>0 和,a=b+c;不 同点为两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不相同。 圆焦点三角形面积公式的应用 22xy 题型一 椭

ab

定理 在椭圆

(>>0)中,焦点分别为、 ,点 P 是椭圆上任意一点, ,
121222ab y btan 则.

P 12 P O F

证明: x

记 , 由 椭 圆 的 第 一 定 义 得 1122F

1212222

在△ 中, 配方得:

由 余 弦 定 理 得 : 12121222
12121222

即 由 任 意 三 角 形 的 面 积 公 式 得 : .

.

典题妙解

上的一点, 、是其焦点,且,求 例 1 若 P 是椭圆 121210064
FPF△







.

中,而记 解法 一:在椭圆 112210064 的第一定义得: 12222 理 得 : 配 从而 12123112563643
2

点 P 在椭圆上, r

由椭圆 在△ 中,由余弦定 方 , 得 :

中, ,而 解法二:在椭圆 解法一复杂繁冗,

10064

运算量大,解法二简捷明了,两个解法的优劣立现! 上的点, 、分别是椭圆的左、右焦点,若, 则△ 例 2 已知 P 是椭圆
12333323

的面积为( B. C.

) D.

A.
12

解 : 设 , 则 , 故选答案 A.

练习

6.已知椭圆的中心在原点, 、为左右焦 积

点,P 为椭圆上一点,且,△ 的面 是,准线方程为,求椭圆的标准方程. 3 参考答案

6.解:设,. ,
2

. .

又 或.





; 当时, ,这时椭 ; 当时, ,这时椭圆 但是,此时点 P 为椭圆短轴的端 . 故所求的椭圆的标准方
中 点 弦 问 题 点 差 法

圆的标准方程为 的标准方程为 4333 点时,为最大, ,不合题意. 程为 4
题 型 二

为中中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达 定理”或“点差法”求解。在椭圆中,以 00 点的弦所在直线方程?
内一点 M(2,1)引一条弦,使弦被 M 点平分,求这条过椭圆

例 3. 164 弦所在的直线方程。

分析:本例的实质是求出直

线的斜率,在所给已知条件下求直线的斜率方法较多,故本例 解法较多,可作进一步的研究。 设所求直线方程为
代 入 椭 圆 方 程 并 整 理 , 得 ,

解 : 法 一
,又设直线与椭圆的交点为

, y) 、 B(x , y) ,则 x 、 x 是方程的两个根,于是 又 M 为 AB 的中点,∴ ,故所求直线方 程为

, ,解之得

设直线与椭圆的交点为 A(x,y)、B(x,y),M(2,1)为 AB 的中点,

法二

11222222∴ , ∴ 即



,又 A 、 B 两点在椭圆上,则 ,两式相减得( ,故所求直线为

AB2

点差法 21.过点(1,0)的直线 l 与中心在原

点,焦点在 x 轴上且离心率为的椭圆 C 相交于 A、21B 两点,直线 y=x 过 线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l2 对称,试 求直线 l 与椭圆 C 的方程. 命题意图:本题利用对称问题来考查用待定

系数法求曲线方程的方法,设计新颖,基础性强,属★★★★★级题目. 知识依托:待定系数法求曲线方程,如何处理直线与圆锥曲线问题,对 称问题. 错解分析:不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 . 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键. 技巧与方法:本题是典型的 求圆锥曲线方程的问题,解法一,将 A、B 两点坐标代入圆锥曲线方程, 两式相减得关于直线 AB 斜率的等式.解法二,用韦达定理 解 法 一 : 由 e=, 得 , 从 而 设椭圆方程为

x+2y=2b,A(x,y),B(x,y)在椭圆上. 1122222222222 则 x+2y=2b,x+2y=2b,两式相 减得,(x-x)+2(y-1122121
设 AB 中点为(x,y),则 k=-,又(x,y)在直 线 y=x 上,y=x,于是-= 0000AB0000222y2y00-1,k=-1,设 l 的方程为 y=-x+1. AB 右焦点(b,0)关 于 l 的 对 称 点 设 为 ∴所求椭圆 C 的方程为 =1,l 的方程为 y=- e=,从而 则 解 得 解法二:由 由点(1,1-b)在椭圆上,得 1+2(1-b)=2b,b=.



设椭圆 C 的方程为 x+2y=2b,l 的方程为 y=k(x-1), 22222 将

l 的方程代入 C 的方程,得(1+2k)x-4kx+2k-2b=0,则 22k4kx+x=,y+y=k(x-1)+k(x-1)=k(x+x)- 2k=- 则 过 AB 的中点(,解得 k=0,或 k=-直线 l:y=x), 若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是

F 点本身,不能在椭圆 C 上,所以 k=0 舍去,从而 k=-1,直线 l 的方程为 y=-(x-1),即 y=- x+1,以下同解法一. 题型三 弦长公式与焦半径公式

1、一般弦长公式

AB

弦长公式:若直线与圆锥曲线相交于两点 A、B,

且分别为 A、B 的横坐标,则=12

ABy,y122k12, (若分别为 A、B 的纵坐标,
则=) ,若弦 AB 所在直线方程设为

AB

,则

=。 2、焦点弦(过焦点的弦) :焦点弦的弦长的计算,一般不 用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利 用第二定义求解。 1. 第二定义:平面内与一个定点的距离
的动点 M 的轨 a 椭圆的准线,常 对应于右焦点 F(c,0) ,对应于左焦点

和它到一条定直线的距离之比是常数
迹叫做椭圆,定点为椭圆的一个焦点,定直线为

数 e 是椭圆的离心率。 22xy①对
的准线称为右准线, ,0)的准线为左准线

注意: 222ab22aa 方程是
1cc

②e 的几何意义:椭圆上 2. 焦半径及焦

一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。 半径公式:

椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的
,设 P(x,y)为椭圆上一点,由第 左 右右焦半径 左焦半径∴ 0 右 00 左 、

焦半径。 22xy 对于椭圆
二定义:

已知点 P 在椭圆上,为椭圆的两个焦点, 求的取值范围 121222ab
2a(x,

±

6. 解:设 P,椭圆的准线方程为,不妨设 F、


F 分别为下焦点、上焦点



, ∴

y∴

∵, 02|PF|?|PF|最大,最大值为
|PF|?|PF|最小,最小值为

∴当时, 当 01222|PF|?|PF|[b,a]

时,

因此,

的取值范围是 12
∠FPF 为钝角椭圆

的焦点为 F、F,点 P 为其上的动点,当

例 2. 121294 时,点 P 横坐标的取值范围是 分析:可先求
, , ,

_______________。 (2000 年全国高考题) ∠FPF=90°时,P 点的横坐标。 125 在椭圆中,
依焦半径公式知 定 理 知 ∠FPF , 为

解:法一
钝 角 ,应填

,由余弦

3355522 ,

设 P(x,y),则当∠ 123 由此可得点 P 的横坐标 轴上 1255

时,点 P 的轨迹方程为 ,点 P 在 x 轴上时,∠

法二
;点 P 在 y

时,∠FPF 为钝角,由此可得点 P 横坐标的取值范围是

题型四 参数方程
数方程

3. 椭圆参

问题:如图以原点为圆心,分别以 a、b(a>b>0)为

半径作两个圆,点 B 是大圆半径 OA 与小圆的交点,过点 A 作 AN⊥Ox,垂足为 N,过点 B 作 BN⊥AN,垂足为 M,求当半径 OA 绕 O 旋转时点 M 的轨迹的参数方程。
y), 是以 Ox 为始边, 那 为终边的正角,取 么 为 设点 M 的坐标是(x,

解: 参数。
∴(1)

这就是椭圆参数方程: 称为 “ 离心角 ”

为参数时,

说明: <1> 对上述方程( 1 )消参即
普通方程

<2>

由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数 方程。 直线与椭圆位置关系:
22ab

②求椭圆上动点 P(x,y)到直线距离的最大值和最小值, (法 一,参数方程法;法二,数形结合,求平行 lll 线间距离,作'∥ 且'与椭圆相切) 22 已知椭圆
线 l: ,在椭圆上求一点 P,使 P 到直

例 4. 的距离最小并求出距离的最小值(或最大值)? 设

P(2



由 参 数 方 程 得 ) 则

解 : 法 一
时, 此时 ,) 其中 , 33 因 l 与椭圆相离,

,当

min222221

3381 即 P 点坐标为

故把直线 l 平移至 l',使 l'与椭圆相切,则 l 与 l'的距离, 所求的最小值,切点为所求点 ,则由消 x 得 令 812 此时 圆 22ab3 ( 解之得 , 最大)

法二 即为
设 l': ,

为最大 ),由图得
min332

,),由平行线间距离得

22xy2 椭

)的离心率

, A 、 B 是椭圆上关于坐标不对称的

两点,线段 AB 的中垂线与 x 轴交于点(,P10) 。 ()设 1AB 中点 ,

为 C(x,y) ,求 x 的值。000(2)若 F 是椭圆的右焦点,且

求椭圆的方程。 ( 1 ) 令 A ( x , y )、 B ( x , y ) 1122 则 , 由 上 又 A 、 B 在 椭 圆 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )

( 2 )







所 求 椭 圆 方 程 为 的焦点为、 ,是椭圆过焦点的弦,则的周长是 1 .椭圆

95 。

AB121292522PFF PFF2.设,为椭圆的焦点,为椭圆上的任
的面积的最大值是多

一点,则的周长是多少? 少? 12

22xy 上的一点,是焦点,若是直角,则的面积 3.设点是椭圆

P
为、 ,是椭圆上一点. 若, 积.





22 变式:已知椭圆,焦点 求的面 的离心率为,则

PFF

五.离心率的有关问题

1.椭圆 24m0e2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为,则此椭圆 的离心率为

1203.椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角

形,则椭圆的离心率为

FFFPFPF4.设椭圆的两个焦点分别为、 ,过

作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若△ 为等腰直角三 1、2212 角形,求椭 圆的离心率。 05.在中, .若以为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆 , B△ 合六 .最值问题 的离心率 . 讲练结

两焦点为 F、 1.椭圆 F ,点 P 在椭圆上,则

|PF|?|PF|的最大值为_____,最小值为_____ 12124 两焦点为 F、F,A(3,1)点 P 在椭圆上,则|PF|+|PA| 的最大值为_____,最 2、椭圆 1212516 小值为 ___ A(1,0),P 为椭圆上任意一点,求|PA|的最大值
22yx4.设

2x2,3、已知椭圆 最小值 。

F 是椭圆+=1 的右焦点,定点 A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求 .

一点 P 使|PA|+2|PF|最小,2432P 求点坐标 最小值

知识点


四:椭圆与(a>b>0)的区别和联系
形 原点对称 焦点 , , 焦距 , , 顶点 长轴长=,短轴长= 轴 离心率 焦半径 , ,

标准方程

, , 范围 性质 对称性 关于 x 轴、y 轴和

准线方程

注意:椭圆, (a>b>0)的相同点为

形状、大小都相同,参数间的关系 222 都有 a>b>0 和,a=b+c;不同点 为两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不相同。
圆的标准方程? 1.如何确定椭

任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆

的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形 式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。 确定一个椭圆的标准方程需要三个条 件:两个定形条件 a、b,一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确 定标准方程的类型。
2.椭圆标准方程中的三个量 a、b、c 的几何意义

椭圆标准方

程中,a、b、c 三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所 确定的,分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数, 且三个量的大小关系为:a>b>0,a222>c>0,且 a=b+c。 图帮助记忆: 可借助下

a、b、c 恰构成一个直角三角形的三条边,其中 a 是
3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置

斜边,b、c 为两条直角边。

22 椭圆的焦点

总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看 x、y 的分 母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。
C 均不为零)表示椭圆的条件 224.方程 Ax+By=C(A、B、

22 方程 Ax+By=C 可化为,即,

所以只有 A、B、

C 同号,且 A≠B 时,方程表示椭圆。 当时,椭圆的焦点在 x 轴上;
5.求椭圆标准方程的常用方法:

当时,椭圆的焦点在 y 轴上。

①待定系数法:由题目条件确定焦点的位置, 程中的参数、 、

从而确定方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方 的值。其主要步骤是“先定型,再定量”;

②定义法:由题目条件判断
6.共焦点的椭

出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。
圆标准方程形式上的差异

共焦点,则 c 相同。

2 与椭圆(a>b>0)共焦点
7.判断曲

的椭圆方程可设为(k>-b) 。此类问题常用待定系数法求解。
线关于 x 轴、y 轴、原点对称的依据:

①若把曲线方程中的 x 换成―x,方程不变,

则曲线关于 y 轴对称; 曲线关于 x 轴对称;

②若把曲线方程中的 y 换成―y,方程不变,则 ③若把曲线方程中的 x、y 同时换成―x、―y,方
8.如何解决与焦点三角形△ PFF(P 为椭圆上的点)有

程不变,则曲线关于原点对称。
关的计算问题? 12

与焦点三角形有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定 三角形面积公式相结合的方法进行计算

义及余弦定理(或勾股定理) 、

与解题,将有关线段、

、 ,有关角 () 结合起来,建立、之间的关系 . 222 长轴与短轴的长短关系决定椭圆 b 表示为,当越

9.如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系?

形状的变化。离心率,因为 c=a-b,a>c>0,用 a、

小时,椭圆越扁,e 越大;当越大,椭圆趋近圆,e 越小,并且 0<e<1。

课后作业

1 已知 F(-8 , 0) , F(8 , 0) ,动点 P 满足

|PF|+|PF|=16,则点 P 的轨迹为( 线段 D 直线

) 1212 A 圆

B 椭圆

C

左右焦点为 F、F,CD 为过 F 的弦, 表示椭圆,则 A -1<k<1 B k>0

则 CDF 的周长为______ 2、椭圆 k 的取值范围是( C k≥0 ) 3 已知方程

D k>1 或 k<-1 4、求满足以下条件的椭圆的标准方程 (2)长轴是短轴的 2 倍, 5、

(1)长轴长为 10,短轴长为 6 且过点(2,1)

(3) 经过点(5,1),(3,2)

若⊿ABC 顶点 B、C 坐标分别为(-4,0),(4,0),AC、AB 边上 的 中 线 长 之 和 为 30 , 则 ⊿ABC 的 重 心 G 的 轨 迹 方 程 为 ______________________ 6.椭圆的左右焦点分

别是 F、F,过点 F 作 x 轴的垂线交椭圆于 P 点。 12122ab 若 ∠FPF=60°, 则 椭 圆 的 离 心 率 为 _________ 127 、 已 知 正 方 形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的的离心率 为 _______ 椭 圆 方 程 为 ___________________.

,P 点是椭圆上的点且,求的面积 8 已知椭圆的方程为 1212439.若椭圆的短轴为 AB,它的一个焦 点 为 F , 则 满 足 △ ABF 为 等 边 三 角 形 的 椭 圆 的 离 心 率 为

上的点 P 到它的左焦点的距离是 12,那么点 P 到它 的右焦点的距离是椭圆

ABF

的两个焦点为、 ,且,弦 AB 过点,则△ 的周长 11.已知椭圆
121212225a 22xy12. 在椭圆+=1 上求一点 P,使它到左焦点的

距离是它到右焦点的距离的两倍 259

13、中心在原点、长轴是

短轴的两倍,一条准线方程为,那么这个椭圆的方程 为 。

e14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线

间的距离 ,则椭圆的离心率 =___________. 15、椭圆的中心在原 点,焦点在 x 轴上,准线方程为,椭圆上一点到两焦点的距离分别 为 10 和 14,则椭圆 方程为 ___________________. 2216.

已知 P 是椭圆上的点,若 P 到椭圆右准线的距离为 8.5,则 P 到左 焦点的距离为 _________. 17 .椭圆内

有两点, ,P 为椭圆上一点,若使最小,则最小值为

2222yyxx18、椭圆+=1 与椭圆+



3223

(A)相等的焦距 都 不 对

(B)相同的离心率

(C)相同的准线

(D)以上

2222yyxx19 、 椭 圆 与 ( 0<k<9 ) 的 关 系 为

(A)相等的焦距 相同的准线

(B)相同的的焦点 (C)

(D)有相等的长轴、短轴 22yx20、椭圆上一点 P

到左准线的距离为 2,则点 P 到右准线的距离为

P 上的动点,为椭圆的左、右焦点,则 21、
点为椭圆的最小值为 __________ , 此时点 12122516P 的坐标为

________________.