kl800.com省心范文网

【状元360】高考数学一轮复习 2.12 对数函数(二)课件 理_图文

对数函数与一次函数、二次函数等函数的复合问题,讨论函 数的有关性质,如定义域、值域、单调性等.求解时注意换元法、 分类讨论、数形结合等数学思想方法的运用. 考点一 对数函数与其他函数的复合函数的性质 示范1 已知函数 f(x)=ln [(5+k)x2+6x+k+5], (1)若函数 f(x)的定义域为 R,求实数 k 的取值范围; (2)若函数 f(x)的值域为 R,求实数 k 的取值范围. 分析 (1)函数 f(x)的定义域为 R,说明真数大于 0 恒成立; (2)函数 f(x)的值域为 R,说明真数的取值必须包含区间(0,+ ∞)的任何值. 解析 (1)若 f(x)的定义域为 R, 则(5+k)x2+6x+k+5>0 恒成立. 若 5+k=0,即 k=-5 时,6x>0,不是恒成立, 若 5+k≠0,即 k≠-5 时, 解得 k>-2,故 k 的取值范围是{k|k>-2}. (2)若 f(x)的值域为 R,则(5+k)x2+6x+k+5 的值要取遍(0, +∞)内的所有值. 解得-5<k≤-2 或 k=-5, ∴k 的取值范围是{k|-5≤x≤-2}. 【点评】?1?定义域为 R,意味着真数恒大于零.对于不等式 ?5+k?x2+6x+k+5>0 不能简单认为是二次不等式.注意分类讨 论.?? ?2?设 y=logau?x??0<a≠1?对数函数值能取遍全体实数,真 数 u?x?就必须取遍?0,+∞?内的所有值,u?x?在作为真数之前, 是否出现负值或零无关紧要, 关键是 u?x?的取值要包含?0, +∞? 中的所有值.至于 u?x?中的负值及零只要通过定义域要求去掉即 可. 展示1 已知函数 f(x)=log0.5(x2-2ax+3), (1)若函数 f(x)的值域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f(x)的值域为(-∞,-1],求实数 a 的值. 【解析】(1)函数 f(x)的值域为 R 等价于函数 u=x2-2ax+3 能取遍(0,+∞)上的一切值,所以 umin=3-a2≤0,即 a≤- 3 或 a≥ 3. ∴实数 a 的取值范围是(-∞,- 3]∪[ 3,+∞). (2)∵函数 f(x)的值域为(-∞,-1], ∴函数 u=x2-2ax+3 的值域为[2,+∞). ∴3-a2=2.∴a=± 1. 方法点拨:对于复合函数 y=logaf?x?的定义域,由 f?x?>0, 可得若求值域,则先求函数 f?x?的值域,再利用函数 logau 的单 调性可求得函数 logaf?x?的值域;若知值域,求参数的取值范围, 则可先求函数 f?x?的值域,再根据具体问题进行求解. 考点二 对数函数综合问题 示范2 设 a,b∈R 且 a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数 1+ax f(x)=lg 是奇函数, 1+2x (1)求实数 b 的取值范围; (2)讨论函数 f(x)的单调性. 分析 由奇函数可求出实数 a 的值;由定义域可求实数 b 的 取值范围;复合函数的单调性,要分解成基本函数和简单函数 进行讨论. 解析 (1)∵f(x)是奇函数, ∴对于任意 x∈(-b,b)都有 f(-x)=-f(x), 1-ax 1+ax 即 lg =-lg , 1-2x 1+2x 1-ax 1+2x 由此可得 = ,即 a2x2=4x2, 1-2x 1+ax ∴a2=4, ∵a≠2,∴a=-2. 1-2x 1 1 又 >0, 即-2<x<2, 此式对任意 x∈(-b, b)都成立, 1+2x ? 1? 1 1 相当于-2≤-b<b≤2,所以得 b 的取值范围为?0,2?. ? ? (2)对任意的 x1、x2∈(-b,b)且 x1<x2,由 1 1 2≤-b<x1<x2<b≤2, ? 1? b∈?0,2?,得- ? ? 所以 0<1-2x2<1-2x1,0<1+2x1<1+2x2, 1-2x2 1-2x1 从而 f(x2)-f(x1)=lg -lg 1+2x2 1+2x1 ?1-2x2??1+2x1? =lg <lg 1=0. ∴f(x2)<f(x1), ?1+2x2??1-2x1? 因此 f(x)在(-b,b)上是减函数. 【点评】 展示2 已知函数 f(x)=loga(a-ax)(a>1 且 a 是常数), (1)求函数 f(x)的定义域和值域; (2)判断函数 f(x)的单调性. (3)求证:函数 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称。 【解析】(1)由 a-ax>0, 得 ax<a. 因为 a>1,所以 x<1, 即函数 f(x)的定义域是(-∞,1). 因为 x<1,a>1,所以 0<ax<a,即 0<a-ax<a. 所以 loga(a-ax)<logaa=1, 即函数 f(x)的值域为(-∞,1). (2)设x1<x2<1,则a x1 <a x2 <a, 即a-a x1 >a-a x2 >0.又a>1, ∴loga(a-a x1 )>loga(a-a x2 ),即f(x1)>f(x2). ∴函数f(x)是区间(-∞,1)上的减函数. 方法点拨:对数函数经常与一次函数、二次函数、反比例 函数、指数函数等函数复合,然后研究函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性等性质.有时还解决方程、不等式的问题.解决这 些问题,一般是把复合函数分解成基本函数和简单函数求解. 复合函数 y=logaf(x)的性质的题型有求复合函数的单调区 间和最值等,常与一元二次函数复合.解题过程要注意底数 a 对单调性的影响,要特别注意其真数大于零,注意分类讨论、 数形结合. 1 . (2011 江苏 ) 函数 f(x) = log5(2x + 1) 的单调递增区间是 ________. ? 1 ? 【答案】?-2,+∞? ? ? 【解析】考查函数性质,容易题.因为 2x+1>0,所以定义 ? 1 ? 域为?-2,+∞?,由复合函数的单调性,知函数