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2013高考数学(理)一轮复习教案:第七篇


第 1 讲 不等关系与不等式 2013 年高考预测 结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用. 【复习指导】 不等式的性质是解(证)不等式的基础,关键是正确理解和运用,要弄清条件和结论,近几年高考中多以小 题出现,题目难度不大,复习时,应抓好基本概念,少做偏难题. 1.不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个数或 代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式. 2.比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的, a-b>0?a>b; 有 a-b=0?a=b; a-b<0?a<b.另外, a a a 若 b>0,则有 >1?a>b; =1?a=b; <1?a<b. b b b 3.不等式的性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c?a>c; (3)可加性:a>b?a+c>b+c,a>b,c>d?a+c>b+d; (4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b>0,c>d>0?ac>bd; (5)可乘方:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2); n n (6)可开方:a>b>0? a> b(n∈N,n≥2).

一个技巧 作差法变形的技巧:作差法中变形是关键,常进行因式分解或配方. 一种方法 待定系数法:求代数式的范围时,先用已知的代数式表示目标式,再利用多项式相等的法则求出参数,最 后利用不等式的性质求出目标式的范围. 两条常用性质 (1)倒数性质: 1 1 ①a>b,ab>0? < ; a b 1 1 ②a<0<b? < ; a b a b ③a>b>0,0<c<d? > ; c d 1 1 1 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0? < < . b x a
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(2)若 a>b>0,m>0,则 ①真分数的性质: b b+m b b-m < ; > (b-m>0); a a+m a a-m ②假分数的性质: a a+m a a-m > ; < (b-m>0). b b+m b b-m 考向一 比较大小 【例 1】?已知 a,b,c 是实数,试比较 a2+b2+c2 与 ab+bc+ca 的大小. 【训练 1】 已知 a,b∈R 且 a>b,则下列不等式中一定成立的是( ). a A. >1 B.a2>b2 b 考向二 不等式的性质 a b 【例 2】?(2012· 包头模拟)若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列命题:(1)ad>bc;(2) + <0;(3)a-c>b d c -d;(4)a· (d-c)>b(d-c)中能成立的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4

c d 【训练 2】 已知三个不等式:①ab>0;②bc>ad;③ > .以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则 a b 可以组成正确命题的个数是( ). 考向三 不等式性质的应用 【例 3】?已知函数 f(x)=ax2+bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求 f(-2)的取值范围.
?-1≤α+β≤1, ? 【训练 3】 若 α,β 满足? 试求 α+3β 的取值范围. ? ?1≤α+2β≤3,

解 设 α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.
? ? ?x+y=1, ?x=-1, 由? 解得? ? ? ?x+2y=3, ?y=2.

∵-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6, ∴两式相加,得 1≤α+3β≤7. 考向四 利用不等式的性质证明简单不等式 【例 4】?设 a>b>c,求证: 1 1 1 + + >0. a-b b-c c-a

【训练 4】 若 a>b>0,c<d<0,e<0, 难点突破——数式大小比较问题 数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式,涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限于不等式知 识,而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等知识,内容丰富多彩.命题的方 式主要是选择题、填空题,考查不等式性质、函数性质的应用.
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一、作差法 【示例】? (2011· 陕西)设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( ). A.a<b< ab< a+b 2 B.a< ab< a+b <b 2

a+b C.a< ab<b< 2

a+b D. ab<a< <b 2

二、作商法 【示例】? 若 0<x<1,a>0 且 a≠1,则|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小关系是 ( ). A.|loga(1-x)|>|loga(1+x)| B.|loga(1-x)|<|loga(1+x)| C.不确定,由 a 的值决定 D.不确定,由 x 的值决定

三、中间量法

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2π 【示例】? 若 a=20.6,b=logπ3,c=log2sin ,则( ). 5 A.a>b>c C.c>a>b B.b>a>c D.b>c>a

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