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高中数学人教A版第选修1-1同步练习: 3.3 第2课时函数的极值与导数


选修 1-1

第三章

3.3

第 2 课时

一、选择题 1.(2014· 新课标Ⅱ文,3)函数 f(x)在 x=x0 处导数存在,若 p:f′(x0)=0;q:x=x0 是 f(x)的极值点,则 ( ) A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 [答案] C [解析] ∵x=x0 是 f(x)的极值点,∴f′(x)=0,即 q?p,而由 f′(x0)=0,不一定得到 x0 是极值点,故 p?/ q,故选 C. 2.函数 f(x)=x3-3x 的极大值与极小值的和为( A.0 C.2 [答案] A [解析] f′(x)=3x2-3,令 f′(x)>0,得 x>1 或 x<-1,令 f′(x)<0,得-1<x<1, ∴函数 f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上递增,在(-1,1)上递减, ∴当 x=-1 时,f(x)取极大值 f(-1)=2,当 x=1 时,f(x)取极小值 f(1)=-2, ∴极大值与极小值的和为 0. 3.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f ′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a, b)内有极小值点( ) B.-2 D.-1 )

A.1 个 C.3 个 [答案] A

B.2 个 D.4 个

[解析] 由 f ′(x)的图象可知,函数 f(x)在区间(a,b)内,先增、再减、再增、最后再减,故函数 f(x)在 区间(a,b)内只有一个极小值点. 4.设函数 f(x)=xex,则 ( A.x=1 为 f(x)的极大值点 ) B.x=1 为 f(x)的极小值点

C.x=-1 为 f(x)的极大值点 [答案] D [解析] f′(x)=ex+xex=ex(1+x), 令 f′(x)>0,得 x>-1, 令 f′(x)<0,得 x<-1,

D.x=-1 为 f(x)的极小值点

∴函数 f(x)在(-∞,-1)上递减,在(-1,+∞)上递增,∴当 x=-1 时,f(x)取得极小值. 1 5.函数 y=ax3+bx2 取得极大值或极小值时的 x 的值分别为 0 和 ,则( 3 A.a-2b=0 C.2a+b=0 [答案] D 1 [解析] y′=3ax2+2bx 由题设 0 和 是方程 3ax2+2bx=0 的两根,∴a+2b=0. 3 2 6.(2012· 陕西文,9)设函数 f(x)= +lnx,则( x 1 A.x= 为 f(x)的极大值点 2 C.x=2 为 f(x)的极大值点 [答案] D [解析] 本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题. 2 1 1 2 f′(x)=- 2+ = (1- ), x x x x 由 f ′(x)=0 可得 x=2. 当 0<x<2 时,f′(x)<0,f(x)递减,当 x>2 时, f′(x)>0,∴f(x)单调递增.所以 x=2 为极小值点. 对于含有对数形式的函数在求导时,不要忽视定义域. 二、填空题 1 1 7.函数 f(x)=- x3+ x2+2x 取得极小值时,x 的值是________. 3 2 [答案] -1 [解析] f′(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+1), 令 f′(x)>0 得-1<x<2,令 f′(x)<0,得 x<-1 或 x>2,∴函数 f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上递减, 在(-1,2)上递增, ∴当 x=-1 时,函数 f(x)取得极小值. 8.已知函数 f(x)=x(x-c)2 在 x=2 处取极大值,则常数 c 的值为________. [答案] 6 [解析] f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x, ) B.2a-b=0 D.a+2b=0 )

1 B.x= 为 f(x)的极小值点 2 D.x=2 为 f(x)的极小值点

f ′(x)=3x2-4cx+c2,令 f ′(2)=0 解得 c=2 或 6. 当 c=2 时,f ′(x)=3x2-8x+4=(3x-2)(x-2), 故 f(x)在 x=2 处取得极小值,不合题意舍去; 当 c=6 时,f ′(x)=3x2-24x+36=3(x2-8x+12) =3(x-2)(x-6),故 f(x)在 x=2 处取得极大值. 2x 9.函数 y= 2 的极大值为________,极小值为________. x +1 [答案] 1,-1 2?1+x??1-x? [解析] y′= ,令 y′>0 得-1<x<1, ?x2+1?2 令 y′<0 得 x>1 或 x<-1,∴当 x=-1 时,取极小值-1,当 x=1 时,取极大值 1. 三、解答题 1 10.设 y=f(x)为三次函数,且图象关于原点对称,当 x= 时,f(x)的极小值为-1,求出函数 f(x)的解析 2 式. [解析] 设 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),因为其图象关于原点对称,∴f(-x)=-f(x)恒成立,得 ax3+ bx2+cx+d=ax3-bx2+cx-d, ∴b=0,d=0,即 f(x)=ax3+cx. 由 f ′(x)=3ax2+c, 1? 3 ?1?=1a+c=-1, 依题意,f ′? = a + c = 0 , f 2 ? ? 4 ?2? 8 2 解之,得 a=4,c=-3. 故所求函数的解析式为 f(x)=4x3-3x.

一、选择题 11.函数 y=x3-3x2-9x(-2<x<2)有( A.极大值 5,极小值-27 C.极大值 5,无极小值 [答案] C [解析] y′=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1), ∵-2<x<2, ∴令 y′>0 得-2<x<-1,令 y′<0 得-1<x<2, ∴函数在(-2,-1)上递增,在(-1,2)上递减, ∴当 x=-1 时,f(x)取极大值 f(-1)=-1-3+9=5,f(x)无极小值. 12.设函数 f(x)=x3+bx2+cx+a 在 x=± 1 处均有极值,且 f(-1)=-1,则 a、b、c 的值为( ) ) B.极大值 5,极小值-11 D.极小值-27,无极大值

A.a=-1,b=0,c=-1 C.a=-3,b=0,c=-3 [答案] C

1 3 B.a= ,b=0,c=- 2 2 D.a=3,b=0,c=3

[解析] ∵f ′(x)=3x2+2bx+c,∴由题意得, f ′?1?=0 ? ? ?f ′?-1?=0 ? ?f?-1?=-1 3+2b+c=0 ? ? ,即?3-2b+c=0 ? ?-1+b-c+a=-1



解得 a=-3,b=0,c=-3. 13.已知函数 f(x)=x3-px2-qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点,则 f(x)的极大值、极小值分别为( 4 A. ,0 27 4 C.- ,0 27 [答案] A [解析] f ′(x)=3x2-2px-q, 由 f ′(1)=0,f(1)=0 得,
? ? ?3-2p-q=0 ?p=2 ? ,解得? ,∴f(x)=x3-2x2+x. ?1-p-q=0 ? ? ?q=-1

)

4 B.0, 27 4 D.0,- 27

1 由 f ′(x)=3x2-4x+1=0 得 x= 或 x=1, 3 1 4 易得当 x= 时 f(x)取极大值 . 3 27 当 x=1 时 f(x)取极小值 0. 14.已知 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是( A.-1<a<2 C.a<-1 或 a>2 [答案] D [解析] f ′(x)=3x2+2ax+a+6, ∵f(x)有极大值与极小值, ∴f ′(x)=0 有两不等实根, ∴Δ=4a2-12(a+6)>0,∴a<-3 或 a>6. 二、填空题 15.设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=alnx+bx2+x 的两个极值点,则常数 a=________. 2 [答案] - 3 B.-3<a<6 D.a<-3 或 a>6 )

a [解析] f ′(x)= +2bx+1, x a+2b+1=0 ? ? 2 由题意得?a ,∴a=- . 3 ? ?2+4b+1=0 16.直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x 的图象有相异的三个公共点,则 a 的取值范围是________. [答案] (-2,2) [解析] f ′(x)=3x2-3,由 3x2-3=0 得 x=1 或-1,当 x<-1,或 x>1 时,f ′(x)>0,f(x)单调增;当 -1<x<1 时,f ′(x)<0,f(x)单调减. ∴x=-1 时,f(x)取到极大值 f(-1)=2,x=1 时,f(x)取到极小值 f(1)=-2,∴欲使直线 y=a 与函数 f(x)的图象有相异的三个公共点,应有-2<a<2. 三、解答题 17.已知函数 f(x)=x3-3x2-9x+11. (1)写出函数的递减区间; (2)求函数的极值. [解析] f ′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3), 令 f ′(x)=0,得 x1=-1,x2=3. x 变化时,f ′(x)的符号变化情况及 f(x)的增减性如下表所示: x f ′(x) f(x) (-∞,-1) + 增 -1 0 极大值 f(-1) (-1,3) - 减 1 0 极小值 f(3) (3,+∞) + 增

(1)由表可得函数的递减区间为(-1,3) (2)由表可得,当 x=-1 时,函数有极大值为 f(-1)=16;当 x=3 时,函数有极小值为 f(3)=-16.


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