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重庆市万州区2008届高三第一次诊断性考试数学(理科)试题


重庆市万州区 2008 届高三第一次诊断性考试 数学(理科)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.全卷共三个大题,22 个小题,满分 150 分,考 试时间为 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卷上. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用笔填写在答题卷上“第 I 卷答题栏”对应题目的答案栏内.不能答在 试题纸上. 3.第 II 卷各题一定要做在答题卷限定的区域内. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k k Pn (k ) ? Cn P (1 ? P) n?k

第 I 卷(选择题,共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的,请把所选答案的番号填在答题卷的相应位置上.
2 1. 将函数 y ? x 的图象按向量 a 平移后,得到 y ? ? x ? 1? ? 2 的图象,则
2

?

A. a ? ?1, 2 ?

?

B. a ? ?1, ?2 ?

?

C. a ? ? ?1, 2 ?

?

D. a ? ? ?1, ?2 ?

?

2. 若 ?an ? 为各项均为正数的等比数列,且 a2 a5 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a6 的值为 A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

3. 条件 p:|x|>1,条件 q:x<?2,则 ?p 是 ?q 的 A.充分但不必要条件 C.充分且必要条件 B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. 已知两个不同的平面?、?和两条不重合的直线 m、n,有下列四个命题 ①若 m//n,m??,则 n??; ③若 m??,m//n,n? ?,则???; 其中正确命题的个数是 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 ②若 m??,m??,则?//?; ④若 m//?,???=n,则 m//n.

→ → → → → → 2 2 5. 已知直线 x+y=a 与圆 x +y =4 交于 A、B 两点,O 是坐标原点,向量OA、OB满足|OA+OB|=|OA?OB|,则 实数 a 的值是 A. 2 B. ?2 C. 6 或? 6 D. 2 或?2

6. 5 名奥运火炬手分别到香港,澳门、台湾进行奥运知识宣传,每个地方至少去一名火炬手,则不同的分 派方法共有 A. 150 种 7. 已知函数 f ( x) ? B. 180 种 C. 200 种 D. 280 种

ax ? 3 的反函数为 f ?1 ( x) , 若函数 y ? g ( x) 的图象与函数 y ? f ?1 ( x ? 1) 的图象关于 x ?1 7 ,则实数 a 的值为 2
C. 2 D. -1

直线 y ? x 对称,且 g (3) ?

A.

1 2
x2
4 +

B. 1

8. 椭圆

y2

1 = 1上有 n 个不同的点 P1,P2,?,Pn,F 是右焦点,|P1F|,|P2F|,?,|PnF|组成公差 d> 3 100

的等差数列,则 n 的最大值是 A. 199 B. 200 C. 99 D. 100 9. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ≥ 0 时, f ( x) ? x2 ,若对任意的 x ?? t,t ? 2? ,不等式

f ( x ? t) ≥ 2 f ( x)恒成立,则实数 t 的取值范围是(
A. ? 2,∞ ? ?



? 1? ? ?0, 2 ? B. ? ? 2, ? ? ? ?

?∞ C. ? 2, ?

?
2

D.

2? ? 0,

10. 设 a、b、m 为整数(m>0),若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余.记为 a≡b(mod m).
2 3 20 已知 a=1+C 1 20 +C 20 ·2+C 20 ·2 +?+C 20 ·2 ,b≡a(mod 10),则 b 的值可以是
19

A.2015

B.2011

C.2008

D.2006?

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)把答案填在答题卷的相应位置上. 11. ? cos

? ?

?
12

? sin

? ? ? ?? cos ? sin ? =______________. 12 ?? 12 12 ?

? ??

12. 如果 ( x ? x )n 的展开式中所有奇数项的系数和等于 512,则展开式的中间项是_____________.

?x ? y ? 6 ?x ? y ? 2 ? 13. 已知变量 x、y 满足条件 ? ,若目标函数 z ? ax ? y (其中 a >0),仅在(4,2)处取得最大值, x ? 0 ? ? ?y ? 0
则 a 的取值范围是___________. 14. 从 0、1、2、3、4、5 这 6 个数字中任取两个数,可以组成二位数,则其中不含 0 的二位数的概率是

______________. ? 2 15.抛物线 x =4y 的准线 l 与 y 轴交于 P 点,若 l 绕点 P 以每秒 弧度的角速度按逆时针方向旋转,则经 12 过_______秒,l 恰好与抛物线第一次相切. 16.给出下列四个命题: 1 ①当 x>0 且 x?1 时,有 lnx+ ?2; lnx ③函数 f(x)=e? x 在 x=2 上取得极大值;
x 2

1 ②函数 f(x)=lg(ax+1)的定义域为{x|x> ? };

a

④x +y ?10x+4y?5=0 上的任意点 M 关于直线 ax?y?5a?2=0 对称点 M 也在该圆上.
2 2 /

所有正确命题的序号是

.(把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分)把解答题答在答题卷限定的区域内.解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤. 17.(本题满分 13 分)已知集合 A={x||x?1|?m},B={x| (Ⅰ)若 m=3,求 A?B; (Ⅱ)若 A?B=R,求实数 m 的取值范围. 10

x+6

?1}.

18. (本题满分 13 分)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 f(x)的定义域、值域; (Ⅱ)设 α 为锐角,且 tan

sin2x?cos2x+1 . 2sinx

? 1 = ,求 f(?)的值. 2 2

19. (本题满分 13 分) 已知 f(x)= 上,且 a1=1. (Ⅰ)求 y=g(x)的表达式; (Ⅱ)证明数列{ 1

1

x ?4
2

(x<?2), f(x)的反函数为 g(x), 点 A(an,?

1

an+1

)在曲线 y=g(x) (n?N*)

an2

}为等差数列;

20.(本题满分 13 分) 一种电脑屏幕保护画面,只有符号“○”和“×”随机地反复出现,每秒钟变化一次,每次变化只出 现“○”和“×”之一,其中出现“○”的概率为 p,出现“×”的概率为 q,若第 k 次出现“○”,则 记 ak= 1;出现“×”,则记 ak=?1,令 Sn=a1+a2+?+an 1 (Ⅰ)当 p=q= 时,记?=|S3|,求?的分布列及数学期望; 2 1 2 (Ⅱ)当 p= ,q= 时,求 S8=2 且 Si?0(i=1,2,3,4)的概率. 3 3

21. (本题满分 12 分) 已知 f(x)=x +bx +cx+d 是定义在 R 上的函数,其图象交 x 轴于 A、B、C 三点,若 B 点坐标为 (2,0), 且 f(x)在[?1,0]和[4,5]上有相同的单调性,在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性. (Ⅰ)求 c 的值;并探讨在函数 f(x)的图象上是否存在一点 M(x0,y0),使得 f(x)在点 M 的切线的斜率 为 3b?若存在,求出 M 点的坐标;若不存在,说明理由; (Ⅱ)求|AC|的取值范围.
3 2

22. (本题满分 12 分) F1、F2 分别是双曲线 x ?y =1 的两个焦点,O 为坐标原点,圆 O 是以 F1F2 为直径的圆,直线 l:y=kx+b
2 2

(b>0)与圆 O 相切,并与双曲线相交于 A、B 两点. (Ⅰ)根据条件求出 b 和 k 满足的关系式;

??? ? ???? ? AB →→ 2 ? 在向量 F1F2 方向的投影是 p,当(OA (Ⅱ)向量 ??? ?OB)p =1 时,求直线 l 的方程; | AB |
→→ 2 (Ⅲ)当(OA?OB)p =m 且满足 2≤m≤4 时,求?AOB 面积的取值范围.

参考答案及评分意见 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1~5 D B A D D 6~10 A C B C B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.

4 3 5 7 ; 12. C10 x x ; 13. a ? 1 ; 14. ; 15. 3 秒; 16. ③④ 5 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分) 17.(本题满分 13 分) 解:(Ⅰ)m=3 时,A={x|x?? 2 或 x?4}, B={x| 10 x?4 ?1}={x| ?0}={x|?6<x?4} x+6 x+6 ??????????2 分 ??????????4 分 ??6 分

∴A?B={x|x?? 2 或 x?4}?{x|? 6<x?4}={x|? 6<x??2 或 x=4}. (Ⅱ)∵A={x||x?1|?m }, ①m?0 时,A=R,A?B=R,满足条件. ②m>0 时,A={x|x?1? m 或 x?1+m},

??????????8 分

? ?1?m??6 由 A?B=R,B={x|? 6<x?4},∴?1+m?4 ?m>0 ?
∴综上,实数 m 的取值范围为 m?3.

解得 0<m?3.

???12 分

?????????13 分

18. (本题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由 2sinx?0, 得 x?k? (k?Z), 所以 f(x)的定义域为{x|x?k?,k?Z} ?????????????3 分
2

f(x)=

sin2x?cos2x+1 2sinxcosx?(1?2sin x)+1 = 2sinx 2sinx
2

2sinxcosx+2sin x ? = =sinx+cosx= 2sin(x+ ) 2sinx 4 ? ? ∵x?k?,k?Z,∴x+ ?k?+ 4 4 ∴函数的值域是[? 2, 2?

?????????????6 分

?????????????8 分 ? 2tan 2 4 = 3 2? 1?tan 2

? 1 (Ⅱ)解:因为 α 是锐角,且 tan = , 所以 tan?= 2 2 4 3 7 从而 sin?= ,cos?= ,故 f(?)=sin?+cos?= . 5 5 5

?????????????13 分

19. (本题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由 y = 1

x2?4

得 x ?4=
2 2

1

y

2

,∴x =4+

2

1
2

y

=

1+4y

2

y

2

∵x<?2,∴x= ? (Ⅱ)∵点 A(an, ? ∴? ∴ 1 = g(an)= ? ? 1

1+4y ,∴g(x)= ? |y| 1

1+4x

2

x

(x>0) ?????????????6 分

an+1

)在曲线 y=g(x)上(n?N*),
2

1+4an

an+1

an

,并且 an>0

1

an+12

an2
1

= 4 (n?1,n?N) ?????????????13 分

∴数列{

an2

}为等差数列

20.(本题满分 13 分) 解:(Ⅰ)∵?=|S3|的取值为 1,3,又 p=q= 1 2 ?????5 分

1 1 2 3 1 3 1 3 1 1 ∴P(?=1)= C3 ( )?( ) ?2= , P(?=3)= ( ) +( ) = 2 2 4 2 2 4 ∴ξ 的分布列为 ? P 1 3 4 3 1 4 ????????6 分

3 1 3 ∴Eξ =1× +3× = 4 4 2

??????????7 分

(Ⅱ)当 S8=2 时,即前八秒出现“○”5 次和“×”3 次,又已知 Si?0 (i=1,2,3,4) 若第一、三秒出现“○”,则其余六秒可任意出现“○”3 次; 若第一、二秒出现“○”,第三秒出现“×”,则后五秒可任出现“○”3 次. 1 5 2 3 30?8 80 3 3 故此时的概率为 P=(C6+C5)?( ) ?( ) = = 8 3 3 3 2187 ????????13 分

21. (本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)因为 f(x)在[?1,0] 和[0,2]上有相反的单调性, 所以 x=0 是 f(x)的一个极值点,故 f (0)=0, 即 3x +2bx+c=0 有一个解为 x=0, ∴c=0 ??????????2 分
/ 2

因为 f(x)交 x 轴于 B(2,0) ,∴8+4b+d=0,即 d= ?4(b+2)

令 f (x)=0 得 3x +2bx=0,∴x1=0,x2= ?
/ 2

2b 3

因为 f(x)在[?1,0]和[4,5]上有相反的单调性

? 2b ? ?4 ? ? 3 ?? ∴?6? b ??3 ? ? 2b ? 2 ? ? 3
b a

????????????????5 分

假设存在点 M(x0,y0)使得 f(x)在点 M 的切线的斜率为 3b,则 f (x0)=3b,即 3x0 +2bx0?3b=0,
/ 2

∵?=(2b) ?4?3?(?3b)=4ab( +9) ,?6? b ??3
2

∴?<0

故不存在点 M(x0,y0)满足(2)中的条件
3

??????????????8 分
2

(Ⅱ)设 f(x)=(x??)(x?2)(x??)=[x ?(2+?+?)x +(2?+2?+??)x?2??] 则 b= ?(2+?+?),∴?+?= ?b ?2

d= ?2??,??= ?

d 2
( ? b ? 2)2 ? 2d ? ( ? b ? 2)2 ? 16 ????10 分

2 |AC|=|???| (?+?) ?4?? ?

∵?6?b??3,∴当 b = ?6 时,|AC|max=4 3,当 b = ?3 时,|AC|min=3 ∴3?|AC|?4 3???????????????12 分

22. (本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)b 和 k 满足的关系式为 b =2(k +1) (k??1,b>0)?????????????3 分
2 2

(Ⅱ)设 A(x1,y1) B(x2,y2),则由 ?
2 2 2

? y ? kx ? b
2 2 ?x ? y ? 1
2

消去 y ?????????????4 分
2 2 2 2

得(k ?1)x +2kbx+b +1=0,其中 k ?1

(1+k )(2k +3) 4k (k +1) →→ 2 2 2 ∴OA?OB=x1x2+y1y2=(1+k )x1x2+kb(x1+x2)+b = + + 2(k +1) 2 k2?1 1?k

??? ? ? AB ???? ? 在F1F2 方向上的投影是 p 由于向量 ??? | AB |

???? ? 2 2 → ∴p =cos <AB, F1F2 >=
2

1 2 1+k
2

?????????????6 分

4k → → 2 2k +3 ∴(OA?OB)?p = 2 + 2 +2=1?k=? 2 k ?1 1?k ∵b = 2(k +1)
2 2

(k??1,b>0), 故 b= 6 ,经检验适合?>0 ?????????????8 分

∴直线 l 的方程为 y=? 2x+ 6

2k +3 4k (Ⅲ)类似于(Ⅱ)可得 2 + 2 +2=m k ?1 1?k ∴k =1+
2

2

2

1

m

2 2 , b =4+ 根据弦长公式

m

得 | AB |? 1 ? k 2 (

2kb 2 4(b2 ? 1) ) ? 2 ? 2 (2m ? 1)(4m ? 1) ??????10 分 1? k 2 k ?1
3 2 1 16(m+ ) ? 8 4 ?????????12 分

1 则 S?AOB= |AB|? 2= 2

而 m?[2,4],∴?AOB 的面积的取值范围是[3 10 ,3 34]


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