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高一等差等比数列综合归纳习题


06.5

高一数学专题(1) 等差、等比数列的通项公式

●知识梳理 等差数列 概念 若数列{an}从第二项起, 每一项与它的 前一项的差等于同一个常数,则数列 {an}叫等差数列.常数叫公差 证明方法 (1)用定义:只需证 an+1-an=常数; (1)用定义:只需证 (2)用中项性质:只需 2an+1=an+an+2 或 an+1- an = an+2.- an+1 等比数列 数列{an}从第二项起, 每一项与它前一 项的比等于同一个常数的数列称作等 比数列.常数叫公比

a n +1 =常数; (2) an

用中项性质:只需 an+12=an ·an+2 或

a n +1 a n + 2 = . an a n +1
等差、 等比 中项 若 a、b、c 成等差数列,则 b 称 a 与 c 的等差中项,且 b= 若 a、b、c 成等比数列,则 b 为 a、c

a+c ;a、b、c 成 的等比中项,且 b=± ac . 2

等差数列是 2b=a+c 的充要条件. 计算方法 三个数或四个数成等差数列且又知和 时,则三个数可设为 a-d、a,a+d. 时,则三个数可设为 三个数或四个数成等比数列且又知积

a 、a、aq. q

通项公式 推广 m+n=p+q,

an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d am+an=ap+aq

an=a1qn

-1

an=amqn

-m

.

am·an=ap·aq 下标成等差的子数列成等比数列; 连续相同个数的积也成等比数列

对应结论

下标成等差的子数列也成等差数列; 连续相同个数的和也成等差数列。

●例题:
n

1.若数列满足{an}满足 an=q (q≠0),则下列结论不正确的是(

) 。

2

A.{an }是等比数列;

B. ?

?1? ? 是等比数列; ? an ?

1

C.{lgan}是等差数列;

D.{lg|an|}是等差数列。 ) 。

2.若三角形的三边成等比数列,则它的公比 r 的取值范围为(

A.

5 ?1 5 +1 5 +1 5 ?1 <r< ; B.0 < r < ; C.r > ; 2 2 2 2

D.以上都不对。

3. “公差为 0 的等差数列是等比数列”“公比为 ;
2

1 的等比数列一定是递减数列”“a,b,c 三 ; 2

数成等比数列的充要条件是 b =ac”; “a,b,c 三数成等差数列的充要条件是 2b=a+c”;以 上四个命题中,正确的有( A.1 个; B.2 个; ) 。 C.3 个; D.4 个。 ) 。

4.等比数列{an}中各项为正数,公比 q≠1,则下列数列中为等比数列的是( B. e 1 , e 2 , e 3 ,L , e n ,L D.lga1,lga2,…,lgan,…
a a a a

A.a1,2a2,3a3,…,nan,…;

C.a1+a2,a2+a3,a3+a4,…,an+an+1,…;

5.在等比数列{an}中,a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8,则 an= 6.在△ABC 中,A、B、C 成等差数列,则 tan

.

A C A C + tan + 3 tan tan = 2 2 2 2



7. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和 是 16,第二个数与第三个数的和是 12,求这四个数.

8.某工厂三年的生产计划中,从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同,三年的总产 值为 300 万元,如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多 10 万元、10 万元、11 万元,那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同,求原计划中每年的产值。

9.一个等差数列首项 a1=1,末项 an=100(n≥3),若公差为自然数,那么项数 n 的取值有 ( ) 。

2

A.三种可能;
2

B.四种可能;
2

C.五种可能;

D.无穷种可能。

10.设两个方程 x -x+a=0,x -x+b=0 的四个根构成以 a= ;b= .

1 为首项的等差数列,且 a<b,则 4

11.已知镭经过 100 年剩留原来质量的 95.76%,设质量为 1 的镭经过 x 年后剩留量为 y,则 x,y 之间的函数关系为(
x 100

) 。
100 x

A. y = 0.9576 ; B. y = 0.9576

? 0.9576 ? 100 ; C. y = ? ? ; D. y = 1 ? 0.0424 . ? 100 ?

x

x

12.已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,



a1 + a3 + a9 的值为 a2 + a4 + a10



13.设{an}是等比数列,且 a5·a6=81,则 log3a1+log3a2+…+log3a10=

.

14.在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5+a6+a7=450,则 a2+a8=( A.45; B.75; C.180; D.300

) 。

15.在等比数列{an}中,a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,则 a99+a100 等于(

) 。

b9 A. 8 a

?b? B. ? ? ?a?

9

b10 C. 9 a

?b? D. ? ? ?a?

10

16.已知 a1,a2,……an 为各项都大于零的等比数列,公比 q≠1,则(

) 。

A.a1+a8>a4+a5;

B.a1+a8<a4+a5;

C.a1+a8=a4+a5;

D.a1+a8 和 a4+a5 的大小关系不能由已知条件确定

17.在等差数列中,已知公差 d = ( A.170; ) 。 B.150;

1 ,且 a1+a3+…+a97+a99=60,则 a1+a2+…+a99+a100 等于 2

C.145;

D.120。
30

18.在等比数列中,an 为正,且公比为 2,如果 a1a2…a30=2 ,则 a3a6a9…a30=
*

19.数列{an}中,若 a1=3,an=2an-1-1(n≥2,n∈N ),则 an= 20.正数数列{an}中,若 a1=10,且 lg an =



1 * lg an ?1 (n≥2,n∈N ),则 an= 2



3

21.已知数列{an}中,若 a1=3,(n+1)an+1=nan,则 an= 22.已知数列{an}中, a1 =

.

1 , 且当 n>1 时,有 an-1-an-4anan-1=0,求 an. 5

*

23.在等差数列{an}中,若 a10=0,则有等式 a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N )成立,类

比上述性质,相应地:在等比数列{bn}中,若 b9=1,则有等式 成立。

24.已知 an=logn+1 (n+2) (n∈N*) ,观察下列运算 a1 ·a2=log23·log34=

lg 3 lg 4 · =2, lg 2 lg 3

a1·a2·a3·a4·a5·a6=log23·log34·…·log67·log78=

lg 3 lg 4 lg 7 lg 8 · ·…· · =3.…… lg 2 lg 3 lg 6 lg 7

定义使 a1·a2·a3·…·ak 为整数的 k(k∈N*)叫做企盼数.试确定当 a1·a2·a3·…·ak=2008 时,企盼数 k=______________.

4


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