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江苏省苏州市张家港市高级中学2015-2016学年高一数学上学期期中试卷(含解析)

2015-2016 学年江苏省苏州市张家港市高级中学高一(上)期中数学 试卷

一、填空题(每小题 5 分,14 题,共 70 分,请将正确答案填写在答题卷相应的横线上)

1.设全集 A={0,1,2},B={﹣1,0,1},则 A∪B=



2.已知 f(2x)=6x﹣1,则 f(x)=



3.已知幂函数 y=f(x)的图象经过点(2,16),则函数 f(x)的解析式是



4.已知函数 f(x)=

,则 f[f( )]的值是



5.函数 y=

的定义域是



6.设 a=log0.60.9,b=ln0.9,c=20.9,则 a、b、c 由小到大的顺序是



7.函数 f(x)=

的递减区间是



8.已知 lg2=a,lg3=b,用 a,b 表示 log65=



9.函数

的值域为



10.已知 f(x)是定义在集合{x|x≠0}上的偶函数,x>0 时 f(x)=x+ ,则 x<0 时 f(x)

=



11.设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P﹣Q={x|x∈P,且 x?Q},如果 P={x|log2x<1},Q={x||x

﹣2|<1},那么 P﹣Q 等于



12.若函数 f(x)是偶函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(﹣3)=0.则 x?f(x)<

0 的解集是



13.函数 f(x)=|x2﹣2x|﹣a 有四个零点,则实数 a 的取值范围是



14.已知函数 f(x)=

,若当 t∈[0,1]时,f(f(t))∈[0,1],

则实数 t 的取值范围是



二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.计算:

(1)

(2)(lg5)2+lg2?lg50. 16.设集合 A={x|y=log2(x﹣1)},B={y|y=﹣x2+2x﹣2,x∈R} (1)求集合 A,B; (2)若集合 C={x|2x+a<0},且满足 B∪C=C,求实数 a 的取值范围.

儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

17.某厂生产一种机器的固定成本(即固定收入)为 0.5 万元,但每生产一台,需要增加可 变成本(即另增加收入)0.25 万元.市场对此产品的年需求量为 500 台,销售的收入函数



(万元)(0≤x≤5).其中 x 是产品售出的数量(单位:百台)

(1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量是多少时,工厂所得利润最大? 18.已知函数 f(x)=x2﹣2ax+5(a>1). (1)若 f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数 a 的值; (2)若 f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数,且对任意的 x∈[1,a+1],总有 f(x)≤0, 求实数 a 的取值范围.

19.已知定义域为 R 的函数 f(x)=

是奇函数.

(1)求 a,b 的值; (2)判断函数的单调性并证明; (3)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 20.对于定义域为 D 的函数 y=f(x),如果存在区间[m,n]? D,同时满足: ①f(x)在[m,n]内是单调函数; ②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n]. 则称[m,n]是该函数的“和谐区间”. (1)证明:[0,1]是函数 y=f(x)=x2 的一个“和谐区间”.

(2)求证:函数

不存在“和谐区间”.

(3)已知:函数 时,求出 n﹣m 的最大值.

(a∈R,a≠0)有“和谐区间”[m,n],当 a 变化

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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

2015-2016 学年江苏省苏州市张家港市高级中学高一(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析
一、填空题(每小题 5 分,14 题,共 70 分,请将正确答案填写在答题卷相应的横线上) 1.设全集 A={0,1,2},B={﹣1,0,1},则 A∪B= {﹣1,0,1,2} . 【考点】并集及其运算. 【分析】直接利用并集运算得答案. 【解答】解:∵A={0,1,2},B={﹣1,0,1}, 则 A∪B={0,1,2}∪{﹣1,0,1}={﹣1,0,1,2}. 故答案为:{﹣1,0,1,2}.
2.已知 f(2x)=6x﹣1,则 f(x)= 3x﹣1 . 【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【分析】利用配凑法或者换元法求解该类函数的解析式,注意复合函数中的自变量与简单函 数自变量之间的联系与区别. 【解答】解:由 f(2x)=6x﹣1,
得到 f(2x)=3(2x﹣ )=3(2x)﹣1
故 f(x)=3x﹣1 故答案为:3x﹣1.
3.已知幂函数 y=f(x)的图象经过点(2,16),则函数 f(x)的解析式是 f(x)=x4 . 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【分析】由已知得 2a=16,解得 a=4,由此求出 f(x)=x4. 【解答】解:∵幂函数 y=f(x)=xa 的图象经过点(2,16), ∴2a=16,解得 a=4, ∴f(x)=x4. 故答案为:f(x)=x4.

4.已知函数 f(x)=

,则 f[f( )]的值是



【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值.

【分析】先求

, ,故代入 x>0 时的解析式;求出

=﹣2,



再求值即可.

【解答】解:



故答案为:

3
儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

5.函数 y=

的定义域是 ( ,3] .

【考点】函数的值域. 【分析】根据对数函数单调性和二次根式的意义,求得范围. 【解答】解:由题意得 2x﹣5>0,且 log0.5(2x﹣5)≥0=log0.51,
即 x> 且,2x﹣5≤1,

解得 <x≤3,

故答案为:( ,3].

6.设 a=log0.60.9,b=ln0.9,c=20.9,则 a、b、c 由小到大的顺序是 b<a<c . 【考点】对数值大小的比较. 【分析】利用对数函数的单调性即可得出. 【解答】解:∵0<a=log0.60.9<log0.60.6=1,b=ln0.9<0,c=20.9>1, ∴b<a<c. 故答案为:b<a<c.

7.函数 f(x)=

的递减区间是 (﹣∞,﹣3] .

【考点】函数的单调性及单调区间. 【分析】令 t=x2+2x﹣3≥0,求得函数的定义域,且 f(x)= ,本题即求函数 t 在定义域 内的减区间,结合二次函数 t=x2+2x﹣3 的性质可得 t 在定义域内的减区间. 【解答】解:令 t=x2+2x﹣3≥0,可得 x≤﹣3,或 x≥1,故函数的定义域为(﹣∞,﹣3]∪[1, +∞),且 f(x)= , 故本题即求函数 t 在定义域内的减区间. 结合二次函数 t=x2+2x﹣3 的性质可得 t 在定义域内的减区间为(﹣∞,﹣3], 故答案为:(﹣∞,﹣3].

8.已知 lg2=a,lg3=b,用 a,b 表示 log65=



【考点】对数的运算性质. 【分析】利用换底公式将 log65 用 lg2 与 lg3 表示出来,再换成用字母 a,b 表示即可得.

【解答】解:log65=



又由已知 lg2=a,lg3=b,

故 log65=



故答案为

9.函数

的值域为 (﹣∞,1] .

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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

【考点】函数的值域.

【分析】先确定函数的定义域,再考查函数在定义域内的单调性,根据函数的单调性来确定

函数的值域.

【解答】解:函数

的定义域是(﹣∞,1],且在此定义域内是增函数,

∴x=1 时,函数有最大值为 1,

x→﹣∞时,函数值 y→﹣∞,

∴函数

的值域是(﹣∞,1].

故答案为:(﹣∞,1].

10.已知 f(x)是定义在集合{x|x≠0}上的偶函数,x>0 时 f(x)=x+ ,则 x<0 时 f(x)

= ﹣x﹣ .

【考点】函数奇偶性的性质.

【分析】由偶函数的性质及对称性得到 x<0 时,f(x)=(﹣x)+

果. 【解答】解:∵f(x)是定义在集合{x|x≠0}上的偶函数,

x>0 时,f(x)=x+ ,

∴由偶函数的性质得:

x<0 时,f(x)=f(﹣x)=(﹣x)+

=﹣x﹣ .

,由此能求出结

故答案为:



11.设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P﹣Q={x|x∈P,且 x?Q},如果 P={x|log2x<1},Q={x||x ﹣2|<1},那么 P﹣Q 等于 (0,1] . 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】根据对数函数的定义域及单调性求出集合 P 中的不等式的解集,求出集合 Q 中的绝 对值不等式的解集,然后根据题中的新定义即可求出 P﹣Q. 【解答】解:由集合 P 中的不等式 log2x<1=log22, 根据 2>1 得到对数函数为增函数及对数函数的定义域, 得到 0<x<2,所以集合 P=(0,2);

集合 Q 中的不等式|x﹣2|<1 可化为:

,解得 1<x<3,所以集合 Q=(1,3),

则 P﹣Q=(0,1] 故答案为:(0,1]

12.若函数 f(x)是偶函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(﹣3)=0.则 x?f(x)< 0 的解集是 (﹣∞,﹣3)∪(0,3) . 【考点】奇偶性与单调性的综合.

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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

【分析】先利用 f(x)是偶函数单调性在对称区间上相反,分析出函数的单调性,结合 f (﹣3)=0,分析出函数在各个区间上的符号,进而得到 x?f(x)<0 的解集 【解答】解:∵函数 f(x)是偶函数,且在(0,+∞)内是增函数, ∴f(x)在(﹣∞,0)内是减函数 又∵f(﹣3)=f(3)=0 ∴f(x)<0 的解集是(﹣3,3),f(x)>0 的解集是(﹣∞,﹣3),(3,+∞) ∴x?f(x)<0 的解集为(﹣∞,﹣3)∪(0,3) 故答案为:(﹣∞,﹣3)∪(0,3)
13.函数 f(x)=|x2﹣2x|﹣a 有四个零点,则实数 a 的取值范围是 (0,1) . 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】将方程的零点问题转化成函数的交点问题,作出函数的图象得到 a 的范围. 【解答】解:令 f(x)=|x2﹣2x|﹣a=0, 得 a=|x2﹣2x|, 作出 y=|x2﹣2x|与 y=a 的图象, 要使函数 f(x)=|x2﹣2x|﹣a 有四个零点, 则 y=|x2﹣2x|与 y=a 的图象有四个不同的交点, 所以 0<a<1, 故答案为:(0,1).

14.已知函数 f(x)=

,若当 t∈[0,1]时,f(f(t))∈[0,1],

则实数 t 的取值范围是 [log3 ,1] .
【考点】分段函数的应用. 【分析】通过 t 的范围,求出 f(t)的表达式,判断 f(t)的范围,然后代入已知函数, 通过函数的值域求出 t 的范围即可. 【解答】解:因为 t∈[0,1],所以 f(t)=3t∈[1,3],

又函数 f(x)=



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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

所以 f(f(t))=3(不成立)或 f(f(t)= ﹣ ?3t, 因为 f(f(t))∈[0,1], 所以 0≤ ﹣ ?3t≤1,即 ≤3t≤3, 解得:log3 ≤t≤1,又 t∈[0,1], 所以实数 t 的取值范围[log3 ,1]. 故答案为:[log3 ,1].

二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.计算:

(1)

(2)(lg5)2+lg2?lg50. 【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【分析】(1)利用指数与对数的运算法则即可得出; (2)利用对数的运算法则、lg2+lg5=1 即可得出.

【解答】解:(1)原式=



+3+1

=4﹣ +1+3+1 =8﹣ . (2)原式=lg25+lg2(1+lg5) =lg5(lg5+lg2)+lg2 =lg5+lg2 =1.

16.设集合 A={x|y=log2(x﹣1)},B={y|y=﹣x2+2x﹣2,x∈R} (1)求集合 A,B; (2)若集合 C={x|2x+a<0},且满足 B∪C=C,求实数 a 的取值范围. 【考点】对数函数的定义域;并集及其运算;函数的值域. 【分析】(1)集合 A 即函数 y=log2(x﹣1)定义域,B 即 y=﹣x2+2x﹣2,x∈R 的值域.
(2)先求出集合 C,由 B∪C=C 可得 ? C,∴﹣ >﹣1,解不等式得到实数 a 的取值范
围. 【解答】解:(1)A={x|y=log2(x﹣1)}={x|(x﹣1)>0}=(1,+∞), B={y|y=﹣x2+2x﹣2,x∈R}={y|y=﹣(x﹣1)2﹣1,x∈R}=(﹣∞,﹣1].
(2)集合 C={x|2x+a<0}={x|x<﹣ },
, ∴B? C,

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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定



,∴实数 a 的取值范围(﹣∞,2).

17.某厂生产一种机器的固定成本(即固定收入)为 0.5 万元,但每生产一台,需要增加可 变成本(即另增加收入)0.25 万元.市场对此产品的年需求量为 500 台,销售的收入函数



(万元)(0≤x≤5).其中 x 是产品售出的数量(单位:百台)

(1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量是多少时,工厂所得利润最大? 【考点】函数模型的选择与应用. 【分析】(1)利润 y 是指生产数量 x 的产品售出后的总收入 R(x)与其成本 C(x)之差, 由题意,当 x≤5 时,产品能够全部售出,当 x>5 时,只能销售 500 台,由此能把利润表示 为年产量的函数.

(2)当 0≤x≤5 时,

,当

(百台)时,ymax=10.78125

(万元);当 x>5(百台)时,y<12﹣0.25×5=10.75(万元).由此能求出年产量是多少 时,工厂所得利润最大. 【解答】解:(1)利润 y 是指生产数量 x 的产品售出后的总收入 R(x)与其成本 C(x)之 差, 由题意,当 x≤5 时,产品能够全部售出,当 x>5 时,只能销售 500 台,所以



整理,得



(2)当 0≤x≤5 时, ,



(百台)时,

ymax=10.78125(万元); 当 x>5(百台)时, y<12﹣0.25×5=10.75(万元). 综上所述,当生产 475 台时,工厂所得利润最大.

18.已知函数 f(x)=x2﹣2ax+5(a>1). (1)若 f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数 a 的值; (2)若 f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数,且对任意的 x∈[1,a+1],总有 f(x)≤0, 求实数 a 的取值范围. 【考点】二次函数的性质. 【分析】(1)由 f(x)的对称轴是 x=a 知函数在[1,a]递减,根据定义域和值域均为[1, a],列出方程组即可求得 a 值;

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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

(2)由 f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数得 a≥2,由函数在区间[1,a+1]上总有 f(x)

≤0,可得

,解得 a 的取值范围即可.

【解答】解:(1)∵f(x)=(x﹣a)2+5﹣a2(a>1), ∴f(x)在[1,a]上是减函数, 又定义域和值域均为[1,a],



,即

,解得 a=2.

(2)∵f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数, ∴a≥2, 又∵对任意的 x∈[1,a+1],总有 f(x)≤0,



,即

解得:a≥3, 综上所述,a≥3

19.已知定义域为 R 的函数 f(x)=

是奇函数.

(1)求 a,b 的值; (2)判断函数的单调性并证明; (3)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 【考点】函数单调性的性质;函数单调性的判断与证明. 【分析】(1)由 f(x)为 R 上的奇函数得 f(0)=0,f(﹣1)=﹣f(1),解出方程可得 a, b 值;

(2)由(1)知 f(x)=

=﹣

,利用单调性定义可作出判断;

(3)由 f(x)的奇偶性可得,f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0 等价于 f(t2﹣2t)<﹣f(2t2 ﹣k)=f(k﹣2t2),根据单调性可去掉符号“f”,转化为函数最值解决即可; 【解答】解:(1)因为 f(x)为 R 上的奇函数,

所以 f(0)=0,即

=0,解得 b=1,

由 f(﹣1)=﹣f(1),得

所以 a=2,b=1,

即有 f(x)=

为奇函数,

故 a=2,b=1; (2)f(x)为 R 上的减函数,证明如下:

,解得 a=2,

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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

由(1)知 f(x)=

=﹣



设 x1<x2,

则 f(x1)﹣f(x2)=(﹣

)﹣(﹣

)=



因为 x1<x2,所以

>0,

, +1>0,

所以 f(x1)﹣f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 所以 f(x)为减函数; (3)因为 f(x)为奇函数,所以 f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0 可化为 f(t2﹣2t)<﹣f(2t2 ﹣k)=f(k﹣2t2), 又由(2)知 f(x)为减函数,所以 t2﹣2t>k﹣2t2,即 3t2﹣2t>k 恒成立,

而 3t2﹣2t=3





所以 k< .

20.对于定义域为 D 的函数 y=f(x),如果存在区间[m,n]? D,同时满足: ①f(x)在[m,n]内是单调函数; ②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n]. 则称[m,n]是该函数的“和谐区间”. (1)证明:[0,1]是函数 y=f(x)=x2 的一个“和谐区间”.

(2)求证:函数

不存在“和谐区间”.

(3)已知:函数

(a∈R,a≠0)有“和谐区间”[m,n],当 a 变化

时,求出 n﹣m 的最大值. 【考点】函数单调性的性质. 【分析】(1)根据二次函数的性质,我们可以得出 y=f(x)=x2 在区间[0,1]上单调递增, 且值域也为[0,1]满足“和谐区间”的定义,即可得到结论. (2)该问题是一个确定性问题,从正面证明有一定的难度,故可采用反证法来进行证明, 即先假设区间[m,n]为函数的“和谐区间”,然后根据函数的性质得到矛盾,进而得到假设 不成立,原命题成立. (3)设[m,n]是已知函数定义域的子集,我们可以用 a 表示出 n﹣m 的取值,转化为二次函 数的最值问题后,根据二次函数的性质,可以得到答案. 【解答】解:(1)∵y=x2 在区间[0,1]上单调递增. 又 f(0)=0,f(1)=1, ∴值域为[0,1], ∴区间[0,1]是 y=f(x)=x2 的一个“和谐区间”. (2)设[m,n]是已知函数定义域的子集. ∵x≠0,[m,n]? (﹣∞,0)或[m,n]? (0,+∞),

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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

故函数

在[m,n]上单调递增.

若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则

故 m、n 是方程

的同号的相异实数根.

∵x2﹣3x+5=0 无实数根,

∴函数

不存在“和谐区间”.

(3)设[m,n]是已知函数定义域的子集. ∵x≠0,[m,n]? (﹣∞,0)或[m,n]? (0,+∞),

故函数

在[m,n]上单调递增.

若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则

故 m、n 是方程

,即 a2x2﹣(a2+a)x+1=0 的同号的相异实数根.





∴m,n 同号,只须△=a2(a+3)(a﹣1)>0,即 a>1 或 a<﹣3 时, 已知函数有“和谐区间”[m,n],





∴当 a=3 时,n﹣m 取最大值

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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定