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31.第十八讲 选修4—1 几何证明选讲(教师版)

模块七 选修系列 第十八讲 选修 4—1 几何证明选讲 第十八讲 考点一 1.平行线等分线段定理 定理 段也 选修 4—1 几何证明选讲 平行线分线段成比例定理的应用 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等 ,那么在其他直线上截得的线 相等 . 推论 1 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线 平分第三边 . . 平分另一腰 2.平行线分线段成比例定理 定理 三条平行线截两条直线,所得的 对应线段 成比例. 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 3.相似三角形的判定及性质 (1)相似三角形的判定 定义 对应角 相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 .相似三角形对应边 的比值叫做相似比(或相似系数). 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形 与原三角形相似. 判定定理 1 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角 对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似. 判定定理 2 成比例 对于任意两个三角形 , 如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应 成比例 且夹角相等 ,两 ,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应 三角形相似. 引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段 成比例 ,那么 这条直线平行于三角形的第三边. 判定定理 3 应 对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对 成比例 ,两三角形相似. 成比例 ,那么这两个三角形相似.简述为:三边对应 (2)两个直角三角形相似的判定定理 *超越自己,向自己挑战,向弱项挑战,向陋习挑战* 1 模块七 选修系列 第十八讲 选修 4—1 几何证明选讲 ①如果两个直角三角形有一个锐角对应 ②如果两个直角三角形的两条直角边对应 相等 ,那么它们相似. ,那么它们相似. 成比例 ③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对 应 成比例 ,那么这两个直角三角形相似. (3)相似三角形的性质定理 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 ②相似三角形周长的比等于 ③相似三角形面积的比等于 相似比 ; ; 相似比 ; 相似比的平方 ④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、 周长比等于相似比,外接圆(或内切圆)的面积比 等于 相似比的平方 . 1.在△ABC 中,D,E 分别为 AB,AC 上的点,且 DE∥BC,△ADE 的面积是 2cm2,梯形 DBCE 的面积 为 6cm2,则 DE∶BC 的值为 1∶2 . 解析:△ADE∽△ABC,利用面积比等于相似比的平方可得答案. 2.如图,在△ABC 中,D 为 BC 中点,E 在 CA 上且 AE=2CE,AD,BE 相交于点 F,求 解:过点 D 作 DG∥AC 且交 BE 于点 G, 因为点 D 为 BC 的中点,所以 EC=2DG. 因为 AE=2CE,所以 . . 从而 ,所以 .因为 BG=GE,所以 . 3.如图,已知在梯形 ABCD 中,AB∥CD,过 D 与 BC 平行的直线交 AB 于点 E,∠ACE=∠ABC,求 证:AB· CE=AC· DE. 证明:∵AB∥CD,DE∥BC,∴四边形 BEDC 是平行四边形 .∴DE=BC.∵∠ACE=∠ABC,∠EAC=∠BAC, *超越自己,向自己挑战,向弱项挑战,向陋习挑战* 2 模块七 选修系列 第十八讲 选修 4—1 几何证明选讲 ∴△ACE∽△ABC. ∴ 考点二 射影定理的应用 .∴ ,即 AB·CE=AC·DE. 4.直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 在斜边上射影与斜边的 比例中项 . 比例中项 ;两直角边分别是它们 4.如图,已知在△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB 于 D, AC=6,DB=5,则 AD 的长为 4 . 解析:在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB,∴AC2=AB·AD. 设 AD=x,则 AB=x+5,又 AC=6,∴62=x(x+5),即 x2+5x-36=0.解得 x=4(舍去负值),∴AD=4. 5.一直角三角形的两条直角边之比是 1∶3,则它们在斜边上射影的比是 1∶9 . 解析:如图,在直角三角形 ABC 中,∠ACB=90° ,BC∶AC=1∶3,作 CD⊥AB 于 D, 由射影定理得 BC2=BD·AB,AC2=AD·AB,则 故它们在斜边上的射影的比是 1∶9. 考点三 圆周角、弦切角和圆的切线问题 , 5.圆周角定理 (1)圆周角定理 (2)圆心角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 圆心角的度数等于 它所对弧的度数 . 一半 . 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角 相等 ;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. ;90° 的圆周角所对的弦是 直径 . 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是 6.圆的切线的性质及判定定理 直角 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的 推论 1 半径 . 切点 . 经过圆心且垂直于切线的直线必经过 *超越自己,向自己挑战,向弱项挑战,向陋习挑战* 3 模块七 选修系列 第十八讲 选修 4—1 几何证明选讲 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 . 切线 . 判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 7.弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的 圆周角 . 6.如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B,C,∠APC 的平分线分 别交 AB,AC 于点 D,E.证明:∠ADE=∠AED; 证明:∵P

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