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高2012级立体几何测试题学生版附答案


高 2012 级立体几何测试题
班级_________ 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.两条直异面线 a , b 所成角的取值范围是( A (0, ) ) D (0, ? ) 姓名__________

?

2

B (0,

?
2

]

C [0,

?
2

]

2.空间四边形 S ? ABC 各边及对角线相等,若 E , F 分别为 SC,AB 中点,则异面直线 EF 与 SA 所成的角为( A ) C

? 2

B

? 3

? 4

D

? 6

3.E,F 分别是正方形 ABCD 中 AB,BC 中点,沿 DE,DF 把 ? ADE, ? CDF 和 ? BEF 折起, 使 A、B、C 三点重合于点 P,则有( ) A DP ? 平面PEF B DE ? 平面PEF C DF ? 平面PEF D PF ? 平面DEF )

4.A 表示点, m, n, l 表示直线, ? , ? 表示平面,下列命题的逆命题不成立的是(

m A m ? ? , 若n ? ?则
C m ? ? , 若n

n

B m ? ? , 若m ? ? 则?

?

?,l

m则m ? n, l ? n

D m ? ? , n ?? ? A, l是n在?内的射影,若m ? l则m ? n 5.在下列条件中使 M 与 A,B,C 一定共面的是( A OM ? 2OA ?OB ?OC C MA ? MB ? MC ? 0 B OM ? )

1 1 1 OA ? OB ? OC 5 3 2

D OM ? OA ? OB ? OC ? 0 )

6. a ? (2,5, 2), b ? (3,1, ?1) ,则 a 在 b 上的射影的长度是( A 9 11

B

9 11 11

C

3 33 11

D 3 33

7. 一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面, 则这两个二面角大小关系是 ( ) A 相等 B 互补 C 相等或互补 D 不确定 8.设有直线 m,n,平面 ? , ? ,则下列命题中正确的是( A 若m C 若m )

n,m ? ?,n ? ? , 则?

?

B 若m ? ? , m ? n, n ? ? , 则? D 若m

?

n, m ? ? , n ? ? , 则? ? ?

n, n ? ? , m ? ? , 则? ? ?

9.PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面,连结 PB,PC,PD,AC,BD,则一定互相垂直的平 面有( ) A 8对 B 7对 C 6对 D 5对 10.三个平面两两垂直,它们的交线交于一点 O,空间一点 P 到这三个平面的距离之比为 1:2:3,PO= 2 14 ,则 P 到三个面的距离分别是( A 1,2,3 B 3,6,9 C 2,4,6 ) D
?

A
4,8,12

11.把边长为 2 的正 ? ABC 沿 BC 边上的中线 AD 折成 60 的二面角 B-AD-C 后,点 D 到平面 ABC 的距离为( A )

B

3 2

B

1

C

15 5

D

3

B'
)个

D

C

12.与空间四边形 ABCD 四个顶点的距离相等的平面共有( A 4 B 5 C 6 D 7 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13. 点 B 是 A(3,7, ?4 )在 xoz 平面上的射影,则 OB ? __________。 14. 在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中与 AD 成异面且距离等于 a 的棱共有_____条。 15. 已知直线 l ? 平面? ,直线 m ? 平面? ,给出下列命题 ①?

? ? l ? m ,② ? ? ? ? l

m ,③ l

m ? ? ? ? ,④ l ? m ? ?
P E

?

其中正确命题的序号是__________。 16. 如图 PA ? ⊙O 所在平面,AB 是⊙O 的直径, C 是⊙O 上的一点,E、F 分别是点 A 在 PB、PC 上的射影, 给出下列结论① AF ? PB ,② EF ? PB ,③ AF ? BC , ④ AE ? 平面PBC ,其中真命题的序号是_________。 三、解答题(每小题 14 分,共 70 分) 17. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, (1)求 A 点到平面 A 1 BC1 的距离。
A

F O B

C

(2)求二面角 C1 ? BD1 ? C 的大小。

18. 已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 2,E,F,M 分别是 BB 1 , DD 1 , CD 的中点, (1)求证:平面 ADE 平面 B1C1F 。

D1

C1

(2)直线 D1M 与平面 ADE 所成的角。

A1

F

B1 E

D A

M B

C

A

19. 如图: ?BCD 与 ?MCD 都是边长为 2 的正三角形, 平面 MCD ? 平面 BCD,AB ? 平面 BCD,AB= 2 3 , (1)求点 A 到平面 MBC 的距离。 (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。
B C M D

20. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,P 是棱 CC1 上的一点, CP=m, (1)试确定 m,使直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 3 2 。
A1

D1 B1

C1

D

C B

(2)在线段 AC 1 1 上是否存在一个定点 Q,使得对任意的 m, D 1Q 在平 面 APD1 上的射影垂直于 AP,证明你的结论。

A

E

21. 如图所示,已知 AB ? 平面 ACD,DE ? 平面 ACD, ? ACD 为正三角形, AD=DE=2AB,F 为 CD 中点, (1)求证:AF//平面 BCE。 (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE。 (3)求直线 BF 和平面 BCE 所成的角的正弦值。

B

A

高 2012 级立体几何测试题答案
C F D

二、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.答案:B 2.答案:C,补成正方体易得 3.答案:A,PD ? PE, PD ? PF ? PD ? PEF 4.答案:C,C 的逆命题为 m ?

? ,若 m ? n,l ? n ,则 n ? , l

m ,反例如 n ? ? ,

l ? m 或 l 与 m 异面。
5.答案:C, MA ? ?MB ? MC , MA, MB, MC 在同一平面内,从而 M,A,B,C 四点共面。 6.答案:B, cos a, b ?

9 ,从而 a 在 b 上的投影是 a cos a, b = 23 ? 11

9 11

7.答案:D,门所在平面与北墙所在平面构成的二面角和西墙与地面所构成的二面角的两个

半平面垂直,当门转动时,可说明。 8.设有直线 m,n,平面 ? , ? ,则下列命题中正确的是( A 若m C 若m )

n,m ? ?,n ? ? , 则?

?

B 若m ? ? , m ? n, n ? ? , 则? D 若m

?

n, m ? ? , n ? ? , 则? ? ?

n, n ? ? , m ? ? , 则? ? ?

8.答案:D, m

n, n ? ? ? m ? ? , m ? ? ,?? ? ?

9.PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面,连结 PB,PC,PD,AC,BD,则一定互相垂直的平 面有( ) A 8对 B 7对 C 6对 D 5对 9.答案:B,PAB ? PAD , PAB ? ABCD , PAC ? ABCD , PAD ? ABCD , PBC ? PAB, PDC ? PAD , PBD ? PAC 10.答案:C,设 P 到三个平面的距离为 a ,2 a ,3 a ,则 OP 恰好是以 a ,2 a ,3 a 为 棱长的长方体的对角线的长,OP ? a 1 ? 4 ? 9 ? a 14 ,? a ? 2 11.答案:C,取 BC 中点 E,连 AE、DE,可证明 ?ADE ? 90? , ?ADE 边 AE 上的高位所求 距离,而 ?BCD 为正 ? 。 12.答案:D,过高的中点平行于底面的截面有 4 个,过对棱的公垂线段的中点与公垂线垂直 的截面有 3 个,共 7 个。 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.答案:5。.B(3,0, ?4 ), ? OB ? 5 14.答案:4。 A 1B 1 , C1D 1 , BB 1 , CC1 15.答案:①③ 16.答案:①②③。

PA ? 平面ACB, BC ? 平面PAC,AF ? 平面PBC
三、解答题(每小题 14 分,共 70 分) 17. (1,0,0), C (0,1,0), B (1,1,0), 解 : (1) 建 系 如 图 , 则 A ,A , C ( ( 1 0,1,1) 1 1,0,1)
A1

z D1 C1

B1

, AB ? (0,1,0) , A D ( 1 0,0,1) 1B ? (0,1, ?1) , AC 1 1 ? (?1,1,0) ,设平面

A1BC1











n ? ( x, y, z)




x A

D B

C

y

? ?y ? z ? 0 ?n ? A1B ? 0 ?? ? ? ?n ? A1C1 ? 0 ?? x ? y ? 0

d ,则 d ? 令 x ? 1 ,则 n ? (1,1,1) ,设 A 到平面 A 1 BC1 的距离为

AB ? n n

?

1 3 ? 3 3

? A 到平面 A1BC1 的距离为

3 。 3

(2) BD1 ? (?1, ?1,1) , C1B ? (1,0, ?1) , BC ? (?1,0,0) ,设平面 C1BD1 、平面 BD1C 的法向 量为 n1 ? ( x1, y1, z1 ), n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , 则?

?n1 ? BD ? 1 ?0

?? x ? y ? z ? 0 , 取 n1 ? 1 ?? 1 1 1 0 , ( ) , x ? z ? 0 n ? C B ? 0 ? 1 1 ? ? 1 1

? ?n2 ? BD1 ? 0 ?? x2 ? y2 ? z2 ? 0 ?? ,取 n2 ? (0,1,1) , 设二面角 C1 ? BD1 ? C 的平面角为 ? , ? ? x ? 0 n ? BC ? 0 ? 2 ? ? 2
则 cos ? =

n1 ? n2 n1 n2

=

? ? 1 1 ? ,又 ? ? (0, ?) ,?? ? ,? 二面角 C1 ? BD1 ? C 为 。 3 3 2 2 2

18. 解:建系如图,则 D(0,0,0) , A(2, 0, 0) , C (0, 2,0) ,

D1
C1 (0, 2, 2) , E (2, 2,1) , F (0, 0,1) , M (0,1,0) , D1 (0,0, 2)

C1

? FC1 ? (0, 2,1) , DA ? (2,0,0) , AE ? (0,2,1) , D1M ? (0,1, ?2)

A1

F

B1 E

设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 分别是平面 ADE、平面 B1C1F 的法向量,则 n1 ? DA ,

D

M B

C

?x ? 0 A ?2 x ? 0 ? 即? 令 y ? 1 则 n1 ? (0,1, ?2) , n1 ? AE ,? ? 1 , ?2 y ? z ? 0 ? y ? ? z ? 2
同理可得 n2 ? (0,1, ?2) (1) (2)

n1 n1

n2 ,? 平面 ADE//平面 B1C1F D1M ,? D1M ? 平面 ADE,即直线 D1M 与平面 ADE
A

所成角为

? 。 2

19. 解:取 CD 中点 O 连 OB、OM,则 OB ? CD, OM ? CD , 又平面 MCD ? 平面 BCD,则 MO ? 平面 BCD, 取 O 为原点,直线 OC,BO,OM 为
M B D

C

x 轴, y 轴, z 轴建系如图,
OB=OM= 3 ,则 C (1, 0, 0) , M (0,0, 3) ,

B(0, ? 3,0) , A(0, ? 3, 2 3)
(1) 设 n ? ( x, y, z) 是平面 MBC 的法向量, 则 BC(1, 3,0), BM (0, 3, 3), 由 n ? BC 得 x ? 3 y ? 0 ,由 n ? BM 得 3 y ? 3z ? 0 ,

A z

M
取 n ? ( 3, ?1,1) , BA ? (0,0, 2 3) 则

B

D O y

d?

BA ? n n

?

2 15 。 5

x

C

(2) CM ? (?1,0, 3), CA ? (?1, ? 3, 2 3), 设平面 ACM 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,由

?? x ? 3z ? 0 ? ,解得 x ? 3z, y ? z ,取 n1 ? ( 3,1,1) ,又 n1 ? CM , n1 ? CA 得 ? ? x ? 3 y ? 2 3 z ? 0 ? ?
平面 BCD 的法向量为 n2 ? (0,0,1) ,? cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 n1 n2

?

1 5

设所求二面角为 ? ,则 sin ? ? 20.

2 5 。 5

z D1 B1 P G D A x B C C1

解 : ( 1 ) 建 系 如 图 , 则 A(1, 0, 0) ,

B(1,1, 0) , D1 (0,0,1) , C (0,1, 0) ,

A1

y

D(0,0,0) , P(0,1, m) , B1 (1,1,1) ? BD ? (?1, ?1,0), BB1 ? (0,0,1) ,

AP ? (?1,1, m) , AC ? (?1,1,0) ,又由 AC ? BD ? 0 , AC ? BB1 ? 0

知 AC 为平面 BB1D1D 的一个法向量,设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为 ? ,

则 sin ? ?

AP ? AC AP AC

?

2 2 2?m
2

,由题意

2 2 2?m
2

?

3 2 1 ? (3 2) 2



1 1 ? m ? ,故当 m= 时,直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 3 2 。 3 3
(2)若在 AC 1 1 上存在这样的点 Q, 设此点的横坐标为 x, 则 Q ( x,1 ? x,1) , D1Q ? ( x,1 ? x,0) , 由题意对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP,? D1Q ? AP ,即 D1Q ? AP ? 0 ,?? x ? (1 ? x) ? 0 ,

?x ?

1 ,即 Q 为 AC 1 上的射影垂直于 AP。 1 1 的中点时, D 1Q 在平面 APD 2

21. 解:设 AD=DE=2AB=2 a ,建系如图, 则 A(0,0,0),C(2 a ,0,0),B(0,0, a ),D( a , 3 a ,0),E( a , 3 a ,2 a ),

z B E

3 3 F 为 CD 的中点,? F ( a, a, 0) 2 2
(1)

A C x F D y

3 3 BE ? BC , AF ? ( a, a, 0) , BE ? (a, 3a, a) , BC ? (2a,0, ?a) ,? AF ? 2 2 2
AF ? 平面 BCE,? AF 平面 BCE

另解,设平面 BCE 的法向量为 n ? ( x, y, z) , BC ? (2a,0, ?a) , CE ? (?a, 3a, 2a) 由?

? ?n ? BC ? 0

? ?n ? CE ? 0 3 2 3 2 则 AF ? n ? a ? a ? 0 ,? AF 平面 BCE 2 2
(2)

得?

? ?2ax ? az ? 0 ,取 n ? (a, ? 3a, 2a) ? ax ? 3 ay ? 2 az ? 0 ? ?

3 3 AF ? ( a, a, 0) , CD ? (?a, 3a,0) , ED ? (0,0, ?2a) ,又 2 2

AF ? CD ? 0 ,

AF ? ED ? 0 ,? AF ? CD, AF ? ED ,? AF ? 平面 CDE,又

AF

平面 BCE

? 平面 BCE ? 平面 CDE
(3) BF ? ( a,

3 2

3 a, ?a) ,设 BF 与平面 BCE 所成角为 ? , 2

3 3 ( a, a, ?a )(a, ? 3a, 2a) BF ? n 2a 2 2 2 ? 2 则 sin ? ? ? ? 2 4 2a ? 2 2a 4 2a BF n

所以直线 BF 和平面 BCE 所成的角的正弦值为

2 。 4


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