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2016高考数学二轮复习微专题强化练课件:26函数与方程的思想、分类讨论的思想


走向高考 ·数学
高考二轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一部分
微专题强化练

第一部分



增分指导练

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第一部分 二 增分指导练

26(文24) 函数与方程的思想、 分类讨论的思想

第一部分



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1

考 向 分 析

2

考 题 引 路

3

强 化 训 练

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考向分析

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1 .通过函数的零点、函数的最值、方程根的个数及分类

讨论,考查函数与方程的关系及应用.
2 .通过函数、数列、平面向量、三角、不等式、面积与 体积计算及解析几何等知识考查方程思想的应用.

3 .通过数学概念、公式、性质、定理的限制条件、几何
图形的形状、位置关系,含参数的讨论等考查分类讨论思想的 应用.

第一部分



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考题引路

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考例1

(2015·新课标Ⅱ理,13)设向量a,b不平行,向量 考查向量共线和方程思想的应用;利用共

λa+b与a+2b平行,则实数λ=________.
[立意与点拨 ]
1 2

线条件列方程求解.
[答案]

[解析] 因为向量 λa+b 与 a+2b 平行,所以 λa+b=k(a
? ?λ=k, +2b),则? ? ?1=2k,

1 所以 λ=2.

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考例2 (文)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).

(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围. [立意与点拨 ] 考查导数的运算,导数在研究函数中的应

用和分类讨论思想;(1)由f′(x)为二次函数借助判别式确定其单
调区间;(2)由f(x)的单调性建立关于a的不等式求解.

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[解析] 36(1-a).

(1)f′(x)=3ax2+6x+3,f′(x)=0 的判别式 Δ=

①若 a≥1,则 Δ≤0,因此 f′(x)≥0,且 f′(x)=0 当且仅 当 a=1,x=-1,故此时 f(x)在 R 上是增函数. ②由于 a≠0,故当 a<1 时,f′(x)=0 有两个根: -1+ 1-a -1- 1-a x1 = ,x2= . a a

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若 0<a<1,则当 x∈(-∞,x2)或 x∈(x1,+∞)时 f′(x)>0, f(x)分别在(-∞,x2),(x1,+∞)是增函数; 当 x∈(x2,x1)时 f′(x)<0,故 f(x)在(x2,x1)是减函数; 若 a<0,则当 x∈(-∞,x1)或(x2,+∞)时 f′(x)<0,故 f(x) 分别在(-∞,x1),(x2,+∞)上是减函数; 当 x∈(x1,x2)时 f ′(x)>0,故 f(x)在(x1,x2)上是增函数.

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(2)当 a>0,x>0 时,f′(x)=3ax2+6x+3>0,故当 a>0 时, f(x)在区间(1,2)是增函数. 当 a<0 时,f(x)在区间(1,2)时是增函数当且仅当 f′(1)≥0 5 且 f′(2)≥0,解得-4≤a<0. 5 综上,a 的取值范围是[-4,0)∪(0,+∞).

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(理)(2015· 陕西理,21)设 fn(x)是等比数列 1,x,x2,…,xn 的各项和,其中 x>0,n∈N,n≥2. (1)证明: 函数 Fn(x)=fn(x)-2 1 1 n +1 (记为 xn),且 xn=2+2xn ; (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同 的等差数列,其各项和为 gn(x),比较 fn(x)和 gn(x)的大小,并加 以证明.
?1 ? 在?2,1?内有且仅有一个零点 ? ?

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[立意与点拨]

考查等比数列、函数的零点、利用导数研

究函数的性质及函数思想、转化思想、分类讨论思想;解答本 题第(1)问可转化为函数在区间端点值异号且函数单调,第(2)问

建立辅助函数h(x)=fn(x)-gn(x),通过数列求和、导数研究h(x)
的符号来比较大小.

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[解析] (1)Fn(x)=fn(x)-2=1+x+x2+…+xn-2, 则 Fn(1) 1 n +1 1-?2? 1 1 12 1n =n-1>0, Fn(2)=1+2+(2) +…+(2) -2= 1 -2=- 1-2 1 1 2n<0,所以 Fn(x)在(2,1)内至少存在一个零点.又 F′n(x)=1 1 n -1 +2x+…+nx >0,故 Fn(x)在(2,1)内单调递增,所以 Fn(x) 1 在(2,1)内有且仅有一个零点 xn.因为 xn 是 Fn(x)的零点,所以 +1 1-xn 1 1 n +1 n Fn(xn)=0,即 -2=0,故 xn=2+2xn . 1-xn
第一部分 二 增分指导练

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?n+1??1+xn? (2)由题设,gn(x)= ,设 h(x)=fn(x)-gn(x)=1 2
n ? n + 1 ?? 1 + x ? 2 n +x+x +…+x - ,x>0. 2

当 x=1 时,fn(x)=gn(x);
n-1 n ? n + 1 ? x 当 x≠1 时,h′(x)=1+2x+…+nxn-1- ; 2

若 0<x<1,h′(x)>x

n-1

+2x

n-1

+…+nx

n-1

n?n+1? n-1 - 2 x

n?n+1? n-1 n?n+1? n-1 = 2 x - 2 x =0,
第一部分 二 增分指导练

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若 x>1,h′(x)<x

n-1

+2x

n-1

+…+nx

n -1

n?n+1? n-1 - 2 x

n?n+1? n-1 n?n+1? n-1 = 2 x - 2 x =0, 所以 h(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 所以 h(x)<h(1)=0,即 fn(x)<gn(x). 综上所述,当 x=1 时,fn(x)=gn(x); 当 x≠1 时,fn(x)<gn(x).

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