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抛物线典例专练12题(精编版)


抛物线典例专练 12 题(精编版)
典型例题一 例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程. (1) x 2 ? 4 y (2) x ? ay2 (a ? 0)

分析: (1)先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种,求出 p,再写出焦点 坐标和准线方程. (2)先把方程化为标准方程形式,再对 a 进行讨论,确定是哪一种后,求 p 及 焦点坐标与准线方程. 解: (1)? p ? 2 ,∴焦点坐标是(0,1) ,准线方程是: y ? ?1 (2)原抛物线方程为: y 2 ? ①当 a ? 0 时,
1 1 x ,? 2 p ? a a

p 1 ? ,抛物线开口向右, 2 4a 1 1 ∴焦点坐标是 ( ,0) ,准线方程是: x ? ? . 4a 4a p 1 ②当 a ? 0 时, ? ? ,抛物线开口向左, 2 4a 1 1 ∴焦点坐标是 ( ,0) ,准线方程是: x ? ? . 4a 4a

综合上述, 当 a ? 0 时, 抛物线 x ? ay2 的焦点坐标为 (

1 1 ,0 ) , x?? 准线方程是: . 4a 4a

典型例题二 例 2 若直线 y ? kx ? 2 与抛物线 y 2 ? 8x 交于 A、 B 两点, 且 AB 中点的横坐标为 2, 求此直线方程. 分析: 由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k 的方程求解.另由于已知与直线 斜率及弦中点坐标有关,故也可利用“作差法”求 k.
? y ? kx ? 2 解法一: 设 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ) , 则由:? 2 可得:k 2 x 2 ? (4k ? 8) x ? 4 ? 0 . ? y ? 8x

∵直线与抛物线相交,? k ? 0 且 ? ? 0 ,则 k ? ?1 .
1

∵AB 中点横坐标为:?

x1 ? x2 4k ? 8 ? ?2, 2 k2

解得: k ? 2 或 k ? ?1 (舍去) . 故所求直线方程为: y ? 2 x ? 2 . 解法二:设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则有 y1 ? 8x1 两式作差解: ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 8( x1 ? x2 ) ,即
2

y2 ? 8x2 .
y1 ? y2 8 ? . x1 ? x2 y1 ? y2

2

? x1 ? x2 ? 4 ? y1 ? y2 ? kx1 ? 2 ? kx2 ? 2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 4k ? 4 ,

?k ?

8 故 k ? 2 或 k ? ?1 (舍去) . 4k ? 4

则所求直线方程为: y ? 2 x ? 2 .

典型例题三 例 3 求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切. 分析:可设抛物线方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) .如图所示,只须证明 则以 AB 为直径的圆,必与抛物线准线相切. 证明:作 AA 1 ?l 于 A 1 , BB 1 ? l 于 B1 .M 为 AB 中点,作
MM1 ? l 于 M 1 ,则由抛物线的定义可知:

AB 2

? MM1 ,

AA 1 ? AF , BB 1 ? BF
在直角梯形 BB1 A1 A 中:
1 1 1 ( AA1 ? BB1 ) ? ( AF ? BF ) ? AB 2 2 2 1 ? MM 1 ? AB ,故以 AB 为直径的圆,必与抛物线的准线相切. 2 MM 1 ?

说明:类似有:以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离,以双曲线焦点弦 为直径的圆与相应的准线相交. 典型例题四 例 4(1)设抛物线 y 2 ? 4x 被直线 y ? 2 x ? k 截得的弦长为 3 5 ,求 k 值.
2

(2)以(1)中的弦为底边,以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形,当三角形的面积 为 9 时,求 P 点坐标. 分析: (1)题可利用弦长公式求 k, (2)题可利用面积求高,再用点到直线距离 求 P 点坐标.

? y2 ? 4x 解: (1)由 ? 得: 4x 2 ? (4k ? 4) x ? k 2 ? 0 ? y ? 2x ? k
k2 设直线与抛物线交于 A( x1 , y1 ) 与 B( x2 , y2 ) 两点.则有: x1 ? x2 ? 1 ? k , x1 ? x2 ? 4

? AB ? (1 ? 2 2 )(x1 ? x 2 ) 2 ? 5 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 5 (1 ? k ) 2 ? k 2 ? 5(1 ? 2k )

?

?

?

?

? AB ? 3 5,? 5(1 ? 2k ) ? 3 5 ,即 k ? ?4
(2)? S ? ? 9 ,底边长为 3 5 ,∴三角形高 h ? ∵点 P 在 x 轴上,∴设 P 点坐标是 ( x0 ,0) 则点 P 到直线 y ? 2 x ? 4 的距离就等于 h,即

2?9 6 5 ? 5 3 5

2 x0 ? 0 ? 4 22 ? 12

?

6 5 5

. ? x0 ? ?1 或 x0 ? 5 ,即所求 P 点坐标是(-1,0)或(5,0)

典型例题五 例 5 已知定直线 l 及定点 A(A 不在 l 上) ,n 为过 A 且垂直于 l 的直线,设 N 为 l 上任一点,AN 的垂直平分线交 n 于 B,点 B 关于 AN 的对称点为 P,求证 P 的轨迹为抛物线. 分析:要证 P 的轨迹为抛物线,有两个途径,一个证明 P 点的轨迹符合抛物线的 定义, 二是证明 P 的轨迹方程为抛物线的方程, 可先用第一种方法, 由 A 为定点,

l 为定直线,为我们提供了利用定义的信息,若能证明 PA ? PN 且 PN ? l 即可.
证明:如图所示,连结 PA、PN、NB. 由已知条件可知:PB 垂直平分 NA,且 B 关于 AN 的对称点为 P. ∴AN 也垂直平分 PB.则四边形 PABN 为菱形.即有 PA ? PN .
3

? AB ? l. ? PN ? l.

则 P 点符合抛物线上点的条件:到定点 A 的距离与到定直线的距离相等,所以 P 点的轨迹为抛物线.

典型例题六
2 例 6 若线段 P F 为 C 的焦点, 求证: 1P 2 为抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的一条焦点弦,

1 1 2 ? ? . P P2 F p 1F

分析:此题证的是距离问题,如果把它们用两点间 的距离表示出来,其计算量是很大的.我们可以用 抛物线的定义,巧妙运用韦达定理,也可以用抛物 线的定义与平面几何知识,把结论证明出来.
p 证法一:? F ( ,0) ,若过 F 的直线即线段 P 1P 2 所在 2

直线斜率不存在时, 则有 P 1F ? P 2 F ? p ,?
1 1 1 1 2 ? ? ? ? . P P2 F p p p 1F

p )( k ? 0) ,且 若线段 P 1P 2 所在直线斜率存在时,设为 k,则此直线为: y ? k ( x ? 2

设P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) .
? y ? k(x ? ? ? 由? ? y ? k(x ? ? ?
? x1 ? x2 ?

p ) k 2 p2 2 ?0 得: k 2 x 2 ? p(k 2 ? 2) x ? p 4 ) 2

p(k 2 ? 2) k2



x1 ? x2 ?

p2 4


p p , P2 F ? x1 ? ,? P1 P2 ? x1 ? x 2 ? p 2 2

根据抛物线定义有: P1 F ? x1 ?

4



P F ? P2 F x1 ? x 2 ? p x1 ? x 2 ? p 1 1 ? ? ? ? 1 p p p p2 P P2 F P 1F 1F ? P 2F ( x1 ? )(x 2 ? ) x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 2 2 2 4
1 1 2 ? ? P P2 F p 1F

请将①②代入并化简得:

? ? 证法二:如图所示,设 P1 、P2 、F 点在 C 的准线 l 上的射影分别是 P1 、P2 、F ? ,

? FF ? 、 P ? 且不妨设 P2 P2? ? n ? m ? P 1P 1 上的射影分别是 A 、 B 点, 2 点在 1P 1 ,又设 P

由抛物线定义知,

? P2 F ? n, P 1F ? m, FF ? p
又 ?P2 AF ∽ ?P2 BP 1 ,? 即
p?n n ? m?n m?n

AF BP 1

?

P2 F P2 P 1

? p ( m ? n) ? 2m n 1 1 2 ? ? ? m n p

故原命题成立.

典型例题七 例 7 设抛物线方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,过焦点 F 的弦 AB 的倾斜角为 ? ,求证: 焦点弦长为 AB ?
2p . sin 2 ?

分析:此题做法跟上题类似,也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题.
p 证法一:抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 ( ,0) , 2 p 过焦点的弦 AB 所在的直线方程为: y ? tan ? ( x ? ) 2

p ? ? y ? tan? ( x ? ) 由方程组 ? 2 消去 y 得: 2 ? y ? 2 px ?
4x 2 tan2 ? ? 4 p(tan2 ? ) ? p 2 tan2 ? ? 0
5

? p(tan2 ? ? 2) x ? x ? ? p(1 ? 2 cot2 ? ) ? 2 ? 1 2 tan ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? 2 ?x ? x ? p 1 2 ? 4 ?

又 y1 y2 ? tan? ( x1 ? x2 )

? AB ? (1 ? tan2 ? )(x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? tan2 ? ) ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
2

?

?

? 2 p2 ? 2 ? (1 ? tan ? ) ? p (1 ? cot ? ) ? 4 ? ? 4? ? ? sec 2 ? ? 4 p 2 cot2 ? (1 ? cot2 ? ) ? 4 p2 ? ? 2p sin 2 ?
2p sin 2 ?

1 sin 4 ?

即 AB ?

证法二:如图所示,分别作 AA 1 、 BB 1 垂直于准线 l.由抛物线定义有:
AF ? AA1 ? AF ? cos? ? p BF ? BB1 ? p ? BF ? cos?
p p BF ? 1 ? cos ? 1 ? cos ?

于是可得出: AF ?
? AB ? AF ? BF

p p ? 1 ? cos? 1 ? cos? 2p ? 1 ? cos2 ? 2p ? sin 2 ? ?

故原命题成立. 典型例题八 例 8 已知圆锥曲线 C 经过定点 P(3,2 3) ,它的 一个焦

点为 F(1,0) ,对应于该焦点的准线为 x ? ?1 ,过焦点 F 任意作曲线 C 的弦 AB, 若弦 AB 的长度不超过 8,且直线 AB 与椭圆 3x 2 ? 2 y 2 ? 2 相交于不同的两点,求
6

(1)AB 的倾斜角 ? 的取值范围. (2)设直线 AB 与椭圆相交于 C、D 两点,求 CD 中点 M 的轨迹方程. 分析:由已知条件可确定出圆锥曲线 C 为抛物线,AB 为抛物线的焦点弦,设其 斜率为 k,弦 AB 与椭圆相交于不同的两点,可求出 k 的取值范围,从而可得 ? 的 取值范围,求 CD 中点 M 的轨迹方程时,可设出 M 的坐标,利用韦达定理化简即 可. 解: (1)由已知得 PF ? 4 .故 P 到 x ? ?1 的距离 d ? 4 ,从而 PF ? d ∴曲线 C 是抛物线,其方程为 y 2 ? 4x . 设直线 AB 的斜率为 k,若 k 不存在,则直线 AB 与 3x 2 ? 2 y 2 ? 2 无交点. ∴k 存在.设 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)
? y2 ? 4x 由? 可得: ky2 ? 4 y ? 4k ? 0 ? y ? k ( x ? 1)

设 A、B 坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ,则: y1 ? y2 ?

4 k

y1 ? y2 ? ?4

? AB ? (1 ?

1 )( y1 ? y2 ) 2 2 k

1? k 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 k 4(1 ? k 2 ) ? k2
4(1 ? k 2 ) ? 8 即 k2 ?1 ∵弦 AB 的长度不超过 8,? 2 k
? y ? k ( x ? 1) 由? 2 得: (2k 2 ? 3) x 2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ?1) ? 0 2 3 x ? 2 y ? 2 ?

∵AB 与椭圆相交于不同的两点,? k 2 ? 3 由 k 2 ? 1 和 k 2 ? 3 可得: 1 ? k ? 3 或 ? 3 ? k ? ?1 故 1 ? tan? ? 3 或 ? 3 ? tan? ? ?1 又 0 ? ? ? ? ,∴所求 ? 的取值范围是:

?
4
7

?? ?

?
3



2? 3? ?? ? 3 4

(2)设 CD 中点 M ( x, y) 、 C ( x3 , y3 ) 、 D( x4 , y4 )
? y ? k ( x ? 1) 由? 2 得: (2k 2 ? 3) x 2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ?1) ? 0 2 3 x ? 2 y ? 2 ?

4k 2 2(k 2 ? 1) , x ? x ? 3 1 2k 2 ? 3 2k 2 ? 3 x ?x 2k 2 ?x ? 3 4 ? 2 2 2k ? 3 3 ? x ? 1? 2 2k ? 3 2 ?1 ? k ? 3 ? x3 ? x4 ? ? 5 ? 2k 2 ? 3 ? 9 2 1 2 2 2 ? 即 ?x? . 则 ? 1? 2 5 2k ? 3 3 5 3

?k ?

y x ?1 2?

y2 2k 2 ( x ? 1) 2 ?x ? 2 ? y2 2k ? 3 2? ?3 ( x ? 1) 2

化简得: 3x 2 ? 2 y 2 ? 3x ? 0
2 2 ∴所求轨迹方程为: 3x 2 ? 2 y 2 ? 3x ? 0( ? x ? ) 5 3

典型例题九 例9 定长为 3 的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 y 2 ? x 上移动,求 AB 的中点到

y 轴的距离的最小值,并求出此时 AB 中点的坐标.

分析:线段 AB 中点到 y 轴距离的最小值,就是其横坐标的最小值.这是中点坐 标问题,因此只要研究 A 、 B 两点的横坐标之和取什么最小值即可. 解:如图,设 F 是 y 2 ? x 的焦点, A 、 B 两点到准线的垂线分别是 AC 、 BD , 又 M 到准线的垂线为 MN , C 、 D 和 N 是垂足,则

8

1 1 1 3 ( AC ? BD ) ? ( AF ? BF ) ? AB ? . 2 2 2 2 1 3 1 5 设 M 点的横坐标为 x ,纵坐标为 y , MN ? x ? ,则 x ? ? ? . 4 2 4 4 MN ?

等式成立的条件是 AB 过点 F . 当x?
5 1 时, y1 y2 ? ? P 2 ? ? ,故 4 4 1 2 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? y1 ? y2 ? 2 y1 y2 ? 2 x ? ? 2 , 2

y1 ? y2 ? ? 2 , y ? ?

2 . 2

5 5 2 ) ,此时 M 到 y 轴的距离的最小值为 . 所以 M ( , ? 4 4 2

说明: 本题从分析图形性质出发, 把三角形的性质应用到解析几何中, 解法较简. 典型例题十 例 10
B 两点, 过抛物线 y ? 2 px 的焦点 F 作倾斜角为 ? 的直线, 交抛物线于 A 、

求 AB 的最小值. 分析: 本题可分 ? ? 再求范围. 解:(1)若 ? ? (2)若 ? ?

? ? ? 和 ? ? 两种情况讨论. 当 ? ? 时, 先写出 AB 的表达式, 2 2 2

? ,因有两交点,所以 ? ? 0 . 2 p y p AB :y ? tan ? ( x ? ) ,即 x ? ? . 2 tan ? 2 2 p y ? p2 ? 0 . 代入抛物线方程,有 y 2 ? tan ?
故 ( y2 ? y1 ) 2 ?
4 p2 ? 4 p 2 ? 4 p 2 csc2 ? , 2 tan ?
9

? ,此时 AB ? 2 p . 2

( x2 ? x1 ) 2 ?
2

2 ( y2 ? y1 ) 2 2 csc ? ? 4 p . tan2 ? tan2 ?

故 AB ? 4 p 2 csc 2 ? (1 ? 所以 AB ?

2p ? ? 2 p .因 ? ? ,所以这里不能取“=”. 2 2 sin ?

1 ) ? 4 p 2 csc 4 ? . tan 2 ?

综合(1)(2),当 ? ? 说明:

? 时, AB 最小值 ? 2 p . 2

? ? 和 ? ? 两种情况进行讨论; 2 2 2p (2)从解题过程可知,抛物线点弦长公式为 l ? ; sin 2 ? ? (3)当 ? ? 时, AB 叫做抛物线的通径.通径是最短的焦点弦. 2
(1)此题须对 ? 分 ? ? 典型例题十一 例 11 过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 作弦 AB , l 为准线,过 A 、 B 作 l 的 ) ,② ?AF ' B 为( D 不确定 ) .

垂线,垂足分别为 A' 、 B ' ,则① ?A' FB ' 为( A.大于等于 90 ? B.小于等于 90 ?

C.等于 90 ?

分析:本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识,关键是求角 的大小以及判定直线与圆是否相切.

解:①点 A 在抛物线上,由抛物线定义,则 AA ' ? AF ? ?1 ? ?2 , 又 AA' // x 轴 ? ?1 ? ?3 . ∴ ?2 ? ?3 ,同理 ?4 ? ?6 ,
10

而 ?2 ? ?3 ? ?6 ? ?4 ? 180 ? ,∴ ?3 ? ?6 ? 90? , ∴ ?A' FB' ? 90? .选 C. ②过 AB 中点 M 作 MM ' ? l ,垂中为 M ' , 则 MM ' ?
1 1 1 ( AA ' ? BB ' ) ? ( AF ? BF ) ? AB . 2 2 2

∴以 AB 为直径的圆与直线 l 相切,切点为 M ' . 又 F ' 在圆的外部,∴ ?AF ' B ? 90? . 特别地,当 AB ? x 轴时, M ' 与 F ' 重合, ?AF ' B ? 90? . 即 ?AF ' B ? 90? ,选 B. 典型例题十二 例 12 已知点 M (3 , 2) , F 为抛物线 y 2 ? 2x 的焦点,点 P 在该抛物线上移动,

当 PM ? PF 取最小值时,点 P 的坐标为__________. 分析:本题若建立目标函数来求 PM ? PF 的最小值是困难的,若巧妙地利用抛 物线定义,结合图形则问题不难解决. 解:如图,

1 由定义知 PF ? PE ,故 PM ? PF ? PF ? PM ? ME ? MN ? 3 . 2

取等号时, M 、 P 、 E 三点共线,∴ P 点纵坐标为 2,代入方程,求出其横坐标 为 2, 所以 P 点坐标为 (2 , 2) .

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