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湖南省2013届高三十二校联考第二次联考数学及答案


2013 届高三考前模拟卷数学(理)试题
本试卷共 4 页,共 22 题,其中第 15、16 题为选考题。满分 150 分,考试用时 120 分钟。

★祝考试顺利★
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上的指定位置, 用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框 涂黑。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再炫图其他答案标号。打在试题卷、草稿纸上无 效。 3.填空题和解答题的作答: 用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上制定的位置用统一提供的 2B 铅笔涂 黑。考生应根据自己选作的题目准确填涂题号,不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区 域内,打在试题卷、草稿纸上无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 ,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1.设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {a, a } ,若 M ? N ? N ,则 a 的值是 ( ) A.1 B.0 C.-1 D.1 或-1
2

2.复数

i

2013

2i ? 1

(为虚数单位)的虚部是( B.
1 5

) C. ? i
5 1

A. i
5

1

D. ?

1 5

3.“ ? ? ?

??

? 2 2 , ? ? ”是“方程 x ? y cos ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线”的( ?2 ?


3

A.充分而不必要条件 C.充要条件
? ??

4.设非零向量 a、 c ,满足 | a |?| b |?| c | , | a ? b |?| c | ,则 sin ? a, b ? = ( b、 A. ?
1 2

?

?

?

?

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
? ? ? ?

)

1 2

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

正视图

5.已知三棱锥的底面是正三角形,其正视图与俯视图如图所示, 则其侧视图的面积为( ... A.
3 2

) B.
33 8

C.

3 4

D.

3 2

俯视图 第 5 题图

6.如下图,是把二进制数 1111( 2) 化成十进制数的一个程序框图,判断框内可以填入的条件 是( ) A. i ? 3 B. i ? 3 C. i ? 4 D. i ? 4

7.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ? 则? f(
n ?1 2013

?
2

) 的部分图像如图,

n? 6

) ?(

) B.
1 2

A. ?1

C.

D. 0

8. 一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为 3 的球,则该棱柱体积 ... 的最大值为( ) A.
2 3 3

B. 3 3

C.

3 3 2

D. 6 3

9.宜昌市科协将 12 个参加青少年科技创新大赛的名额分配给 3 个学校,要求每个学校至少 有一个名额且各校分配的名额互不相等,则不同的分配方法种数为( ) A.36 B.42 C.48 D.54 10.定义域是一切实数的函数 y ? f ( x) ,其图象是连续不断的,且存在常数 ? (? ? R ) 使得
f ( x ? ? ) ? ? f ( x ) ? 0 对任意实数 x 都成立,则称 f ( x ) 是一个“ ? 的相关函数”.有下列

关于“ ? 的相关函数”的结论:① f ( x) ? 0 是常数函数中唯一一个“ ? 的相关函数”; ② f ( x) ? x 是一个“ ? 的相关函数”;③ “
2

1 2

的相关函数”至少有一个零点.

其中正确结论的个数是( .. A. B. 2

) C. 3 D. 0

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填 在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分 ....... (一)必考题
频率

11. ( x ? ) 的展开式中的常数项为______.
2 6

1 x

0.50 0.44

组距

12.在长为 10 cm 的线段 AB 上任取一点 C,并以 线段 AC 为边作正方形,这个正方形的面积介于 25 2 2 . cm 与 49 cm 之间的概率为 13.对某小区 100 户居民的月均用水量进行统计, 得到样本的频率分布直方图,则估计此样本的众数 是 ______;中位数是 ______. 14. 某种平面分形图如下图所示,一级分形图是由 一点出发的三条线段,长度均为 1,两两夹角

0.30 0.16 0.08 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 用水量(吨)
第 13 题图

为 120°;二级分形图是在一级分形图的每一条线段末端出发再生成 两条长度均为原来 的线段;且这两条线段与原线段两两夹角 为 120°; ? ;依次规律得到 n 级分形图. 则(1) n 级分形图中共有 条线段.

1 3

(2) n 级分形图中所有线段长度之和为

.

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第 15 题作答结果计分) 15.(选修 4—1:几何证明选讲)如图, PA 与圆 O 相切于 A , PCB 为圆 O 的割线,并且 不过圆心 O ,已知 ?BPA ? 300 , PA ? 2 3 , PC ? 1 ,则圆 O 的半径等于 16.(选修 4—4:坐标系与参数方程)设 A、B 分别为直线
? x ? ?10 ? 3t ? l:? (t 为参数)和曲线 C : ? ? 4 cos ? 上的点, ? y ? 3t ?

.

则 AB 的最小值为



三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分) ? ? ?? 已知函数 f ( x) ? 2 ? sin(2 x ? ) ? 2 sin 2 x, x ? ?0, ?
6 ? 2?

(1)求函数 f ( x) 的值域;
b、 若 (2) ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、 c , f ( ) ? 1, b ? 1, c ? 3 求 a 的值. 记
2 B

18.(本小题满分 12 分) 已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 3 项和 S3 =9,且 a1 、 a2 、 a5 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式和前 n 项和 S n . (2)设 Tn 为数列 {
? 的最小值.
1 an an ?1 } 的前 n 项和,若 Tn ? ? an ?1 对一切 n ? N 恒成立,求实数
?

19.(本小题满分 12 分) P 如图,在底面是正方形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 面 ABCD , BD 交 AC 于点 E , F 是 PC 中点, G 为 AC 上一点. (1)确定点 G 在线段 AC 上的位置,使 FG //平面 PBD ,并说明理由. (2)当二面角 B ? PC ? D 的大小为
2π 3
A E G B C D

时,求 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值.

F

20.(本小题满分 12 分) 在我校第十六届科艺读书节活动中,某班 50 名学生参加智力答题活动,每人回答 3 个 问题,答对题目个数及对应人数统计结果见下表: 答对题目个数 0 1 2 3 人数 5 10 20 15 根据上表信息解答以下问题: (1)从 50 名学生中任选两人,求两人答对题目个数之和为 4 或 5 的概率; (2)从 50 名学生中任选两人,用 X 表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值,求随 机变量 X 的分布列及数学期望 E ( X ) . 21.(本小题满分 13 分) 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”. 如图,“盾圆 C ”是由椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 与抛物线 y ? 4 x 中两段曲线弧合
2

成,F1、 2 为椭圆的左、 右焦点,F2 (1, 0) .A 为椭圆与抛物线的一个公共点, AF2 ? F (1)求椭圆的方程; (2)求定积分时,可以使用下面的换元法公式:函数 y ? f ( x) 中,令 x ? ? (t ) ,

5 2



则 ? f ( x)dx ? ? f ?? (t ) ? d? (t ) ? ? f ?? (t ) ?? ?(t )dt (其中 a ? ? (t1 ) 、 ? ? (t2 ) ). b
a t1 t1

b

t2

t2

如?

1

?

?

?

?

1 ? x dx ?
2

0

?

2

1 ? sin t d (sin t ) ?
2

0

?

2

cos t (sin t )?dt ?

0

?

2

cos tdt ?
2

0

?

2

1 ? cos 2t 2

dt .

0

阅读上述文字,求“盾圆 C ”的面积. N G H (3) F2 作一条与 x 轴不垂直的直线, 过 与“盾圆 C ”依次交于 M 、 、 、 四点,P 和 P? 分别为 NG、MH 的中点, 问 是,求出该定值;若不是, 说明理由. 22. (本小题满分 14 分) 已 知
f ( x )? | x? a |? l nx ( ? x

MH NG

?

PF2 P?F2

是否为定值?若


0 )h x( ) a? , ? x 1. ?( a


R )

(1)若 a ? 1 ,求 f ( x) 的单调区间及 f ( x) 的最小值; (2)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (3)若
ln 2 2
2 2

?

ln 3 3
2

2

?? ?

ln n n
2

2

?

h( n)(2 n ? 1) 2( n ? 1)

,求 a 的

最小正整数值.

8 【答案】 B(教材选修 4-5 P 页第 14 题改编) 【解析】 设该三棱柱的底面边长为 a , 高为 h , 10 则底面正三角形的外接圆半径是
a
2

a 2 sin 60
?

?
2

a

? a ? ?h? ,依题意有 ? ? ?? ? ? 3 ?2? ? 3?
2

2

2

? 3?

2

,即

?

h

2

? 1 ,1 ?

a

2

?

a

2

?

h

2

? 33

a

2

?

a

?

h

,当且仅当
3 4
2

a

2

?

h

2

,即 a ?
3 4

6 ,h ? 2

9

12

18

18

12

18

18

12

18

12
? 6? 2 ? 3 3 .

时取等号, 此时 a 2 h 取得最大值,因此该棱柱的体积 9

a h 的最大值是

10.【答案】A

①设 f ( x) ? c 是一个“ ? 的相关函数”,则 ?1 ? ? ? c ? 0 ,当 ? ? ?1 时,
2 2

c 可以取遍实数集,因此 f ( x) ? 0 不是常数函数中唯一一个“ ? 的相关函数”故①不正
2 确. ②假设 f ( x) ? x 是一个 ? 的相关函数”,则 ?1 ? ? ? x ? 2? x ? ? ? 0 对任意 x 都 “

成立,所以 ? ? 1 ? 2? ? ? 2 ? 0 ,而此式无解,所以 f ( x) ? x 不是一个“ ? 的相关函数”,
2

故②不正确; ③令 x =0,得 f ( ) ?
2 1 2

1

1

1 1 f (0) ? 0 ,所以 f ( ) ? ? f (0) ,显然 f ( x) ? 0 有实 2 2 2

数根;若 f (0) ? 0 , f ( ). f (0) ? ? f 2 (0) ? 0. 又因为 y ? f ( x) 的图象是连续不断的,所 以 f ( x) 在 ? 0,
? ?
1 1 1? ? 上必有实数根.因此“ 的相关函数”必有根,即“ 的相关函数”至 2 2 2?

少有一个零点.故③正确. 二填空题 11. 15 12【解析】∵以线段 AC 为边的正方形的面积介于 25 cm2 与 49 cm2 之间 ∴线段 AC 的长介于 5 cm 与 7 cm 之间满足条件的 C 点对应的线段长 2cm 而线段 AB 总长 为 10 cm 故正方形的面积介于 25 cm2 与 49 cm2 之间的概率 P= =

13. [答案]C(教材必修 3, P72 页例题改编)解析:样本的众数为最高矩形底边中点对应 的

18.

? 4n ?

1 n

+? 在 ?1, ? 单调递增,? ? ?

1

1 , ?的最小值为 ???12分 则 9 9

P ( X ? 3) ?

C5C15 C50
2

1

1

?

75 1225

?

3 49

. ????????????????(10 分)

从而 X 的分布列为:

X P X 的 数 学 期 望 EX ? 0 ?
2 7

0
2 7 ? 1? 22 49

1
22 49 10 49

2
10 49 3 49

3
3 49 51 49

????(11 分)

? 2?

? 3?

?

. ?????(12 分)


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