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2016-2017学年高中数学人教A版选修2-2课时训练:1-3 导数在研究函数中的应用1-3-2 含答案 精品

1.3.2 函数的极值与导数 [学习目标] 1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系,并 会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件. [知识链接] 在必修 1 中, 我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题.但函数在定义 域内某一点附近,也存在着哪一点的函数值大,哪一点的函数值小的问题,如何 利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题,如图观察,函数 y= f(x)在 d、e、f、g、h、i 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? y =f(x)在这些点处的导数值是多少?在这些点附近, y=f(x)的导数的符号有什么 规律? 答 以 d、 e 两点为例, 函数 y=f(x)在点 x=d 处的函数值 f(d)比它在点 x=d 附近 其他点的函数值都小,f′(d)=0;在 x=d 的附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x) >0.类似地,函数 y=f(x)在点 x=e 处的函数值 f(e)比它在 x=e 附近其他点的函 数值都大,f′(e)=0;在 x=e 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0. [预习导引] 1.极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值 如图,函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都 小,f′(a)=0;而且在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,则把点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 如图,函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都 大,f′(b)=0;而且在点 x=b 的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,则把点 b 叫做 函数 y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值.极大值点、极小值点统 称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 2.求函数 y=f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)=0,当 f′(x0)=0 时: (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值. (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值. 要点一 求函数的极值 例1 1 求函数 f(x)=3x3-4x+4 的极值. 解 f′(x)=x2-4.解方程 x2-4=0,得 x1=-2,x2=2.由 f′(x)>0 得 x<-2 或 x>2; 由 f′(x)<0 得-2<x<2.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-2) + -2 0 28 3 (-2,2) - 2 0 4 -3 (2,+∞) + 28 由表可知:当 x=-2 时,f(x)有极大值 f(-2)= 3 . 4 当 x=2 时,f(x)有极小值 f(2)=-3. 规律方法 求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x); (2)求方程 f′(x)=0 的根; (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间,并列 成表格.检测 f′(x)在方程根左右两侧的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在 这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左 右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值. 跟踪演练 1 3 求函数 f(x)= x+3ln x 的极值. 3 解 函数 f(x)= x+3ln x 的定义域为(0,+∞), 3 3 3?x-1? f′(x)=-x2+x = x2 . 令 f′(x)=0,得 x=1. 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0,1) - 1 0 3 (1,+∞) + 因此当 x=1 时,f(x)有极小值 f(1)=3. 要点二 利用函数极值确定参数的值 例2 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在 x=± 1 处取得极值,且 f(1)=-1. (1)求常数 a,b,c 的值; (2)判断 x=± 1 是函数的极大值点还是极小值点,试说明理由,并求出极值. 解 (1)f′(x)=3ax2+2bx+c. ∵x=± 1 是函数 f(x)的极值点, ∴x=± 1 是方程 f′(x)=0 的两根, 即 3ax2+2bx+c=0 的两根, 由根与系数的关系,得 2b ? ?-3a=0, ?c ? ?3a=-1 又 f(1)=-1,∴a+b+c=-1. 1 3 由①②③解得 a=2,b=0,c=-2. 1 3 (2)由(1)知 f(x)=2x3-2x, 3 3 3 ∴f′(x)= x2- = (x-1)(x+1), 2 2 2 当 x<-1 或 x>1 时,f′(x)>0, 当-1<x<1 时,f′(x)<0, ∴函数 f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数, 在(-1,1)上是减函数, ∴当 x=-1 时,函数取得极大值 f(-1)=1, 当 x=1 时,函数取得极小值 f(1)=-1. ① ② ③ 规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值,常根据极值点处导数为 0 和极值 两个条件列方程组,利用待定系数法求解. (2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件,所以利用待定系 数法求解后,必须验证根的合理性. 跟踪演练 2 值. 解 因为 f(x)在 x=-1 时有极值 0, 且 f′(x)=3x2+6ax+b, ?f′?-1?=0 ?3-6a+b=0 所以? 即? 2 ?f?-1?=0, ?-1+3a-b+a =0. ?a=1 ?a=2 解之得? 或? ?b=3 ?b=9. 当 a=1,b=3 时,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,