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高中数学(苏教版)必修5精品教学案全集:数列 第12课时 等比数列的前n项和(1)(教师版)


第 12 课时 【学习导航】

等比数列的

前 n 项和(1)

知识网络

学习要求
1.掌握用“错位相减”的方法推导等比数列的前 n 项和公式,掌握等比数列的前 n 项 和公式 2.会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题

【自学评价】
1.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn 当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) ① 1? q


或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q

当 q=1 时, S n ? na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①; 当已知 a1 , q, an 时,用公式②. 2.若数列{an}的前 n 项和 Sn=p(1-qn),且 p≠0,q≠1,则数列{an}是等比数列.

【精典范例】
【例 1】在等比数列{an}中, (1)已知 a 1 =-4, q =12,求 S10 ; (2)已知 a 1 =1, a k =243,

q =3,求 S k .
【解】 (1)根据等比数列的前n项和公式,得

-1-

(2)根据等比数列的前n项和公式,得

7 63 , S 6 ? ,求 an. 2 2 7 63 【解】若q=1,则S6=2S3,这与已知 S 3 ? , S 6 ? 是矛盾的,所以q≠1.从而 2 2
【例 2】在等比数列{an}中, S 3 ?

将上面两个等式的两边分别相除,得

所以q=2,由此可得 a1 ?

1 ,因此 2

点评:等比数列中五个基本量 a1、q、an、n、Sn,知三可求二. 【例 3】在等比数列{an}中,a1+an=66,a2·an-1=128,且前 n 项和 Sn=126,求 n 及公比 q. 【解】 ∵a1an=a2an-1=128,又 a1+an=66, ∴a1、an 是方程 x2-66x+128=0 的两根, 解方程得 x1=2,x2=64, ∴a1=2,an=64 或 a1=64,an=2,显然 q≠1. 若 a1=2,an=64,由

a1 ? a n q =126 1? q

得 2-64q=126-126q, ∴q=2, - - 由 an=a1qn 1 得 2n 1=32, ∴n=6. 若 a1=64,an=2,同理可求得 q=

1 ,n=6. 2 1 . 2

综上所述,n 的值为 6,公比 q=2 或

点评:等比数列中五个基本量 a1、q、an、n、Sn,知三可求二,列方程组是求解的常用方法.解 本题的关键是利用 a1an=a2an-1,进而求出 a1、an,要注意 a1、an 是两组解.

追踪训练一
1.某厂去年的产值记为1,计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%,则从今年起到 第五年,这个厂的总产值为(C) . A. 1.14 C. 11 ? (1.15 ? 1) B. 1.15 D. 10 ? (1.16 ? 1)

-2-

2.求下列等比数列的各项和: (1)1,3,9,?,2187; (2)1, ?

1 1 1 1 , , ? ,?, ? . 8 512 2 4 341 512

【答案】 (1)3280; (2)

3.等比数列{an}的各项都是正数,若 a1=81,a5=16,则它的前 5 项和是( B ) A.179 B.211 C.243 D.275 4.若等比数列{an}的前 n 项之和 Sn=3n+a,则 a 等于( D ) A.3 B.1 C.0 D.-1 5.已知等比数列的公比为 2,若前 4 项之和等于 1,则前 8 项之和等于( B ) A.15 B.17 C.19 D.21

【选修延伸】
【例 4】?an ? 是等比数列, S n 是其前 n 项和,数列 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ( k ? N ? )是否仍 成等比数列? 【解】 设 ?a n ?, 首项是 a1 ,公比为 q, ①当 q=-1 且 k 为偶数时, S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 不是等比数列. ∵此时, S k ? S 2k ? S k ? S 3k ? S 2k =0. 例如:数列 1,-1,1,-1,?是公比为-1 的等比数列, S 2 ? S 4 ? S 2 ? S 6 ? S 4 S2=0, ②当 q≠-1 或 k 为奇数时,

S k = a1 ? a2 ? a3 ? ?ak ? 0
k S 2k ? S k = q (a1 ? a2 ? a3 ? ?ak ) ? 0 2k S3k ? S 2k = q (a1 ? a2 ? a3 ? ?ak ) ? 0

? S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ( k ? N ? )成等比数列
追踪训练二
1.在等比数列{an}中,Sn 表示前 n 项和,若 a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比 q 等于( A ) A.3 B.-3 C.-1 D.1 2.等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21, 则公比 q 的值为( C ) A.1 C.1 或- B.-

1 2 1 2

1 2

D.-1 或

3.在公比为整数的等比数列{an}中,已知 a1+a4=18,a2+a3=12,那么 a5+a6+a7+a8 等于

-3-

( A ) A.480 B.493 4.在 14 与

C.495

D.498 ?

7 77 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成等比数列,若各项的和为 ,则此数列的项 8 8
C.6 D.7 ? 听课随笔

数为( B ) A.4 B.5

5.在等比数列{an}中,公比 q=2,log2a1+log2a2+?+log2a10=25,则 a1+a2+?+a10=

1023 . 4

6. 已知等比数列{an}的各项均为正数,Sn=80,S2n=6560,且在前 n 项中最大项为 54,求 此数列的公比 q 和项数 n. 【解】 由 S2n≠2Sn 知,q≠1

? a1 (1 ? q n ) ? 80 ? ? 1? q 根据已知 ? 2n ? a1 (1 ? q ) ? 6560 ? ? 1? q

②÷①得:1+qn=82,即 qn=81 ① ② ? ∴q>1 则 a1qn 1=54




④?

③÷④得:

2 q 3 ? ,即 a1= q ⑤ 3 a1 2

将③、⑤代入①得 q=3 ∴n=4 7.一个有穷等比数列的首项为 1,项数为偶数,其奇数项之和为 85,偶数项之和为 170,求这 个数列的公比及项数. 【解】 设此数列的公比为 q,项数为 2n. 由题意得:

?1 ? q 2 n ? 85 ? 2 ? 1? q ? 2n ? q (1 ? q ) ? 170 2 ? ? 1? q

q=2,2n=8

故此数列的公比为 2,项数为 8. 【师生互动】

学生质疑

教师释疑

-4-


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