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【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)压轴大题突破练 函数与导数(二)


压轴大题突破练——函数与导数(二)
1.已知函数 f(x)=aln x-bx2. 1 1 (1)当 a=2,b= 时,求函数 f(x)在[ ,e]上的最大值; 2 e 3 (2)当 b=0 时,若不等式 f(x)≥m+x 对所有的 a∈[0, ],x∈(1,e2]都成立,求实数 m 的取值 2 范围. 1 解 (1)由题意知,f(x)=2ln x- x2, 2 2 2-x 2 f′(x)= -x= , x x 1 1 当 ≤x≤e 时,令 f′(x)>0 得 ≤x< 2; e e 令 f′(x)<0,得 2<x≤e, 1 ∴f(x)在[ , 2)上单调递增,在( 2,e]上单调递减, e ∴f(x)max=f( 2)=ln 2-1. 3 (2)当 b=0 时,f(x)=aln x,若不等式 f(x)≥m+x 对所有的 a∈[0, ],x∈(1,e2]都成立,则 2 3 3 aln x≥m+x 对所有的 a∈[0, ], x∈(1, e2]都成立, 即 m≤aln x-x, 对所有的 a∈[0, ], x∈(1, 2 2 e2]都成立, 令 h(a)=aln x-x,则 h(a)为一次函数,m≤h(a)min. ∵x∈(1,e2],∴ln x>0, 3 ∴h(a)在[0, ]上单调递增,∴h(a)min=h(0)=-x, 2 ∴m≤-x 对所有的 x∈(1,e2]都成立. ∵1<x≤e2,∴-e2≤-x<-1, ∴m≤(-x)min=-e2. 2.函数 f(x)=xln x-ax2-x(a∈R). (1)若函数 f(x)在 x=1 处取得极值,求 a 的值; (2)若函数 f(x)的图象在直线 y=-x 图象的下方,求 a 的取值范围; (3)求证:2 0132 012<2 0122 013. (1)解 f′(x)=ln x-2ax. 因为 f′(1)=0,所以 a=0. (2)解 由题意,得 xln x-ax2-x<-x,
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所以 xln x-ax2<0. ln x 因为 x∈(0,+∞),所以 a> . x 1-ln x ln x 设 h(x)= ,则 h′(x)= . x x2 令 h′(x)>0,得 0<x<e, 所以 h(x)在(0,e)上单调递增; 令 h′(x)<0,得 x>e, 所以 h(x)在(e,+∞)上单调递减. 1 所以 h(x)max=h(e)= , e 1 所以 a> . e ln x (3)证明 由(2)知 h(x)= 在(e,+∞)上单调递减, x 所以当 x>e 时,h(x)>h(x+1), ln x ln?x+1? 即 > , x x+1 所以(x+1)ln x>xln(x+1), 所以 ln xx 1>ln(x+1)x,


所以 xx 1>(x+1)x,


令 x=2 012,得 2 0122 013>2 0132 012. 3.已知函数 f(x)=ln x-ax+1. (1)若函数 f(x)在点 A(1,f(1))处的切线 l 与直线 4x+3y-3=0 垂直,求 a 的值; (2)若 f(x)≤0 恒成立,求实数 a 的取值范围; 1 1 1 (3)证明:ln(n+1)> + +?+ (n∈N*). 2 3 n+1 1 (1)解 函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= -a. x 所以 f′(1)=1-a. 所以切线 l 的斜率为 1-a. 因为切线 l 与直线 4x+3y-3=0 垂直, 3 1 所以 1-a= ,解得 a= . 4 4 1 (2)解 若 a≤0,则 f′(x)= -a>0,f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. x 而 f(1)=1-a>0,f(x)≤0 不恒成立,故 a>0. 1 1 考虑 a>0,则当 x∈(0, ]时,f′(x)= -a>0; a x
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1 1 当 x∈[ ,+∞)时,f′(x)= -a<0. a x 1 所以 f(x)在(0, ]上是单调递增函数, a 1 在[ ,+∞)上是单调递减函数. a 1 所以 f(x)的最大值为 f( )=-ln a. a 要使 f(x)≤0 恒成立,只须-ln a≤0 即可. 由-ln a≤0,解得 a≥1,即 a 的取值范围为[1,+∞). (3)证明 由(2),知当 a=1 时,f(x)≤0 在(0,+∞)上恒成立,且 f(x)在(0,1)上是增函数,f(1) =0,所以 ln x<x-1 在 x∈(0,1)上恒成立. k k k 1 令 x= (k∈N*),则 ln < -1=- , k+1 k+1 k+1 k+1 1 1 2 1 3 1 n 1 令 k=1,2,?,n,则有 ln <- ,ln <- ,ln <- ,?,ln <- , 2 2 3 3 4 4 n+1 n+1 以上各式两边分别相加, 1 2 n 1 1 1 得 ln +ln +?+ln <-( + +?+ ), 2 3 2 3 n+1 n+1 1 1 1 1 即 ln <-( + +?+ ), 2 3 n+1 n+1 1 1 1 故 ln(n+1)> + +?+ (n∈N*). 2 3 n+1 4.已知函数 f(x)=aln x+x2-(a+2)x. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极小值; (2)当 a=-1 时,过坐标原点 O 作曲线 y=f(x)的切线,设切点为 P(m,n),求实数 m 的值; (3)设定义在 D 上的函数 y=g(x)在点 Q(x0,y0)处的切线方程为 l:y=h(x),当 x≠x0 时,若 g?x?-h?x? >0 在 D 内恒成立,则称点 Q 为函数 y=g(x)的“好点”.当 a=8 时,试问函数 y= x-x0 f(x)是否存在“好点”,若存在,请求出“好点”的横坐标;若不存在,请说明理由. 2 1 2x -3x+1 ?x-1??2x-1? 解 (1)当 a=1 时,f(x)=ln x+x2-3x,f′(x)=2x-3+ = = (x>0), x x x 1 当 0<x< 时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 2 1 当 <x<1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 2 当 x>1 时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=1 时,f(x)取到极小值-2. (2)当 a=-1 时,f(x)=-ln x+x2-x, 1 f′(x)=2x-1- (x>0), x 1 n-0 所以切线的斜率 k=2m-1- = m m-0
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m2-m-ln m , m

整理得 m2+ln m-1=0, 显然 m=1 是这个方程的解, 又 y=x2+ln x-1 在(0,+∞)上是增函数, 所以方程 x2+ln x-1=0 有唯一实数解,故 m=1. (3)当 a=8 时,f(x)=8ln x+x2-10x, 8 f′(x)=2x-10+ , x 8 函数 y=f(x)在其图象上一点 Q(x0,f(x0))处的切线方程 h(x)=(2x0+ -10)(x-x0)+x2 0-10x0+ x0 8ln x0. 设 F(x)=f(x)-h(x),则 F(x0)=0, 8 8 F′(x)=f′(x)-h′(x)=(2x+ -10)-(2x0+ -10) x x0 4 2?x-x0??x- ? x0 = , x 4 ①若 0<x0<2,F(x)在(x0, )上单调递减, x0 4 所以当 x∈(x0, )时,F(x)<F(x0)=0, x0 F?x? 此时 <0,不合题意, x-x0 所以 y=f(x)在(0,+∞)上不存在“好点”; 4 ②若 x0>2,F(x)在( ,x0)上单调递减, x0 4 所以当 x∈( ,x0)时,F(x)>F(x0)=0, x0 F?x? 此时 <0,不合题意, x-x0 所以 y=f(x)在(0,+∞)上不存在“好点”; 2?x-2?2 ③若 x0=2,F′(x)= ≥0, x 即 F(x)在(0,+∞)上是增函数, 当 x>x0 时,F(x)>F(x0)=0, 当 x<x0 时,F(x)<F(x0)=0, F?x? >0 恒成立, x-x0 所以点(2,-16+8ln 2)为函数 y=f(x)的“好点”. 故函数 y=f(x)存在“好点”,“好点”的横坐标为 2.

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