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2013年高考文科数学立体几何试题汇编


2013 年高考文科数学立体几何试题集锦
1.(北京 8)如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为对角线 BD1 的三等分点, 则 P 到各顶点的距离的不同取值有( A. 3 个 B. 4 个 ) C. 5 个 D. 6 个

2

2.(广东卷 6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是(

)
1 正视图 1 侧视图

1 6 2 C. 3
A.

B.

1 3

D. 1
俯视图 图 2

3. (广东卷 8)设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ? B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ?

)

4. (湖南卷 7)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个面积为 2 的 矩形,则该正方体的正视图的面积等于 A.

3 2

B.1

C.

2 ?1 2


D. 2

5. 江西卷 8) .一几何体的三视图如右所示, 则该几何体的体积为 ( A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π 6. (辽宁卷 10)已知三棱柱

ABC ? A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上若AB ? 3,AC ? 4, .

AB ? AC , AA1 ? 12,则球O的半径为
A.

3 17 2

B. 2 10

C.

13 2

D. 3 10

1

7. (全国卷 11)已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1中,AA1 ? 2 AB, 则CD与平面BDC1所成角的正弦值 等于 (A)

2 3

(B)

3 3

(C)

2 3

(D)

1 3


8. (四川卷 2)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( (A)棱柱 (C)圆柱 (B)棱台 (D)圆台

9. (全国新课标 9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是 (1,0,1) , (1,1,0) , 画该四面体三视图中的正视图时, zOx 平面为投影面, 以 则得到正视图可以为 ( (0,1,1) ,(0, 0, 0) , )

(A)

(B)

(C)

(D)

10.(浙江卷 4)设 m、n 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面, A、若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B、若 m∥α ,m∥β ,则α ∥β C、若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α D、若 m∥α ,α ⊥β ,则 m⊥β

11.(浙江卷 5)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 3 3 3 3 A、108cm B、100 cm C、92cm D、84cm 12. (重庆卷 8)某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为( (A) 180 (B) 200 (C) 220 (D) 240 )

2

13. (辽宁卷 13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的 体积是 .

14. (安徽 15) 如图, 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点, 过点 A, P, Q 的平面截 该正方体所得的截面记为 S ,则下列命题正确的 是 (写出所有正确命题的编号) 。 ①当 0 ? CQ ? ②当 CQ ?

1 时, S 为四边形 2

1 时, S 为等腰梯形 2 3 1 ③当 CQ ? 时, S 与 C1 D1 的交点 R 满足 C1 R ? 4 3
④当

3 ? CQ ? 1 时, S 为六边形 4
6 2

⑤当 CQ ? 1 时, S 的面积为

15.(北京 10)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体 积为 。

B

C

E A D 图 3 16.(广东卷 15)如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 3, BC ? 3 ,BE ? AC ,垂足为 E ,则 ED ?



17. (江苏卷 8)如图,在三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, D, E , F 分别是

C1 B1 A1

AB, AC, AA1 的 中 点 , 设 三 棱 锥 F ? A DE 的 体 积 为 V1 , 三 棱 柱

A1B1C1 ? ABC 的体积为 V2 ,则 V1 :V2 ?

.

F E A

C

B
D

3

18. (江西卷 15)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α 上,且 AB//CD,则直线 EF 与正方体 的六个面所在的平面相交的平面个数为 。

19. (全国卷 16)已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 O 的半径,

3 则球 OK ? ,且圆O与圆K 所在的平面所成角为60?, O 的表面积等于 2

.

20. (陕西卷 12)某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为

.

21. (天津卷 10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 为 .

9? , 则正方体的棱长 2

22. (全国新课标 15)已知正四棱锥 O ? ABCD 的体积为 半径的球的表面积为________。

3 2 ,底面边长为 3 ,则以 O 为球心,OA 为 2

23.(安徽 18)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60 .
?

已知 PB ? PD ? 2, PA ?

6 .

(Ⅰ)证明: PC ? BD (Ⅱ)若 E 为 PA 的中点,求三菱锥 P ? BCE 的体积.

4

24.(北京 17)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / /CD , AB ? AD , CD ? 2 AB ,平面 PAD ? 底面

ABCD , PA ? AD , E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证:
(1) PA ? 底面 ABCD (2) BE / / 平面 PAD (3)平面 BEF ? 平面 PCD

25. 福建 18) ( 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 面ABCD ,AB / / DC , ? AD , ? 5 , ? 3 , BC DC AB

AD ? 4 , ?PAD ? 60? .
(1)当正视图方向与向量 AD 的方向相同时,画出四棱锥 P ? ABCD 的正视图.(要求标出尺寸,并画出 演算过程) ; (2)若 M 为 PA 的中点,求证: DM / /面PBC ; (3)求三棱锥 D ? PBC 的体积.

????

5

26.(广东卷 18)如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的点,

AD ? AE , F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,
得到如图 5 所示的三棱锥 A ? BCF ,其中 BC ? (1) 证明: DE //平面 BCF ; (2) 证明: CF ? 平面 ABF ; (3) 当 AD ?
D G E

2 . 2

A

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3

B

F 图 4
A

C

G

E

D F C

B

图 5

27.(湖南卷 17)如图,在直菱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC=90°,AB=AC= 菱 BB1 上运动。 (I) 证明:AD⊥C1E; (II) 当异面直线 AC,C1E 所成的角为 60°时, 求三菱锥 C1-A2B1E 的体积

,AA1=3,D 是 BC 的中点,点 E 在

6

28.(江苏卷 16)如图,在三棱锥 S ? ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB . 过 A 作

AF ? SB ,垂足为 F ,点 E , G 分别是侧棱 SA , SC 的中点.
求证:(1) 平面 EFG / / 平面 ABC ; (2) BC ? SA .



29.(江西卷 19)如图,直四棱柱 ABCD – A1B1C1D1 中,AB//CD,AD⊥AB, AB=2,AD= ,AA1=3,E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3

(1) 证明:BE⊥平面 BB1C1C; (2) 求点 B1 到平面 EA1C1 的距离

7

30.(辽宁卷 18)如图, AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点. (I)求证: BC ? 平面PAC; (II)设 Q为PA的中点,G为?AOC的重心,求证:QG / /平面PBC.

31.(全国卷 19)如图,四棱锥 P ? ABCD中,?ABC ? ?BAD ? 90 ,BC ? 2 AD, ?PAB与?PAD 都是
?

边长为 2 的等边三角形. (I)证明: PB ? CD; (II)求点 A到平面PCD的距离.

8

32.(陕西卷 18)如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD,
AB ? AA1 ? 2 .
D1 A1 B1 C1

(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面 CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.
D A

O B

C

33.(四川卷 19)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC , AB ? AC ? 2 AA1 ? 2 ,

?BAC ? 120? , D, D1 分别是线段 BC , B1C1 的中点, P 是线段 AD 上异于端点的点。
(Ⅰ) 在平面 ABC 内, 试作出过点 P 与平面 A1 BC 平行的直线 l , 说明理由, 并证明直线 l ? 平面 ADD1 A1 ; (Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线 l 交 AC 于点 Q ,求三棱锥 A1 ? QC1 D 的体积。 (锥体体积公式: V ? 中 S 为底面面积, h 为高)

1 Sh ,其 3

C A C1 A1 P

D B D1 B1

9

34.(天津卷 17)如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱长均相等. D, E, F 分别为棱 AB, BC, A1C1 的中点. (Ⅰ) 证明 EF//平面 A1CD; (Ⅱ) 证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅲ) 求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值.

35.(全国新课标 18)如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D , E 分别是 AB , BB1 的中点, (Ⅰ)证明: BC1 / / 平面 A1CD1 ; (Ⅱ)设 AA1 ? AC ? CB ? 2 , AB ? 2 2 ,求三棱锥 C ? A1DE 的体积。

A1 B1 A D B E

C1

C

10

36.(浙江卷 19)如图,在在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥面 ABCD, AB=BC=2, AD=CD= 7,PA= 3,∠ABC=120°,G 为线段 PC 上的点. (Ⅰ)证明:BD⊥面 PAC ; (Ⅱ)若 G 是 PC 的中点,求 DG 与 PAC 所成的角的正切值; PG (Ⅲ)若 G 满足 PC⊥面 BGD,求 的值. GC

37.(重庆卷 19)如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD, PA ? 2 3 , BC ? CD ? 2 ,

?ACB ? ?ACD ?

?
3



(Ⅰ)求证: BD ⊥平面 PAC ; (Ⅱ)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF ? 7 FC ,求三棱锥 P ? BDF 的体积.

11

38.如图,某地质队自水平地面 A,B,C 三处垂直向地下钻探,自 A 点向下钻到 A1 处发现矿藏,再继续下钻到

A2 处后下面已无矿,从而得到在 A 处正下方的矿层厚度为 A1 A2 ? d1 .同样可得在 B,C 处正下方的矿层厚度分别
为 B1 B2 ? d2 , C1C2 ? d3 ,且 d1 ? d2 ? d3 . 过 AB , AC 的中点 M , N 且与直线 AA2 平行的平面截多面体
A1 B1C1 ? A2 B2C2 所得的截面 DEFG 为该多面体的一个中截面,其面积记为 S中 .

(Ⅰ)证明:中截面 DEFG 是梯形; (Ⅱ)在△ABC 中,记 BC ? a ,BC 边上的高为 h ,面积为 S . 在估测三角形 ABC 区域内正下方的矿藏 储 量 ( 即 多 面 体 A1 B1C1 ? A2 B2C2 的 体 积 V ) 时 , 可 用 近 似 公 式 V估 ? S中 ? h 来 估 算 . 已 知
1 V ? (d1 ? d 2 ? d 3)S ,试判断 V估 与 V 的大小关系,并加以证明. 3

12


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