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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修1-1练习:2.3 第1课时 抛物线及其标准方程]


选修 1-1

第二章

2.3

第 1 课时

一、选择题 1.抛物线 y=2x2 的焦点坐标是( 1 ? A.? ?2,0? 1? C.? ?0,2? [答案] D 1 1 1 [解析] 化为标准形式:x2= y,∴2p= ,∴p= , 2 2 4 1? ∴焦点坐标为? ?0,8?. 2.顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,过点(-2,3)的抛物线方程是( 9 A.y2= x 4 9 4 C.y2=- x 或 x2=- y 4 3 [答案] D [解析] ∵点(-2,3)在第二象限, ∴设抛物线方程为 y2=-2px(p>0)或 x2=2p′y(p′>0), 又点(-2,3)在抛物线上, 9 2 ∴p= ,p′= , 4 3 9 4 ∴抛物线方程为 y2=- x 或 x2= y. 2 3 3.抛物线 y=ax2 的准线是 y-2=0,则 a 的值是( 1 A. 8 C.8 [答案] B 1 1 1 [解析] 抛物线方程化为标准形式为 x2= y,由题意知 a<0,且 2p=- ,p=- , a a 2a p 1 1 ∴ =- =2,∴a=- . 2 4a 8 4.抛物线 y2=4x 上一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( A.0 15 B. 16 ) 1 B.- 8 D.-8 ) 4 B.x2= y 3 9 4 D.y2=- x 或 x2= y 2 3 ) ) 1 ? B.? ?8,0? 1? D.? ?0,8?

7 C. 8 [答案] A [解析] 设 M(x0,y0),则 x0+1=1, ∴x0=0,∴y0=0.

17 D. 16

5.过点 F(0,3)且和直线 y+3=0 相切的动圆圆心的轨迹方程为( A.y2=12x C.x2=12y [答案] C B.y2=-12x D.x2=-12y

)

[解析] 由题意,知动圆圆心到点 F(0,3)的距离等于到定直线 y=-3 的距离,故动圆圆 心的轨迹是以 F 为焦点,直线 y=-3 为准线的抛物线. 6.(2014· 云南景洪市一中期末)从抛物线 y2=4x 图象上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂 足为 M,且|PM|=5,设抛物线焦点为 F,则△MPF 的面积为( A.10 C.6 [答案] A [解析] 设 P(x0,y0),∵|PM|=5,∴x0=4,∴y0=± 4, 1 ∴S△MPF= |PM|· |y0|=10. 2 二、填空题 7.(2014· 西安市长安中学期中)已知椭圆 x2+ky2=3k(k>0)的一个焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该椭圆的离心率是________. [答案] 3 2 B.8 D.4 )

x2 y2 [解析] 抛物线的焦点为 F(3,0),椭圆的方程为: + =1,∴3k-3=9,∴k=4,∴ 3k 3 离心率 e= 3 3 = . 2 3 2

8.(2013· 北京文,9)若抛物线 y2=2px 的焦点坐标为(1,0),则 p=________,准线方程 为________. [答案] 2 x=-1 p [解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由 =1 知 p=2,则准线方程为 x=- 2 p =-1. 2 x2 y2 9.以双曲线 - =1 的中心为顶点,左焦点为焦点的抛物线方程是________. 16 9

[答案] y2=-20x [解析] ∵双曲线的左焦点为(-5,0),故设抛物线方程为 y2=-2px(p>0), 又 p=10,∴y2=-20x. 三、解答题 10.若抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M 到准线及对称轴的距离分别为 10 和 6,求 M 点的 横坐标及抛物线方程. [解析] ∵点 M 到对称轴的距离为 6, ∴设点 M 的坐标为(x,6). ∵点 M 到准线的距离为 10, 6 =2px ? ? ? ? ?x=9 ?x=1 ∴? p ,解得? ,或? , ?p=2 ?p=18 ? ? ? ?x+2=10 故当点 M 的横坐标为 9 时,抛物线方程为 y2=4x. 当点 M 的横坐标为 1 时,抛物线方程为 y2=36x.
2

一、选择题 x2 y2 11.(2014· 山东省博兴二中质检)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为 a b 2,且右焦点与抛物线 y2=4 3x 的焦点重合,则该双曲线的离心率等于( A. 2 C.2 [答案] B [解析] ∵抛物线 y2=4 3x 的焦点( 3,0)为双曲线的右焦点,∴c= 3, b 又 = 2,结合 a2-b2=c2,得 a=1,∴e= 3,故选 B. a 12.(2013· 四川文,5)抛物线 y2=8x 的焦点到直线 x- 3y=0 的距离是( A.2 3 C. 3 [答案] D [解析] 本题考查了抛物线 y2=2px 的焦点坐标及点到直线的距离公式.由 y2=8x 可得 其焦点坐标(2,0),根据点到直线的距离公式可得 d= |2- 3×0| 12+? 3?2 =1. B.2 D.1 ) B. 3 D.2 3 )

13.(2013· 新课标Ⅰ文,8)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的焦点,P 为 C 上 一点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( )

A.2 C.2 3 [答案] C

B.2 2 D.4

[解析] 设 P(x0,y0),则由抛物线的焦半径公式得|PF|=x0+ 2=4 2,x0=3 2代入抛 1 物线的方程,得|y0|=2 6,S△POF= |y0|· |OF|=2 3,选 A,涉及到抛物线的焦点三角形问题, 2 要考虑焦半径公式. 二、填空题 14.点 M(5,3)到抛物线 x2=ay(a>0)的准线的距离为 6,则抛物线的方程是________. [答案] x2=12y a [解析] 抛物线 x2=ay 的准线方程为 y=- , 4 a 由题意得 3-(- )=6,∴a=12,∴x2=12y. 4 15.若动点 M(x,y)到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则点 M 的轨迹 方程是________. [答案] y2=16x [解析] 依题意可知 M 点到点 F 的距离等于 M 点到直线 x=-4 的距离, 因此其轨迹是 抛物线,且 p=8,顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上, ∴其方程为 y2=16x. 三、解答题 16.已知抛物线的焦点在 x 轴上,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离是 5.求抛物线 方程和 m 的值. [解析] 解法一:∵抛物线焦点在 x 轴上,且过点 M(-3,m), ∴设抛物线方程为 y2=-2px(p>0), p 则焦点坐标 F(- ,0), 2 m =6p ? ? 由题意知? 2 , p m +?3- ?2=5 ? 2 ?
2

?p=4 ?p=4 解得? ,或? ?m=2 6 ?m=-2 6

.

∴所求抛物线方程为 y2=-8x,m=± 2 6. 解法二:设抛物线方程为 y2=-2px(p>0), p p 则焦点坐标 F(- ,0),准线方程 x= . 2 2

由抛物线定义知,点 M 到焦点的距离等于 5, 即点 M 到准线的距离等于 5, p 则 3+ =5,∴p=4,∴抛物线方程为 y2=-8x. 2 又点 M(-3,m)在抛物线上, ∴m2=24,∴m=± 2 6, ∴所求抛物线方程为 y2=-8x,m=± 2 6. 17.一辆卡车高 3m,宽 1.6m,欲通过断面为抛物线型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高 的 4 倍,若拱口宽为 am,求使卡车通过的 a 的最小整数值. [解析] 以隧道顶点为原点,拱高所在直线为 y 轴建立直角坐标 a a 系,则 B 点的坐标为( ,- ),如图所示,设隧道所在抛物线方程为 2 4 a a x2=my,则( )2=m· (- ), 2 4 ∴m=-a,即抛物线方程为 x2=-ay. 将(0.8,y)代入抛物线方程,得 0.82=-ay, 0.82 即 y=- . a a a 0.82 欲使卡车通过隧道,应有 y-(- )>3,即 - >3, 4 4 a 由于 a>0,得上述不等式的解为 a>12.21,∴a 应取 13.


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