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新人教版高中数学必修2知识点总结

高中数学必修 2 知识点总结

1.1 柱、锥、台、球的结构特征

第一章 空间几何体

(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体。

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示:用各顶点字母,如五棱柱 ABCDE ? A' B'C ' D' E ' 或用对角线的端点字母,如五棱柱 AD'
几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于

底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示:用各顶点字母,如五棱锥 P ? A' B'C ' D' E '
几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高

的比的平方。

(3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示:用各顶点字母,如五棱台 P ? A' B'C ' D' E '
几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形

③侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分

几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

(7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

1.2 空间几何体的三视图和直观图 (1)定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、
俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。

(2)画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等

(3)直观图:斜二测画法 (4)斜二测画法的步骤:
(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。 (5)用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图

1.3 空间几何体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

(2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h ' 为斜高,l 为母线)

S直棱柱侧面积 ? ch

S圆柱侧 ? 2?rh

S正棱锥侧面积

?

1 2

ch'

S圆锥侧面积 ? ?rl

S正棱台侧面积

?

1 2

(c1

? c2 )h'

S圆 台 侧 面 积 ? (r ? R)?l

? ? S圆 柱 表? 2?r?r ? l ? S圆锥表 ? ?r?r ? l ? S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

V柱 ? Sh

V圆柱 ? S h? ? 2r

h

V锥

?

1 3

S

h

V圆锥

?

1 ?r 2h
3

V台

?

1 3

(S '

?

S'S ? S)h

V圆台

?

1 3

(S '

?

S S' ? S)h ? 1? (r 2? rR ? R )2h 3

V = ; S = (4)球体的表面积和体积公式: 球 4? R3

球面 4? R2

3

第二章 直线与平面的位置关系 D
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

(1)平面

α

① 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的;

A

② 平面的表示:通常用希腊字母α 、β 、γ 表示,如平面α (通常写在一

个锐角内);

也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面 BC。

③ 点与平面的关系:点 A 在平面? 内,记作 A?? ;点 A 不在平面? 内,记作 A?? 点与直线的关系:点 A 的直线 l 上,记作:A∈l; 点 A 在直线 l 外,记作 A ?l;
直线与平面的关系:直线 l 在平面α 内,记作 l ? α ;直线 l 不在平面α 内,记作 l ? α 。

(2)公理 1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

(即直线在平面内,或者平面经过直线)

应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理 1: A?l, B?l, A??, B?? ? l ? ?

(3)公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。

C B

推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。

公理 2 及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据

(4)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号:平面α 和β 相交,交线是 a,记作α ∩β =a。

符号语言: P? A B ? A B ? l, P?l 公理 3 的作用:
①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。

③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1 空间的两条直线有如下三种关系:

共面直线

相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点;

异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。

2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为:设 a、b、c 是三条直线

a∥b c∥b

=>a∥c

强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。

公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补

4 注意点:

① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为简便,点 O 一般取在两直

线中的一条上;

?

② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, 2 );

③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b;

④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;

⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a

α 来表示



a∩α =A

a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

简记为:线线平行,则线面平行。

符号表示:





=> a∥α

a∥b

2.2.2 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

符号表示:





a∩b = P β ∥α

a∥α

b∥α

2、判断两平面平行的方法有三种:

(1)用定义;

(2)判定定理;

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为:线面平行则线线平行。

符号表示:

a∥α



a∥b

α ∩β = b

作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

符号表示:

α ∥β

α ∩γ = a a∥b

β ∩γ = b

作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1 直线与平面垂直的判定

1、定义

如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂直,记作 L⊥α ,直

线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂

足。

L

Α

P

2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2 平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭l

β

B

α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章知识结构框图

平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4)

空间直线、平面的位置关系

直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系

直线与直线的位置关系

3.1 直线的倾斜角和斜率

第三章 直线与方程

3.1 倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念:当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成 的角α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α = 0°. 2、 倾斜角α 的取值范围: 0°≤α <180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°. 3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式:
给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率: 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1
3.1.2 两条直线的平行与垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,
那么它们平行,即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即 如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2 2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负
倒数,那么它们互相垂直,即 y ? y0 ? k (x ? x0 )
? ? ? ? 3.2.1 直线的点 P1P2 ? x2 ? x2 2 ? y2 ? y1 2

斜式方程

1、 直线的点斜式方程:直线 l 经过点 P0 (x0 , y0 ) ,且斜率为 k
2、、直线的斜截式

方程:已知直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为 (0,b)
3.2.2 直线的两点式方程

y ? kx ? b

1、直线的两点式方程:已知两点 P1 (x1, x2 ), P2 (x2 , y2 ) 其中 (x1 ? x2 , y1 ? y2 ) y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程:已知直线 l 与 x 轴的交点为 A (a,0) ,与 y 轴的交点为 B (0,b) ,其中 a ? 0,b ? 0
3.2.3 直线的一般式方程

1、直线的一般式方程:关于 x, y 的二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)
2、各种直线方程之间的互化。

3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.两直线的交点坐标 1、给出例题:两直线交点坐标
L1 :3x+4y-2=0 L1:2x+y +2=0

解:解方程组

?3x ? 4y ? 2? 0 ??2x ? 2y ? 2? 0

得 x=-2,y=2

所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2) 3.3.2 两点间距离

两点间的距离公式

3.3.3 点到直线的距离公式 1.点到直线距离公式:

点 P(x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B2

2、两平行线间的距离公式: 已知两条平行线直

线 l1 和 l2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l2 的距离为 d ?

C1 ? C2 A2 ? B2

4.1.1 圆的标准方程

第四章

圆与方程

1、圆的标准方程: (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r2

圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程

2、点 M (x0 , y0 ) 与圆 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r2 的关系的判断方法:

(1) (x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ,点在圆外 (2) (x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆上

(3) (x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ,点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程: x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

2、圆的一般方程的特点:
(1)①x2 和 y2 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项.
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.
(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指 出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
设直线 l : ax ? by ? c ? 0 ,圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆的半径为 r ,圆心 (? D , ? E ) 到直 22
线的距离为 d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离;(2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交;
4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系. 设两圆的连心线长为 l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C2 相离;(2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C2 外切;

(3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C2 相交;
(4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C2 内切;(5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C2 内含;
4.2.3 直线与圆的方程的应用 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:
(1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ?y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C?a, b?到 l 的距离为 d ? Aa ? Bb ? C , A2 ? B2
则有 d ? r ? l与C相离; d ? r ? l与C相切; d ? r ? l与C相交

(2)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ?y ? b?2 ? r 2 ,先将方程联立消元,得到一个一元二次
方程之后,令其中的判别式为 ? ,则有 ? ? 0 ? l与C相离 ; ? ? 0 ? l与C相切 ; ? ? 0 ? l与C相交
? ? 注:如果圆心的位置在原点,可使用公式 xx0 ? yy0 ? r 2 去解直线与圆相切的问题,其中 x0 , y0 表示
切点坐标,r 表示半径。 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤:
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为
代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.
(3)过圆上一点的切线方程:
①圆 x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 xx0 ? yy0 ? r 2 (课本命题).
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推 广).

4.3.1 空间直角坐标系

1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 (x, y, z) , x 、 y 、 z 分别是 P、Q、

R 在 x 、 y 、 z 轴上的坐标

R M

2、有序实数组 (x, y, z) ,对应着空间直角坐标系中的一点

O

Q

y

P

M'

3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 (x, y, z) 来表示,该数组叫 x

做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标,记 M (x, y, z) , x 叫做点

M 的横坐标, y 叫做点 M 的纵坐标, z 叫做点 M 的竖坐标。
4.3.2 空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点 P1 (x1, y1, z1 ) 到点 P2 (x2 , y2 , z2 ) 之间的距离公


z

O
M1 N1

P2 P1
M M2 H N2 y N

x

P1P2 ? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (z1 ? z2 )2