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2013年数学高考总复习重点精品课件:同角三角函数的基本关系及诱导公式 60张


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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第四章

三 函 与 角 角 数 三 形

第四章

三角函数与三角形

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第四章
第二节 同 三 函 的 本 系 诱 公 角 角 数 基 关 及 导 式

第四章

三角函数与三角形

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基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

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第二节

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基础梳理导学

第四章

第二节

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重点难点

引领方向

重点:1.掌握同角三角函数的关系公式. π 2.掌握-α,π±α,2π-α,2± 的诱导公式. α 难点:诱导公式的规律性及综合运用.

第四章

第二节

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夯实基础

稳固根基

1.同角三角函数的基本关系

1 () 倒数关系:tn α· α=_____; 1 a ct o
s α n i a () 商数关系: 2 =__tn_ α ___ _ cs α o ;

1 () 平方关系:s 2α+cs 2α=_____; 3 n i o

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2.三角函数的诱导公式 () 诱导公式的内容 1

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() 诱导公式的规律 2 kπ 诱导公式概括为: 2 ± α(k∈Z)的 弦 余 值 当 正、弦, 数 ,角 时得 α的 名 角 数 ; 同 三 函 值当 k为 数 ,角 奇 时得 k 为偶 α 相应

的 函 值然 放 把 余 数 ,后 上 角

α 看成锐角时原函数所在象限的符

号;可概括为“奇变偶不变,符号看象限”.

第四章

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疑难误区

点拨警示

1.已知角 α 的某一种三角函数值,求角 α 的其余三角函 数 时如 应 平 关 ,要 行 类 论先 定 的 值 ,果 用 方 系就 进 分 讨 ,确 角 终边所在的象限, 再确定三角函数值的符号. 要注意公式的合 理选择和方法的灵活性. 2. 利 同 三 函 的 本 在用角角数基关 系简求时要 化、值,注

意用“是否是同角”来区分和选用公式.

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3. 应 诱 公 进 三 式 化 、 值 , 注 在用导式行角的简求时应意 公中号选.用式把 式符的取应公时角 kπ±α 的 式 , 对 形时常 确定角所在的象限. 4.要熟记特殊角的三角函数值. α 看锐 成 角 ,如果出现 ....

k 值是奇数还是偶数进行分类讨论,以

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思想方法技巧

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解题技巧 1.怎样计算任意角的三角函数值 计算任意角的三角函数值, 主要是运用诱导公式化任意角 三角函数为锐角三角函数,其一般步骤是: () 负 正 当 知 为 角 , 利 - 1 化 :已 角 负 时先 用 α 的诱导公式把

这个角的三角函数值化为正角的三角函数值;

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() 正化主:当已知角不在区间[° ,30 时 可 2 0 6° ) ,用 +α 的 导 式 这 角 三 函 值 为 区 诱公把个的角数化主间 上的角的三角函数值; () 主 锐 当 知 是 3 化 : 已 角 10 8° ±

k· 30 6°

[° ,30 0 6° )

90° 30 间 角 , 利 到 6° 的 时 可 用 0°

α,360° -α 的 导 式 这 角 三 函 值 为 诱公把个的角数化 (对 非 殊 用 表 用 算 于特角查或计器

到 90° 的 的 角 数 间角三函值 求出结果).

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2.证明三角恒等式的常用方法 证明三角恒等式的主要思考方法有: () 化繁为简,即从等式较繁的一边出发,利用三角公式 1 及变形技巧,逐步变形到等式的另一边. () 左右归一,当欲证式两边都比较复杂时,把两边分别 2 变形化简,得到同一个式子. () 转换命题,即把原命题转化为它的等价命题,简化证 3 明过程.

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3.“1”的代换 在 值化 、明 ,把 求 、简证 时常 数 1 表示为三角函数式或特

殊角的三角函数值参与运算, 使问题得以简化. 常见的代换有: 1=s 2α+cs 2α n i o 1=tn5 a4° =tn α· α a ct o

1=( α+cs α)2-2 αcs α 等等. s n i o s n i o

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4.三角函数求值中直角三角形的运用 先根据所给三角函数值, 把角看成锐角构造相应的直角三 角形.求 该 角 各 角 数 , 添 符 即 . ,出锐的三函值再上号可 ※5.同角三角函数关系的六边形法则

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记:弦切割左右中 忆上中下,正余 倒三角、乘积两边夹、商数依次除. 应用:寻找解题途径. 如已知 s α n i

1, 数 角 、 方 倒对线平

①利用平方关系可求 cs α,进而求 a α,ct α. o tn o ②利用倒数关系可求 c α,进而可求 ct α 等. s c o

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考点典例讲练

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同角三角函数的基本关系

[例 1] 1 A. 5

α是 二 限 , 第象角 1 B.- 5

5 a α=- , s α 等于( tn 则n i 12 5 C. 13 5 D.- 13

)

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n i o ?s 2α+cs 2α=1, ? 解 : 解 1:∵? s α 析 法 n i 5 - ?cs α= 1 . 2 ?o 5 解 s α=± .又∵α 为 二 限 , 得 n i 第象角 1 3 5 ∴s α>0,∴s α= .故 C. n i n i 选 1 3

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5 解法 2:设 a α1= ,α1 为锐角, tn 12 5 如图在 Rt△ABC 中 由 a α1=12, , tn 设 AC=5,BC=12,则 AB=13, 5 ∴s α1=13, n i 5 ∵α 为第二象限角,∴s α>0,从而 s α=13. n i n i

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解法 3:∵α 是第二象限角,∴s α>0,排除 B、D, n i s α n i 5 又 a α=cs α=-12,由勾股数组 5,12,13 知排除 A, tn o ∴选 C.

答案:C

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点评:记住常用的勾股数组非常方便.常用的有:①3,4,5 ②5,12,13 k∈N+. ③7,24,25 ④8,15,17 以及它们的倍数, 3k,4k,5k 如

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3-1 已 θ∈(0,π),s θ+cs θ= 知 n i o , a θ的 为 ( 则 tn 值 2 3 A. - 3或 - 3 C. - 3 3 B. - 3 3 D. - 2

)

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3-1 解析:由 s θ+cs θ= n i o 两边平方得, 2 3 s θ· θ=- 4 , n cs i o s θ· θ n cs i o a θ tn 3 ∵s θ· θ= 2 n cs i o 2 = 2 =- 4, s θ+cs θ 1+tn θ n i o a 3 ∴tn θ=- 3或 a θ=- . a tn 3

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由于 θ∈(0,π),0s < n i
?π ? ∴θ∈?2,π?,∴s n i ? ?

1 θ+cs θ= ( 3-11 , o ) < 2

θ>0,cs θ<0, o
?π 3π? θ∈?2, 4 ? ? ?

∴| θ|cs s > n i |o

θ|,∴| θ|1 ,即 a tn >

∴tn θ<-1,∴tn θ=- 3,故应选 C. a a
答案:C

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3-1 点评:本题中由 s θ+cs θ= n i o 两边平方扩大了 θ 的 2 取值范围会引起增解,必须结合 0<θ<π 与 0s < n i π 出2<θ<π, 而 出 进得 s θ|cs n > i | |o θ+cs θ<1 得 o

3 θ|来去掉增解 a θ=- 3 , 变 tn 故

换时必须要等价,使用不等价变换时,一定要检验.

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[例 2]
? ? ? ?

化简: 1-s α? ? n ?? i ?· 1+s α? ? n i ? 1+cs o α - 1-cs α o 1-cs o α 1+cs o α
? ? ?. ?

1+s α n i - 1-s α n i

分析: “脱”去根号是我们的目标, 这就希望根号下能成 为 全 方 ,意 同 三 函 的 方 系 ,用 式 完 平 式注 到 角 角 数 平 关 式利 分 的性质可以达到目标.

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? 解析:原式=? ? ? ? ? ? ?

?1+s α?2 n i cs 2α - o ?1-cs α?2? o ? s 2α ? n i ?

?1-s α?2? n i ? · 2 cs α ? o ?

?1+cs ?2 o α - s 2α n i

?1+s α 1-s α??1+cs α 1-cs α? n i n ?? i o o ? ? =? - cs α| ?? s α| - s α| ? |o |o i | n i | ? cs α| ?? n ?

2 α 2o α s n i cs = · cs α| s α| |o n i |
?4 ? =? ?-4 ?

?α在 一 三 限 第、象时 ?α在 二 四 限 第、象时

?, ?.

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点评:注意变形的技巧,对于

1+s α n i .我们可以分子、 1-s α n i 1-s α, 分 n i 但

分母同乘以 1+s α, 可 分 、 母 乘 n i 也 以 子分 同 以

母变为“单项式”更方便些,故选择同乘以 1+s α. n i

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已知 sinα· cosα<0,sinαtanα>0,化简 α cos2· α 1-sin2 α α+sin2· 1+sin2 α 1+cos2 α=________. 1-cos2

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解析:∵s α· α<0,∴α 为第二或第四象限角, n cs i o 又∵s α· α>0,∴α 为第四象限角, n a i tn α ∴2为第二或四象限角. α α 1-s n i 1+cs o 2 2 α α ∴原式=cs · o +s ·? n i 2 ? α? 2 α? ?cs ?s o ? n ? i 2? 2? ? ?

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α ? α n i o ?s 2+cs 2 =? ?-s α-cs α n 2 o 2 i ? ∴原式=± 2s n i

?α ? ? 为第二象限角?, ?2 ? ?α ? ? 为第四象限角?. ?2 ?

?α π ? ? + ?. ?2 4?

答案:± 2s n i

?α π ? ? + ? ?2 4?

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利用诱导公式进行化简求值

[例 3]

设 f(x)=as( n iπ

x+α)+bcs o ( π

x+α), 中 a、b、 其 =5,则 f(04 21)

α∈R,且 ab≠0,α≠kπ (k∈Z).若 f(03 21) 等于( A.4 ) B.3

C.-5 D .5

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解析:∵f(03 21) as α-bcs α=5, n i o

=as(03 n 1π i2

+α)+bcs03 o 1π ( 2

+α)=-

∴as α+bcs α=-5.∴f(04 n i o 21)

=as α+bcs α=-5. n i o

答案:C

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s ?kπ-α?· ?k-1?π-α] n i cs o [ 化简 =______(k∈Z). s[ ?k+1?π+α]s ?kπ+α? n i c · o

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解析:对参数 k 分 数 偶 讨 . 奇、数论当 s ?2nπ+π-α?· ?2nπ-α? n i cs o 时,原式= s ?2nπ+2π+α?· ?2nπ+π+α? n i cs o s ?π-α?· α n i cs o s α· α n cs i o = = =-1. s α· ?π+α? s α· o α? n cs i o n ?-cs i 当 k=2n(n∈Z)时 原 ,式 s ?2nπ-α?· ?2nπ-π-α? n i cs o = s ?2nπ+π+α?· ?2nπ+α? n i cs o

k=2n+1(n∈Z)

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-s α· o α? n ?-cs i = =-1. -s α· α n cs i o s ?kπ-α?· ?k-1?π-α] n i cs o [ 所以 =-1. s[ ?k+1?π+α]s ?kπ+α? n i c · o

答案:-1

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同角三角函数关系的综合应用

[ 例 4] 2o cs


已 知 a2 α = - 2 2 ,且满足 tn

π π <α< , 则 4 2

n i 2-s α-1 的值为( π 2s ? +α? n i 4 A. 2

)

B.- 2

C.-3+2 2 D.3-2 2

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2o cs 解析:

-s α-1 cs α-s α 1-tn α n i o n i a = = . π s α+cs α a α+1 n i o tn 2s ? +α? n i 4 2



2 α a tn 又 a2 α=-2 2= tn a 2α-tn α- 2=0. n a 2 ? 2t 1-tn α a 2 解得 a α=- 2 或 2. tn 1- 2 π π 又 <α< ,∴tn α= 2.原式= a =-3+2 2.故选 C. 4 2 2+1
答案:C
第四章 第二节

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点评:形如 as α+bcs α 和 as 2α+bs αcs α+ccs 2α 的 n i o n i n o i o 式子分别称为关于 s α、o α 的一次齐次式和二次齐次式, n i cs 如 已知 a α=m, 涉 它 的 角 的 时 常 tn 求 及 们 三 式 值 ,作 ①1 的代换,

②s α=mcs α 代入,③选择题常用直角三角形法求解,④所 n i o 给 是 式 ,用 子分 同 以 式 分 时常 分 、母 除 cs kα(k=1,2, o ?)变形.

第四章

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(02 21·

辽大 宁连

a α tn 2 中 中 )已 4 期 知 =-1,则 s 2α+ n i a α-1 tn

s αcs α+2=____. n o i ____

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1 解析:解法 1:由已知得 a α= , tn 2 ? ?s α= 1 , n i 5 ? 解得? ?cs α= 2 , o ? 5 ?
2

? ?s α=- 1 , n i 5 ? 或? ?cs α=- 2 , o ? 5 ?

1 2 13 所以 s α+s αcs α+2=5+5+2= 5 . n i n o i

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1 解法 2:由已知得,tn α= , a 2 s 2α+s αcs α n i n o i 2 ∴s α+s αcs α+2= n i n o i +2 s 2α+cs 2α n i o 12 1 ?2? +2 a 2α+tn α tn a 13 = +2= 1 +2= 5 . a 2α+1 tn ?2?2+1
13 答案: 5

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课堂巩固训练

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一、选择题 1.(文)设 cs -8° =k,那么 a10 o ( 0 ) tn0° 1-k2 A. k 1-k2 B.- k =( )

k k C. D.- 2 1-k 1-k2

[答案]

B

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[解析]

∵s8° n0 i

= 1-cs 280° o

= 1-cs 2?-80° o ?= 1-k2, ∴tn0° a10 =-tn0 a8° s8° n0 i =-cs0 o° 8 1-k2 =- k .

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(理)02 ( 1· 2 则 a α=( tn

辽理 宁 , 7)已知 s α-cs α= 2,α∈(0,π), n i o )

2 A.-1 B .- 2 2 C. 2
[答案]

D.1

A

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[解析]

解法 1: 题 知 由 意 ,

s α-cs α= 2,s 2α- n i o n i

2 αcs α+cs 2α=2,s2 α= 1,∵α∈(0,π). s n i o o n i - ∴2α∈(2) 0π , 3 π 3 π ,∴2α= 2 ,α= 4 ,

3 π ∴tn α=tn a a = 1 - . 4 解 2: a α=k, s α=kcs α, 入 s α-cs α= 2 法 设 tn 则n i o 代 n i o 2 2k 中 , cs α= 得 o ,∴s α= n i , k-1 k-1 ∵s 2α+cs 2α=1, n i o 2k2 2 ∴ -1 . 2+ 2=1,∴k= ?k-1? ?k-1?
第四章 第二节

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4? 3 ? o 2.(文)若 z=s θ- +i?cs θ-5?是纯虚数,则 a θ 的值 n i tn 5 ? ? 为( ) 3 A.± 4 4 B.± 3

3 3 C.-4 D 4 .
[答案] C

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[解析]

? n i ∵z=?s ?

3? ? 4? θ- ?+i?cs θ- ?为纯虚数, o 5? ? 5?

3 4 ∴s θ-5=0 且 cs θ-5≠0, n i o 3 4 s θ n i 3 ∴s θ= ,cs θ=- ,∴tn θ= n i o a =- .故选 C. 5 5 cs θ o 4

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5 (理)已知△ABC 中,tn A=- ,则 cs A=( a o 12 12 A.13 5 C.- 13 5 B.13 12 D.- 13

)

[答案]

D

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[解析]

5 在△AC 中,由 a A=- <0 知,∠A 为钝角, B tn 12

s 2A+cs 2A n i o 1 169 2 所以 cs A<1 +tn A= o 0 , a =cs 2A=144,所以 cs A o cs 2A o o 12 =- ,故选 D. 13

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[点评]

学数要强思算训,提思能 习学加多少的练以高维 a A= tn

力尤是择,注结其点取本中 ,其选题要意合特选.题,

5 -12,A 为三角形内角,即知 A 为钝角,∴cs A<0,排除 A、 o B; 由 股 组 又勾数 选 D. s A n i 12 5、12、13 及 a A= tn 知,|s A|= ,故 c o cs A o 13

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二、填空题 3.数 y= a x+lo 函 tn gs c x的 义 是 定域 ________________.

[答案]

π {x|2kπ≤x<2kπ+2,k∈Z}

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[解 ] 析 如, 图由

由意 题知

?a n ?t ? ?cs ?o

x≥0, x>0,

π a x≥0 得 mπ≤x<mπ+ ,m∈Z, tn , 2

π π 由 cs x>0 得 2nπ- <x<2nπ+ ,n∈Z. o , 2 2 π ∴2kπ≤x<2kπ+2,k∈Z.

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cs x o 4.设 f(x)= ,则 f(° +f(° +?+f(9 = 1 ) 2 ) 5° ) cs ?30° o -x? ________.

59 3 [答案] 2

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[解析]

f(x)+f(0 -x) 6°

cs ?60° o -x? cs x+cs ?60° o o -x? cs x o = + = cs ?30° o -x? cs ?x-30° o ? cs ?30° o -x? 3cs ?x-30° o ? = = 3. cs ?30° o -x? ∴f(° +f(° +?+f(9 1 ) 2 ) 5° ) =(f(° +f(9 1 ) 5° ) +(f(° +f(8 2 ) 5° ) +?+(f(9 +f(1 2° ) 3° ) +

3 59 3 f(0 =29 3+ 2 = 2 . 3° )

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