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第04课时§6.2算术平均数与几何平均数(1)


高二数学学案 学习目标:

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第 04 课时 §6.2 算术平均数与几何平均数(1)
①理解不等式“两个实数的平方和不小于它们之积的 2 倍”的证明及其几何解释; ②理解两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其几何解释; ③通过本节课学习,培养对数学知识的理解能力、应用能力及论证能力 . 重点难点:①重点是算术平均数与几何平均数定理. ②难点是算术平均数与几何平均数定理的应用 . 知识要点: ①设 a,b∈R, 则有:a 2 +b 2 ≥2ab;
a?b ②对于正数 a、b,称 叫做 a、b 的算术平均数,称 ab 叫做几何平均数; 2

宿豫县大兴高级中学高二数学备课组 ad ? bc bc ? ad 例 4.已知 a,b,c,d 都是正数,求证: ? ?4 bd ac

例 5.已知 a,b,c 为实数,求证:ac+ab+bc≤a 2 +b 2 +c 2 .

③正数 a、b 的算术平均数和几何平均数之间的关系是: (当且仅当 a=b 时,取等号) 例题精讲: 例 1.已知:x,y 都是正数,求证: (1)
x y ? ?2 y x

a?b ≥ ab . 2

(2) (x+y)(x 2 +y2 )(x 3 +y3 )≥8x 3 y3

例 2.求证: (

a ? b 2 a 2 ? b2 ) ? 2 2

随堂训练: 1.设 0<m<1,0<n<1, 则下列各式中最大的一个是 [ ] 2 2 A.2mn B.m+n C.2 mn D.m +n 2.已知 a、b 为正数,下列不等式不成 立的是 [ ] 2 2 b a b a b a 1 1 1 1 2 ? a ? b C. 2 ? 2 ? ? D. 2 ? 2 ? A. ? ? 2 B. ? a b a b a b ab a b a b 2 2 5 5 3 2 2 3 2 3.若 a,b∈R,a≠b, 在①a +3ab>2b ;②a +b >a b +a b ;③a +b 2 ≥2(a-b-1); a b ④ ? ? 2 四个不等式中成立的有 [ ] b a A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 1 4.设 P= 2 ,Q=a 2 -a+1,则有: [ ] a ? a ?1 A.P≥Q B.P>Q C.P≤Q D.P<Q 3 5.已知 a,b 都是正数,a≥b, x= a ? 3 b ,y= 3 a ? b ,则有: [ ] A.x≥ y B.x>y C.x≤y D.x<y 5 4 3 6.当 x≥1 时,x +x +x x 2 +x+1。 7.求证:b 2 c 2 +c 2 a 2 +a 2 b 2 ≥abc(a+b+c)

例 3.已知 a,b 都是正数,求证:

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a 2 ? b2 2

1 1 1 8.求证:a,b,c 为正数,且 a+b+c=1,则 ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ≥8 a b c


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