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最新精编高中人教A版选修1-1高中数学拔高习题十二2.2.1双曲线及其标准方程和答案

温馨提示: 课时提升作业 十二 双曲线及其标准方程 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.设θ∈ ,则关于 x,y 的方程 =1 所表示的曲线是 ( ) A.焦点在 y 轴上的双曲线 C.焦点在 y 轴上的椭圆 【解析】选 C.方程即 + B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 x 轴上的椭圆 =1,因为θ∈ ,所以 sinθ>0,cosθ<0,且-cos θ>sinθ,故方程表示焦点在 y 轴上的椭圆. 【补偿训练】在方程 mx2-my2=n 中,若 mn<0,则方程的曲线是 A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 x 轴上的双曲线 C.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线 【解析】选 D.方程 mx2-my2=n 可化为: =1,因为 mn<0,所以- >0, ( ) 所以方程的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线. 2.(2016·枣庄高二检测)双曲线 个焦点的距离为 ( ) - =1 上的点到一个焦点的距离为 12,则到另一 A.22 或 2 B.7 C.22 D.2 【解析】选 A.因为 a2=25,所以 a=5. 由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=10, 由题意知 |PF1|=12, 所以 |PF1|-|PF2|= ±10, 所以|PF2|=22 或 2. 3.设动点 P 到 A(-5,0)的距离与它到 B(5,0)距离的差等于 6,则 P 点的轨迹方程是 ( ) B. =1 A. - =1 C. =1(x≤-3) D. - =1(x≥3) 【解析】选 D.由题意知,动点 P 的轨迹应为以 A(-5,0),点 B(5,0)为焦点的双曲线的 右支. 由 c=5,a=3,知 b2=16, 所以 P 点的轨迹方程为 - =1(x≥3). 【误区警示】容易忽视 x 的取值范围而导致错选 A. 4.(2016· 泉州高二检测)已知定点 A,B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA| 的最小值是 ( A. ) B. C. D.5 【解析】 选 C.由题意知,动点 P 的轨迹是以定点 A,B 为焦点的双曲线的一支(如图), 从图上不难发现,|PA|的最小值是图中 AP′的长度,即 a+c= . 5.(2016· 潍坊高二检测)双曲线 -y2=1(n>1)的两焦点为 F1,F2,P 在双曲线上,且满足 |PF1|+|PF2|=2 ,则△PF1F2 的面积为 ( ) A. B.1 C.2 D.4 【解析】选 B.不妨设 F1,F2 是双曲线的左、右焦点, P 为右支上一点, |PF1|-|PF2|=2 |PF1|+|PF2|=2 由①②解得: |PF1|= + ,|PF2|= , ,① ,② 得:|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2, 所以 PF1⊥PF2, 又由①②分别平方后作差得: |PF1||PF2|=2, 所以 = |PF1|·|PF2|=1. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2016·唐山高二检测)已知 P 是双曲线 - =1 上一点,F1,F2 是双曲线的两个焦 点,若|PF1|=17,则|PF2|的值为 . 【解析】由条件知 a2=64,即 a=8,c2=b2+a2=100,c=10, 所以双曲线右支上的点到左焦点 F1 的最短距离 a+c=18>17,故点 P 在双曲线左支 上. 所以|PF2|-|PF1|=2a=16, 即|PF2|=16+|PF1|=33. 答案:33 【误区警示】本题易直接利用定义求解,忽视右支上的点到左焦点的最短距离为 a+c,而出现错误结论|PF2|=1 或|PF2|=33. 【补偿训练】在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-6,0)和 C(6,0),若顶 点 B 在双曲线 - =1 的左支上,则 = . 【解题指南】 由正弦定理可将 转化为边的比,而△ABC 的顶点 A,C 已知, 故边 AC 长可求,B 在双曲线上,由定义可求|BC|-|BA|. 【 解 析 】 由 条 件 可 知 |BC|-|BA|=10, 且 |AC|=12, 又 在 △ ABC 中 , 有 = 答案: 7.(2016·烟台高二检测)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为 F1(位于该双曲线上,线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是 【解析】 设双曲线方程为 - =1,因为 c= ,c2=a2+b2,所以 b2=5-a2,所以 ,0),点 P . =1. = =2R,从而 = = . 由于线段 PF1 的中点坐标为 (0,2), 则 P 点的坐标为 ( - ,4). 代入双曲线方程得 =1,解得 a2=1 或 a2=25(舍去),所以双曲线方程为 x2- =1. 答案:x2- =1 8.已知双曲线 - =1 上一点 M 的横坐标为 5,则点 M 到左焦点的距离是 【解题指南】利用双曲线的定义求解. 【解析】由于双曲线 |yM|= ×3= 答案: . =1 的右焦点为 F(5,0),将 xM=5 代入双曲线方程可得 +2 . ,即为点 M 到右焦点的距离,由双曲线的定义知 M 到左焦点的距离为 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.已知双曲线与椭圆 求双曲线的方程. + =1 有相同的焦点,且与椭圆的一个交点的纵坐标为 4, 【解析】椭圆的焦点为 F1(0,-3),F2(0,3), 故可设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0), 且 c=3,a2+b2=9.由条件知,双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为 4,可得两交点的坐标 为 A( ,4),B(,4), - =1. 得 由点 A 在双曲线上知, 解方程组 所以所求双曲线的方程为 - =1. 10.如图,在△ABC 中,已知|AB|=4 适当的坐标系,求顶点 C 的轨迹方程. ,且三内角 A,B,C 满足 2sinA+si