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江西师范大学附属中学2017届高三3月月考数学(理)试题 Word版含答案


江西师大附中高三年级数学(理科)试卷
命题人、审题人: 本试卷共 4 页,23 题(含选考题) 。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。
2 2 (1)设集合 A ? x | 2 x ? 5 x ? 3 ? 0 , B ? y | y ? log 2 ( x ? 3 x ? 4) ,则 A ? B ?

?

?

?

?

(A) [ ?3, ] (2)函数 y ? 2sin ( x ?
2

1 2

(B) [? ,3]

3? ) ?1是 2

1 2

(C) (1,3]

(D) (4, ??)

(A)最小正周期为 ? 的偶函数 (C)最小正周期为

(B)最小正周期为 ? 的奇函数 (D)最小正周期为

? 的偶函数 2

? 的奇函数 2

(3)复数 z 满足 zi ? 3 ? 4i ,若复数 z 对应的点为 M ,则点 M 到直线 3x ? y ? 1 ? 0 的距 离为 (A)

4 10 5

(B)

7 10 5

(C)

8 10 5

(D) 10

(4)已知函数 f ( x) ? ? (A) ?2

?? log 2 (3 ? x), x ? 2, ,若 f (2 ? a) ? 1 ,则 f (a ) ? x ?2 ? 2 ? 1, x ? 2
(B) ?1 (C) 1 (D) 2

(5)已知数列 ?an ? 为等差数列,且满足 BA ? a3 OB ? a2015 OC ,若 AB ? ? AC(? ? R) , 点 O 为直线 BC 外一点,则 a1 ? a2017 ? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4

uu u r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

(6)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说: “罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两 人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真 话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是 (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁

(7)春天来了,某学校组织学生外出踏青.4 位男生和 3 位女生站成一排合影留念,男生甲和

乙要求站在一起,3 位女生不全站在一起,则不同的站法种数是

(A)964

(B)1080

(C)1152

(D)1296

(8)一个三棱锥的三视图如下图所示,则该几何体的体积为 (A) 1 (B)

4 3 3 8 3 3
2

2 1 1

(C) 2

(D)

2

(9)执行如图所示的程序框图,则输出的 S ?

(A) 4

(B) 5

(C) 15 ? 1

(D) 6
开始

(10)已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,满足

f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 , 且当 x ? [0,1) 时, f ( x) ? ln(e x ?
1 则函数 g ( x ) ? f ( x ) ? x 在区间 [?6, 6] 上的零点个数是 3
(A)4 (B)5 (C)6

x ), x ?1

S= 2,i=1 S=S+ 1 i+1+ i i≥15

输出S

i=i+1


(D)7

x2 y 2 (11)已知 F1 , F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左、右焦 a b
点,设双曲线的离心率为 e .若在双曲线的右支上存在点 M ,满 足 | MF2 |?| F 1 F2 | ,且 e sin ?MF 1F 2 ? 1 ,则该双曲线的离心率 e 等于 (A)

结束

5 4

(B)

5 3

(C) 5

(D)

5 2

(12)下列命题为真命题的个数是 ① e ? 2 ;② ln 2 ? (A)1
2 e

2 ln ? 1 ln 2 ln ? ? ;④ ? ;③ 3 ? e 2 ?
(C)3 第Ⅱ卷 (D)4

(B)2

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须 作答。第(22) 、 (23)题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)若向量 m ? (2,1), n ? (?3, 2? ) ,且 (2m ? n) ∥ (m ? 3n) ,则实数 ? ?

u r

r

u r r

u r

r

.

(14)若 (1 ? 8 x )( ax ?
5 2

1 4 ) 的展开式中含 x3 项的系数是16 ,则 a ? x

.

? x2 ? y 2 ? 4 ( 15 ) 若 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 ? , 则 x 2 ? y 2 ? 8x ? 4 y 的 最 小 值 ?2 x ? y ? 4 ? 0
为 .

( 16 ) 已 知 数 列 ?an ? 与 ?bn ? 满 足 an ?

1 bn ? 2 (n ? N * ), 若 ?bn ? 的 前 n 项 和 为 3

n 且 ? an ? bn ? 8(n ? 3) ? 2? 对一切 n ? N * 恒成立,则实数 ? 的取值范围 Tn ? 3 ( 2 ? 1)



.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ?)( A ? 0, ? ? 0,| ? | ?
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)在 ? ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,

?

) 的部分图像如图所示. 2

若 (2a ? 3c)cos B ? 3b cos C ,求 f ( ) ? sin C 的取值 围.

A 2



(18) (本小题满分 12 分) 已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组,参加由安徽卫视推出 的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》.活动共有四关,若四关都闯过,则闯关成功, 否则落水失败.设男生闯过一至四关的概率依次是 , 次是

5 4 3 2 , , ,女生闯过一至四关的概率依 6 5 4 3

4 3 2 1 , , , . 5 4 3 2

(Ⅰ)求男生甲闯关失败的概率; (Ⅱ)设 ? 表示四人冲关小组闯关成功的人数,求随机变量 ? 的分布列和期望.

(19) (本小题满分 12 分) 如 图 1 , 在 矩 形 ABCD 中 , AB ? 5, AD? 2 , 点 E , F 分 别 在 边 AB, CD 上 , 且

AE ? 4, DF ? 1, AC 交 DE 于点 G .现将 ? ADF 沿 AF 折起,使得平面 ADF ? 平
面 ABCF ,得到图 2. (Ⅰ)在图 2 中,求证: CE ? DG ; (Ⅱ)若点 M 是线段 DE 上的一动点,问点 M 在什么位置时,二面角 M ? AF ? D 的 余弦值为
D O G A
图1

3 . 5
F C D O E B A
图2

F G E B

C

(20) (本小题满分 12 分)

y 2 x2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? ,两焦点分别为 F1 , F2 ,右顶点 2 a b 2 uuuu r uuuu r 为 M , MF 1 ? MF 2 ? ?2 .
已知椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设过定点 (?2, 0) 的直线 l 与双曲线

x2 ? y 2 ? 1的左支有两个交点,与椭圆 C 交于 4

r uuu r 6 uuu A, B 两点,与圆 N : x2 ? ( y ? 3)2 ? 4 交于 P, Q 两点,若 ? MAB 的面积为 ,AB ? ? PQ , 5
求正数 ? 的值.

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3 x ? 2, g ( x) ? kx ? 2 ln x ? 3( k ? ? ) .
3 2

1 6

(Ⅰ)若过点 P(a, ?3)(a ? 0) 恰有两条直线与曲线 y ? f ( x) 相切,求 a 的值; (Ⅱ)用 min{ p, q} 表示 p, q 中的最小值,设函数 h( x) ? min{ f ? x ? , g ? x ?}( x ? 0) , 若 h( x) 恰有三个零点,求实数 k 的取值范围.

请考生在第(22) 、 (23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? ? x ? ?2 ? t ( t 为参数),若以该直角坐标 y ? 3 t ? ?

系的原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 . ? sin2 ? ? 4 cos ?? 0 (Ⅰ)求直线 l 与曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)已知直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,设 M (?2,0) ,求

1 1 ? 的值. MA MB

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ?3x ? 4 ,记不等式 f ( x) ? ?3 的解集为 M . (Ⅰ)求 M ; (Ⅱ)当 x ? M 时,证明: x[ f ( x)]2 ? x2 | f ( x) |? 0 .

江西师大附中高三年级数学(理科)答案
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 (1)B【解析】由 2 x 2 ? 5 x ? 3 ? 0 得 ?
2

1 1 ? x ? 3 ,∴ A ? [? ,3] . 2 2
1 ,3] . 2

∵函数 y ? log2 ( x ? 3x ? 4) 的值域为 R , ∴ B ? R , ∴ A ? B ? [ ? (2)A【解析】∵ y ? 2sin ( x ?
2

3? ) ? 1 是最小正周期为 ? 的偶函数. 2 3 ? 4i 3i ? 4 ? ? 4 ? 3i ,∴ z ? 4 ? 3i , (3)D【解析】由 zi ? 3 ? 4i 得 z ? i ?1
∴ y ? 2sin ( x ?
2

3? ) ? 1 ? ? cos(2 x ? 3? ) ? cos 2 x , 2

∴ z 对应的点为 M (4,3) , ∴所求距离为 d ?

| 3 ? 4 ? 3 ? 1| ? 10 . 10

(4)A【解析】当 2 ? a ? 2 即 a ? 0 时, 2

2?a ?2

? 1 ? 1 ,解得 a ? ?1 ,

则 f (a) ? f (?1) ? ? log2[3 ? (?1)] ? ?2 ;

1 ,舍去. ∴ f (a) ? ?2 . 2 uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r (5)A【解析】∵ BA ? a3 OB ? a2015 OC , ∴ OA ? OB ? a3 OB ? a2015 OC ,
当 2 ? a ? 2 即 a ? 0 时, ? log2 [3 ? (2 ? a)] ? 1 ,解得 a ? ? 即 OA ? (a3 ? 1)OB ? a2015 OC , 又∵ AB ? ? AC(? ? R) , ∴ a3 ? 1 ? a2015 ? 1 , ∴ a1 ? a2017 ? a3 ? a2015 ? 0 .

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

(6)B【解析】∵乙、丁两人的观点一致,∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假;
若乙、丁两人说的是真话,则甲、丙两人说的是假话,由乙说真话推出丙是罪犯的结论;由 甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论,矛盾;∴乙、丁两人说的是假话,而甲、 丙两人说的是真话;由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯.
2 6 (7)C【解析】男生甲和乙要求站在一起共有 A2 A6 ? 1440 种,其中男生甲和乙要求站在一起

且女生全站在一起有 A2 A3 A4

2

3

4

? 288 种,∴符合题意的站法共有 1440 ? 288 ? 1152 种.

(8)C【解析】由三视图可得到如图所示几何体,该几何体是由正方体切割 得到的,利用传统法或空间向量法可求得三棱锥的高为 3 ,

∴该几何体的体积为 ? (9)B【解析】∵

1 3

3 (2 2) 2 ? 3 ? 2 . 4

1 ? i ?1 ? i , i ?1 ? i

∴输出的 S ? 2 ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ?L ? ( 16 ? 15)

? 2 ? 1 ? 16 ? 5 .
(10)B【解析】由 f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 ,令 x ? 1 ,则 f (1) ? 0 , ∵ f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 , ∴ f ( x ) 的图像关于点 (1, 0) 对称, 又 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,∴ f ( x) ? ? f (2 ? x) ? f ( x ? 2) , ∴ f ( x) 是周期为 2 的函数. 当 x ? [0,1) 时, f ( x) ? ln(e ?
x

x 1 ) ? ln(e x ? ? 1) 为增函数, x ?1 x ?1

画出 f ( x ) 及 y ? ?

1 x 在 [0, 6] 上的图像如图所示, 3 1 x 3
–1
y

经计算,结合图像易知,函数 f ( x ) 的图像与直线 y ? ? 在 [0, 6] 上有 3 个不同的交点,由函数的奇偶性可知, 函数 g ( x ) ? f ( x ) ?

2 1 –1 –2 1 2 3 4 5 6 7
x

1 x 在区间 [?6, 6] 上的零点个数是 5. 3

(11)B【解析】依题设, | MF2 |?| F 1F 2 |? 2c , ∵ e sin ?MF 1 F2 ? 1F 2 ? 1 , ∴ sin ?MF

1 2a ? , e 2c

4b , ∴等腰三角形 ?MF 1 F2 底边上的高为 2 a , ∴底边 MF 1 的长为
由双曲线的定义可得 4b ? 2c ? 2a ,∴ 2b ? a ? c ,
2 2 ∴ 4b ? (a ? c) ,即 4b ? a ? 2ac ? c , ∴ 3e ? 2e ? 5 ? 0 ,解得 e ?
2 2 2 2

(12)D【解析】令 y ? ∴y?

ln x 1 ? ln x ,则 y ? ? , x x

5 . 3

ln x 在 (0, e) 上单调递增,在 (e, ??) 上单调递减, x ln 2 ln e ln e ln ? ln 4 ln 2 ? , ? ? ? ∴ , 2 e e ? 4 2
∴ ln 2 ?
2 2 ln ? 1 ln 2 ln ? ? , ? 即 2 ? ee , . ∴①③④正确. e ? e 2 ?

∵ 2 ? e , ∴ ln 2 ?
3 2

2 . 3

∴②正确.

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分。

u r r u r r 3 【解析】依题设, 2m ? n ? (7, 2 ? 2? ), m ? 3n ? (?7,1 ? 6?) , 4 u r r u r r 3 由 (2m ? n) ∥ (m ? 3n) 得, 7(1 ? 6? ) ? 7(2 ? 2? ) ? 0 ,解得 ? ? ? . 4
(13) ? (14) ?2 【解析】 (ax ?
2

1 4 ) 展开式的通项公式为 x

r Tr ?1 ? C4 (ax 2 )4?r (?

5 8? r 1 r r 4?r ) ? (?1)r C4 a x 2 , r ? 0,1, 2,3, 4 . x

令8 ?

5 5 r ? 3 ,得 r ? 2 ; 令 8 ? r ? ?2 ,得 r ? 4 . 2 2
y
4 3 2

2 2 ∴依题设,有 C4 a ? 8 ? 16 , 解得 a ? ?2 .

M N
1 2 3 4

(15) 4 ? 8 5 【解析】画出可行域如图阴影部分,

1 –4 –3 –2 –1 O –1 –2

x

x2 ? y2 ? 8x ? 4 y ? ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 20

–3 –4

表示可行域内的点 P( x, y) 到定点 M (4, 2) 的距离的平方减去 20 ,连接 ON 交圆于点 N , 则点 N 为可行域内到点 M 距离最小的点, ∴ x2 ? y 2 ? 8x ? 4 y 的最小值为 ( 42 ? 22 ? 2)2 ? 20 ? 4 ? 8 5 . (16) [4, ??) 【解析】依题设,当 n ? 1 时, b1 ? T1 ? 3 ; 当 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn?1 ? 3(2n ?1) ? 3(2n?1 ?1) ? 3? 2n?1 , 又∵当 n ? 1 时, b1 ? 3 ? 3? 21?1 , ∴ bn ? 3? 2n?1 . ∴ an ? 2n?1 ? 2 .

∴ ? an ? bn ? 8(n ? 3) ? 2? 等价于 ? (2n?1 ? 2) ? 3? 2n?1 ? 8(n ? 3) ? 2? ,

n?3 对一切 n ? N * 恒成立, n 16 2 n?3 n?2 n?3 令 f ( n) ? n ,则 f (n ? 1) ? f (n) ? n ?1 ? n 2 2 2 (n ? 2) ? 2(n ? 3) 4 ? n ? ? n ?1 ,∴当 n ? 4 时, f (n ? 1) ? f (n) , 2n ?1 2
即 (? ? 3) ? 2n?1 ? 8(n ? 3) ,∴

? ?3

?

当 n ? 5 时, f (n ? 1) ? f (n) ,∴当 n ? 4 或 5 时, f (n) 取得最大值,

∴ f (n) max ? f (4) ?

1 ? ?3 1 ? , ∴? ? 4. , ∴ 16 16 16
2? ? 2? ? ) ? ? ,∴ ? ? ?2, 3 6 T ? ? ) ? 2 , ∴ cos(

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。 (17) 【解】 (Ⅰ)由图像知, A ? 2, T ? 2( 由图像可知, f ( ) ? 2 , ∴ 2 cos(2 ?

?

?
6

?
3

6

? ? ) ? 1,



?
3

? ? ? 2k? , 又∵ | ? |?

?
2

, ∴? ? ?

?
3

, ∴ f ( x) ? 2 cos(2 x ?

?
3

).

(Ⅱ)依题设, (2a ?

3c)cos B ? 3b cos C ,

∴ (2sin A ? 3sin C)cos B ? 3sin B cos C , 即 2sin A cos B ? 3(sin B cos C ? cos B sin C) ? 3 sin( B ? C) ? 3 sin A , ∴ cos B ?

? 5? 3 , 又 B ? (0, ? ) , ∴ B ? . ∴ A ? C ? . 6 6 2
A 2

由(Ⅰ)知, f ( ) ? sin C ? 2 cos( A ?

?
3

) ? sin C ? cos A ? 3 sin A ? sin(

5? ? A) 6

1 3 ? ? cos A ? 3 sin A ? cos A ? sin A ? 3sin( A ? ) , 2 2 6
又∵ A ? (0,

5? ? ? ? ) , ∴ A ? ? ( , ? ) , ∴ sin( A ? ) ? (0,1] , 6 6 6 6

∴ f ( ) ? sin C 的取值范围是 (0,3] . (18) 【解】 (Ⅰ)记“男生甲闯关失败”为事件 A ,则“男生甲闯关成功”为事件 A , ∴ P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?

A 2

5 4 3 2 1 2 ? ? ? ? 1? ? . 6 5 4 3 3 3 4 3 2 1 1 ? ? ? ? , 5 4 3 2 5

(Ⅱ)记“一位女生闯关成功”为事件 B ,则 P ( B ) ? 随机变量 ? 的所有可能取值为 0,1, 2,3, 4 .

2 4 64 P( ? ? 0) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? , 3 5 225 4 2 96 1 1 2 1 1 4 P( ? ? 1) ? C2 ? ? ? ( ) 2 ? C2 ? ? ? ( )2 ? , 3 3 5 5 5 3 225 1 1 12 1 1 2 1 1 4 P( ? ? 3) ? C2 ? ? ? ( ) 2 ? C2 ? ? ? ( )2 ? , 3 3 5 5 5 3 225 1 1 1 64 ? 96 ? 12 ? 1 52 P( ? ? 4) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? , P( ? ? 2) ? 1 ? . 3 5 225 225 225

∴ ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

64 96 52 12 225 225 225 225 64 96 52 12 1 16 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? . ∴ E (? ) ? 0 ? 225 225 225 225 225 15

1 225

(19) 【解】 (Ⅰ)∵在矩形 ABCD 中, AB ? 5, AD ? 2 , AE ? 4, DF ? 1 , ∴ tan ?DAF ?

DF AD ? ? tan ?AED , ∴ ?AOE ? 90o 即 DE ? AF . AD AE

∴在图 2 中, DO ? OF , EO ? AF . 又∵平面 ADF ? 平面 ABCF ,平面 ADF I 平面 ABCF ? AF , ∴ DO ? 平面 ABCF , ∴ DO ? CE , 依题意, AE ∥ CF 且 AE ? CF ,∴四边形 AECF 为平行四边形. ∴ CE ∥ AF , ∴ CE ? OE , 又∵ OD I OE ? O ,

∴ CE ? 平面 DOE , 又∵ DG ? 平面 DOE , ∴ CE ? DG . (Ⅱ)如图 1,在 Rt ? ADF 中, AF ? 5 , OD ?

2 1 , OF ? , 5 5

∵ DF ∥ AE , AE ? 4 DF ,∴ OE ? 4OD ? 如图,以点 O 为原点建立平面直角坐标系,则

8 . 5
z D O F G E M C B y

A(

4 1 2 8 , 0, 0) ,F (? , 0, 0) ,D(0, 0, ) ,E (0, , 0) , 5 5 5 5
A x

uuu r uu u r 8 2 , ), ∴ FA ? ( 5,0,0) , ED ? (0, ? 5 5
uuu r 4 8 AE ? (? , , 0) , 5 5
∵ EO ? AF ,∴ OE ? 平面 ADF , ∴ n1

u r

? (0,1,0) 为平面 ADF 的法向量.
uuu r uuuu r uuu r uuu r 4 8 2 , (1 ? ? ), ?) , ? ? ED ,则 AM ? AE ? ? ED ? (? 5 5 5

设 EM

uuuu r

设 n2

u u r

? ( x, y, z) 为平面 AFM 的法向量,则

uu r uu u r ? 5x ? 0 u u r ? ? n2 ? FA ? 0 ? 即? 4 ,可取 n2 ? (0, ?,4(? ?1)) , r uuuu r ? uu 8 2 ? ?n2 ? AM ? 0 ?? 5 x ? 5 (1 ? ? ) y ? 5 ? z ? 0 ?
依题意,有 | cos

ur u u r n1 , n2 |?

3 ? , ? 2 ? 16(? ? 1)2 5
3 , 4

|?|

整理得 8? ? 18? ? 9 ? 0 ,即 (4? ? 3)(2? ? 3) ? 0 ,∴ ? ?
2

∴当点 M 在线段 DE 的四等分点且 DM ?

1 DE 时,满足题意. 4

(20) 【解】 (Ⅰ)由已知,不妨设 F 1 (0, ?c), F2 (0, c) , M (b,0) ,
2 2 ∴ MF 1 ? MF 2 ? (?b, ?c) ? (?b, c) ? b ? c ? ?2 ,即 2b ? a ? ?2 ,
2 2

uuuu r uuuu r
2

又∵ e ? 1 ?

b2 3 y2 2 2 C ? ? x 2 ? 1. , ∴ ,∴椭圆 的标准方程为 b ? 1, a ? 4 2 a 4 4

(Ⅱ)依题设,如图,直线 l 的斜率存在,设 l : y ? k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? y2 得 (k 2 ? 4) x2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 , 2 ? x ?1 ? ? 4

y 5 4 3 2 A –4 –3 –2 1 P 1 B Q

? ? (4k 2 )2 ? 4(k 2 ? 4)(4k 2 ? 4) ? 0 即 3k 2 ? 4 ? 0 ,
x1 ? x2 ? ? 4k 4k ? 4 , x1 x2 ? 2 , 2 k ?4 k ?4
2 2

M 2 3 4 x

–1 O –1 –2

∴ | AB |? 1 ? k

2

( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ?
3| k | k 2 ?1
,

4 4 ? 3k 2 , k2 ? 4

点 M 到直线 l 的距离为 d ?

∴ S?MAB ?

1 6 | k | 4 ? 3k 2 6 | AB | d ? ? , 2 k2 ? 4 5
2

4 2 2 整理得 19k ? 23k ? 4 ? 0 ,解得 k ? 1 或 k ?

4 , 19

又由直线 l 与圆相交,有 d1 ?

| 2k ? 3 | 1? k 2

? 2 ,解得 k ?

5 , 12

依题设,直线 l 与双曲线

1 x2 ? y 2 ? 1的左支有两个交点,∴必有 k ? . ∴ k ? 1 . 2 4

此时 | AB |? ∴正数 ? ?

2?

1 4 4 2 2 , | PQ |? 2 4 ? d1 ? 2 ? 4 ? ? 14 , ? 5 5 2

| AB | 4 2 1 4 7 . ? ? ? | PQ | 5 35 14
3 2 2

(21) 【解】 (Ⅰ)∵ f ( x) ? x ? 3x ? 2 ,∴ f ?( x) ? 3x ? 6x , 设切点为 (t , f (t )) ,则该点处的切线方程为 y ? (t 3 ? 3t 2 ? 2) ? (3t 2 ? 6t )( x ? t ) , 又∵切线过点 P(a, ?3) ,∴ ?3 ? (t 3 ? 3t 2 ? 2) ? (3t 2 ? 6t )(a ? t ) , 整理得, 2t ? 3(a ? 1)t ? 6at ? 5 ? 0 , (*)
3 2

依题设,方程(*)恰有两个不同的解, 令 ? (t ) ? 2t 3 ? 3(a ? 1)t 2 ? 6at ? 5 ,则 ? ?(t ) ? 6t 2 ? 6(a ? 1)t ? 6a ? 6(t ?1)(t ? a) , 解 ? ?(t ) ? 0 得 t1 ? 1, t2 ? a , ①当 a ? 1 时, ? ?(t ) ? 0 恒成立, ? (t ) 单调递增,至多只有一个零点,不合题设; ②当 a ? 1 时,则 1, a 为 ? (t ) 的极值点,若 ? (t ) ? 0 恰有两个不同的解, 则 ? (1) ? 0 或 ? (a) ? 0 ,又∵ ? (a) ? 2a3 ? 3a2 (a ? 1) ? 6a2 ? 5 ? ?a3 ? 3a2 ? 5 ,

? (1) ? 2 ? 3(a ? 1) ? 6a ? 5 ? 3a ? 6 ,∴ a ? 2 或 ?a3 ? 3a2 ? 5 ? 0 .
令 r (a) ? ?a ? 3a ? 5 ,则 r?(a) ? ?3a ? 6a ? ?3a(a ? 2) ,
3 2 2

解 r ?(a) ? 0 得 0 ? a ? 2 ,∴ r (a) 在 (0, 2) 上单调递增,在 (2, ??) 上单调递减, 又∵ r (2) ? ?1 , ∴当 a ? 0 且 a ? 1 时, r (a) ? 0 无解. ∴a ? 2.

(Ⅱ)∵ f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 ? ( x3 ? x2 ) ? 2( x2 ?1) ? ( x ?1)( x2 ? 2 x ? 2) , ∴当 x ? 0 时,解 f ( x) ? 0 得 x1 ? 1, x2 ? 3 ? 1.
2 由(Ⅰ)知, f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3x( x ? 2) ,

当 0 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , ∴ f ( x ) 在 (2, ??) 上单调递增,在 (0, 2) 上单调递减. ∴当 x ? (0,1) U ( 3 ? 1, ??) 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? (1, 3 ? 1) 时, f ( x) ? 0 .

∵ g ( x) ? kx ? 2ln x ? 3 , ∴ g ?( x) ? k ? ∴当 ?

2 , x

1 ? k ? 0 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, ??) 上单调递减, 6

e3 1 1 ? , k ? ? ,∴ g (3) ? 0 . ∵ g (3) ? 3k ? 2ln 3 ? 3,3 ? 2ln 3 ? ln 9 2 6
∴当 x ? (0,3) 时, g ( x) ? 0 ,当 x ? (3, ??) 时, g ( x) ? 0 , 此时 h( x) ? min{ f ? x ? , g ? x ?}( x ? 0) 恰有三个零点. 当 k ? 0 时, g ?( x) ? k ?

2 kx ? 2 2 ? ,解 g ?( x) ? 0 得 x ? , x x k 2 k

∴ g ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , ??) 上单调递增, ∴ g ( x) min ? g ( ) ? 5 ? 2 ln

2 k

2 k

2 2 2 ,当 k ? 5 时, g ( ) ? 0 ,此时不合题意; k k e2
5

当k ?

2 e
5 2

时, g ( x) 恰有一个零点 e 2 ,此时符合题意;
5 2 2 ? e2 ? 6 , g( ) ? 0 , k k

当0 ? k ?

2 e
5 2

时,

又∵ g (3) ? 3k ? 2ln 3 ? 3 ? 0 ,当 x ??? 时, g ( x) ? ?? . ∴ g ( x) 在 (3, ??) 上有两个零点,此时 h( x) 在 (0, ??) 上有 4 个零点,不合题设. 综上, k 的取值范围是 ( ? , 0] U ?

1 6

?2? ? ? . 5 ? 2 ? ? ?e ?

(22) 【解】 (Ⅰ)由 ?

? ? x ? ?2 ? t 得 y ? 3( x ? 2) , ? ? y ? 3t

∴直线 l 的普通方程 3x ? y ? 2 3 ? 0 ; 由 ? sin
2

? ? 4cos? ? 0 得 ? 2 sin 2 ? ? 4? cos? ? 0 ,

2 又∵ ? cos ? ? x, ? sin ? ? y , ∴曲线 C 的普通方程为 y ? ?4x .

(Ⅱ)设 A, B 对应的参数为 t1 , t2 , 将?

? 4 8 ? x ? ?2 ? t 2 2 代入 y ? ?4x 得 3t ? 4t ? 8 ? 0 ,∴ t1 ? t2 ? ? , t1t2 ? ? , 3 3 ? ? y ? 3t

1 ? x ? ?2 ? ? (2t ) ? x ? ? 2 ? t ? 2 ? ? ∵直线 l 的参数方程为 ? 可化为 ? , ? ? y ? 3t ? y ? 3 ? (2t ) ? ? 2
∴ | MA |?| 2t1 |,| MB |?| 2t2 | , ∴

| t ? t | 4 ?6 1 1 1 ? ? 1 2 ? ? ? . MA MB 2 | t1t2 | 3 3 4

1 ? x ? 3, x ? , ? ? 2 (23) 【解】 (Ⅰ)依题设, f ( x ) ? ? , 1 ?5 x ? 5, x ? ? ? 2
1 时,由 f ( x) ? x ? 3 ? ?3 ,解得 x ? 0 ,此时 x ? 0 ; 2 1 2 当 x ? 时,由 f ( x) ? 5x ? 5 ? ?3 ,解得 x ? ,此时 x ?? . 2 5
∴当 x ? ∴ f ( x) ? ?3 的解集为 M ? (??, 0) . (Ⅱ)证明:当 x ? M 时,要证 x[ f ( x)]2 ? x2 | f ( x) |? 0 , 只需证 [ f ( x)]2 ? x | f ( x) |? 0 , 由(Ⅰ)知,当 x ? M 时, f ( x) ? x ? 3 , ∴ [ f ( x)]2 ? x | f ( x) |? ( x ? 3)2 ? x(3 ? x) ? ( x ? 3)(2 x ? 3) , 又∵ x ? 3 ? 0, 2 x ? 3 ? 0 , ∴ [ f ( x)]2 ? x | f ( x) |? 0 , ∴ x[ f ( x)]2 ? x2 | f ( x) |? 0 .


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