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北京市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练:圆锥曲线


北京市 2017 届高三数学文一轮复习专题突破训练圆锥曲线
一、填空、选择题 1、 (2016 年北京高考) 已知双曲线 则 a=_______;b=___________.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的一条渐近线为 2x+y=0,一个焦点为( 5 ,0), a 2 b2

y2 2、 (2015 年北京高考)已知 ? 2,0 ? 是双曲线 x ? 2 ? 1 ( b ? 0 )的一个焦点,则 b ? b
2



3、 (2014 年北京高考) 设双曲线 C 的两个焦点为 ? 2, 0 , 2, 0 , 一个顶点式 ?1,0 ? , 则 C 的方程为

?

? ?

?

.

4、 (昌平区 2016 届高三二模) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线方程为 x ? ?2 , 则抛物线 C 的方程为_________; 若某双曲线的一个焦点与抛物线 C 的焦点重合, 且渐近线方程为 y ? ? 3x , 则此双曲线的方程为_______________. 5 、(朝阳区 2016 届高三二模)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y 2 ? 8x 的准线 l 的方程是;若双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的两条渐近线与直线 l 交于 M , N 两点,且 ?MON 的面积为 8 ,则此双曲线的离心率 a 2 b2 为 .
6、(东城区 2016 届高三二模)已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1(b ? 0) 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 b ? b2

.

7、(丰台区 2016 届高三一模)已知双曲线的一个焦点 F,点 P 在双曲线的一条渐近线上,点 O 为双曲线的对称 中心, 若△OFP 为等腰直角三角形,则双曲线的离心率为 (A) 6 (B) 2 (C)2 (D) 3

8、(海淀区 2016 届高三二模)已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的一条渐近线与直线 y ? ? x ? 1 垂直,则该双曲线的焦距_. a2
2

9( 、石景山区 2016 届高三一模) 已知抛物线 y ? 4 x 的动弦 AB 的中点的横坐标为 2 , 则 AB 的最大值为( A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

)

10、(西城区 2016 届高三二模)设双曲线 C 的焦点在 x 轴上,渐近线方程为 y ? ? 点 (4, 2) 在 C 上,则双曲线 C 的方程为____.

2 x ,则其离心率为____;若 2

11、 (朝阳区 2016 届高三上学期期末)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且与 y 轴交于点 A ,
2

若 ?OAF ( O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为 A. y 2 ? ?4 x B.
y2 ? 4x

C. y 2 ? ?8x

D. y 2 ? 8 x

12、 (大兴区 2016 届高三上学期期末)抛物线 y ? x 2 的准线方程是

1

(A) y ? ?

1 4

(B) y ? ?

1 2

(C) x ? ?

1 4

(D) x ? ?

1 2
y

13、(丰台区 2016 届高三上学期期末)如图,在圆 x2 ? y 2 ? 4 上任取一点

P ,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD , D 为垂足.当点 P 在圆上运动时,

P M

线段 PD 的中点 M 的轨迹是椭圆,那么这个椭圆的离心率是 (A)
1 2

(B)

1 4

(C)

2 2

(D)

3 2

O

D

x

14 、 ( 东 城 区 2016 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 双 曲 线 _________.

x2 y 2 ? ?1 的离心率是 16 9
y2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线通过点 (1,2) , 则 b ? ___, b2

15、 (海淀区 2016 届高三上学期期末)已知双曲线 x 2 ? 离心率为 __.



x2 y 2 16、(顺义区 2016 届高三上学期期末)过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点垂直于 x 轴的弦长为 a . a b
则双曲线 二、解答题 1、(2016 年北京高考)已知椭圆 C: (I)求椭圆 C 的方程及离心率; (Ⅱ)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N,求证:四边形 ABNM 的面积为定值.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ___________. a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1 过点 A(2,0),B(0,1)两点. a 2 b2

2

2、 (2015 年北京高考) 已知椭圆 C : x2 ? 3 y 2 ? 3 , 过点 D ?1,0 ? 且不过点 ? ? 2,1? 的直线与椭圆 C 交于 ? ,? 两点, 直线 ?? 与直线 x ? 3 交于点 ? . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若 ?? 垂直于 x 轴,求直线 ?? 的斜率; (Ⅲ)试判断直线 ?? 与直线 D ? 的位置关系,并说明理由.

3、(2014 年北京高考)已知椭圆 C: x ? 2 y ? 4 .
2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设 O 为原点,若点 A 在直线 y ? 2 ,点 B 在椭圆 C 上,且 OA ? OB ,求线段 AB 长度的最小值.

3

4、(昌平区 2016 届高三二模)已知椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 的焦距为 2 ,点 D 0, a 2 b2

?

3 在椭圆 M 上,过原

?

点 O 作直线交椭圆 M 于 A 、B 两点, 且点 A 不是椭圆 M 的顶点, 过点 A 作 x 轴的垂线, 垂足为 H , 点 C 是线段 AH 的中点,直线 BC 交椭圆 M 于点 P ,连接 AP . (Ⅰ)求椭圆 M 的方程及离心率; (Ⅱ)求证: AB ? AP ; (III)设 ? ABC 的面积与 ? APC 的面积之比为 q ,求 q 的取值范围.

4

x2 y2 5、 (朝阳区 2016 届高三二模) 在平面直角坐标系 xOy 中,P( x0 , y0 )( y0 ? 0) 是椭圆 C : ? ? 1 (? ? 0) 2? 2 ? 2
上的点,过点 P 的直线 l 的方程为 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)当 ? ? 1 时,设直线 l 与 x 轴、 y 轴分别相交于 A, B 两点,求 ?OAB 面积的最小值; (Ⅲ)设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F 1 , F2 ,点 Q 与点 F 1 关于直线 l 对称,求证: 点 Q, P, F 2 三点共线.

x0 x y0 y ? ? 1. 2? 2 ? 2

5

6、(东城区 2016 届高三二模)已知椭圆 C : 点,且△ F1B1B2 是边长为 2 等边三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 + ? 1 (a ? b ? 0) 与 y 轴交于 B1 , B2 两点, F1 为椭圆 C 的左焦 a 2 b2

(Ⅱ)设直线 x ? my ? 1 与椭圆 C 交于 P , Q 两点,点 P 关于 x 轴的对称点为 P1 ( P1 与 Q 不重合),则直线 PQ 1 与 x 轴是否交于一个定点?若是,请写出定点坐标,并证明你的结论;若不是,请说明理由.

6

7、 (丰台区 2016 届高三一模) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 A (2, 0) , 离心率 e ? , 斜率为 k (0 ? k ? 1) 2 2 a b

直线 l 过点 M(0,2),与椭圆 C 交于 G,H 两点(G 在 M,H 之间),与 x 轴交于点 B. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)P 为 x 轴上不同于点 B 的一点,Q 为线段 GH 的中点,设△HPG 的面积为 S1 , ?BPQ 错误!未找到引 用源。面积为 S2 ,求

S1 的取值范围. S2

7

8、(海淀区 2016 届高三二模)已知曲线 C : 两点在 x 轴上的射影分别为点 B, C . (Ⅰ)当点 B 坐标为 ( ?1,0) 时,求 k 的值;

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) , 直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C 交于 A, D 两点, A, D 4 3

(Ⅱ)记 ?OAD 的面积 S1 ,四边形 ABCD 的面积为 S2 . (i) 若 S1 ?

2 6 ,求 | AD | 的值; 3
S1 1 ? . S2 2

(ii)求证:

8

0 , 9、(石景山区 2016 届高三一模)在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到两点 ? 3 ,
等于 4 ,设动点 P 的轨迹为曲线 C ,直线 l 过点 E ? ?1, B 两点. 0? 且与曲线 C 交于 A , (Ⅰ)求曲线 C 的方程;

?

? ?

3, 0 的距离之和

?

(Ⅱ)△ AOB 的面积是否存在最大值?若存在,求出此时△ AOB 的面积;若不存在,说明理由.

9

10、(西城区 2016 届高三二模)已知抛物线 C : x2 ? 4 y ,过点 P(0, m)(m ? 0) 的动直线 l 与 C 相交于 A, B 两点,抛 物线 C 在点 A 和点 B 处的切线相交于点 Q,直线 AQ, BQ 与 x 轴分别相交于点 E , F . (Ⅰ)写出抛物线 C 的焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)求证:点 Q 在直线 y ??m 上; (Ⅲ)判断是否存在点 P,使得四边形 PEQF 为矩形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

10

11、 (石景山区 2016 届高三上学期期末)已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,其中 e ? ( e 为椭圆离心率) , 2 2 a b
4 . 7

焦距为 2,过点 M (4,0) 的直线 l 与椭圆 C 交于点 A, B ,点 B 在 AM 之间.又点 A, B 的中点横坐标为 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求直线 l 的方程.

11

12、 (顺义区 2016 届高三上学期期末) 已知椭圆 E : (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

x2 y2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的一个顶点 A(0, 3) , 离心率 e ? . 2 a b 2

(Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 相切于点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q . 求证:以 PQ 为直径的圆过定点 N (1, 0) .

12

13、 (西城区 2016 届高三上学期期末)已知椭圆 C : 上,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 3 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,点 A(1, ) 在椭圆 C 2 2 2 a b

(Ⅱ)设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,且 l 与圆 x2 ? y 2 ? 5 的相交于不在坐标轴上的两点 P1 , P2 , 记直线 OP 2 的斜率分别为 k1 , k 2 ,求证: k1 ? k 2 为定值. 1 , OP

13

参考答案 一、填空、选择题 1、 a ? 1, b ? 2 2、 【答案】 3 【解析】 试题分析:由题意知 c ? 2, a ? 1 , b ? c ? a ? 3 ,所以 b ? 3 .
2 2 2

3、【答案】 x 2 ? y 2 ? 1 【解析】由题意知: c ?

2, a ? 1 ,所以 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 1 ,又因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 .
4、 y 2 ? 8 x; x 2 ? 8、 2 2

y2 ?1 3

5、 x ? ? 2 , 5 9、B

6、2

7、B

6 2 11、C
10、 14、

x2 y 2 ? ?1 8 4
12、A 13、D 15、 2 , 5

5 4

16、

6 2

二、解答题

x2 3 ? y 2 ? 1; e ? 1、【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见解析. 4 2

( II ) 设

14

2 2 ? ? x0 , y0 ? ( x0 ? 0 , y0 ? 0 ),则 x0 ? 4 y0 ? 4.

又 ? ? 2,0? , ? ? 0,1? ,所以, 直线 ?? 的方程为 y ?

y0 ? x ? 2? . x0 ? 2

令 x ? 0 ,得 y? ? ?

2 y0 2 y0 ,从而 ?? ? 1 ? y? ? 1 ? . x0 ? 2 x0 ? 2 y0 ? 1 x ? 1. x0

直线 ?? 的方程为 y ?

令 y ? 0 ,得 x? ? ?

x0 x0 ,从而 ?? ? 2 ? x? ? 2 ? . y0 ? 1 y0 ? 1

所以四边形 ???? 的面积

S?

1 ?? ? ?? 2

x ?? 2 y0 ? 1? ? ? 2 ? 0 ? ?1 ? ? 2? y0 ? 1 ? ? x0 ? 2 ?
2 2 x0 ? 4 y0 ? 4 x0 y0 ? 4 x0 ? 8 y0 ? 4 ? 2 ? x0 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 2 ?

[来

?

2 x0 y0 ? 2 x0 ? 4 y0 ? 4 x0 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 2

? 2.
从而四边形 ???? 的面积为定值. 2、 【答案】 (1)

6 ; (2)1; (3)直线 BM 与直线 DE 平行. 3
x2 ? y 2 ? 1. 3

【解析】 (Ⅰ)椭圆 C 的标准方程为 所以 a ? 3 , b ? 1 , c ? 所以椭圆 C 的离心率 e ?

2.

c 6 ? . a 3

(Ⅱ)因为 AB 过点 D(1, 0) 且垂直于 x 轴,所以可设 A(1, y1 ) , B(1, ? y1 ) . 直线 AE 的方程为 y ?1 ? (1 ? y1 )( x ? 2) . 令 x ? 3 ,得 M (3, 2 ? y1 ) .

15

所以直线 BM 的斜率 k BM ?

2 ? y1 ? y1 ?1. 3 ?1

(Ⅲ)直线 BM 与直线 DE 平行.证明如下: 当直线 AB 的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知 k BM ? 1 . 又因为直线 DE 的斜率 k DE ?

1? 0 ? 1 ,所以 BM / / DE . 2 ?1

当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 1) . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则直线 AE 的方程为 y ? 1 ?

y1 ? 1 ( x ? 2) . x1 ? 2

令 x ? 3 ,得点 M (3,

y1 ? x1 ? 3 ). x1 ? 2

? x2 ? 3 y 2 ? 3 由? ,得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 3 ? 0 . ? y ? k ( x ? 1)
6k 2 3k 2 ? 3 所以 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

3、解:(Ⅰ)由题意,椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 2

所以 a 2 ? 4 , b 2 ? 2 ,从而 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2 . 因此 a ? 2 , c ? 2 .故椭圆 C 的离心率 e ?
c 2 ? . a 2

16

2? , ? x0 ,y0 ? ,其中 x0 ≠ 0 . (Ⅱ)设点 A , B 的坐标分别为 ? t ,
因为 OA ? OB , ??? ? ??? ? 所以 OA ? OB ? 0 , 即 tx0 ? 2 y0 ? 0 ,解得 t ? ?
2 2 又 x0 ? 2 y0 ? 4 ,所以

2 y0 . x0

AB ? ? x0 ? t ? ? ? y0 ? 2?
2 2
2

2

? 2y ? 2 ? ? x0 ? 0 ? ? ? y0 ? 2 ? x0 ? ?
2 2 ? x0 ? y0 ? 2 4 y0 ?4 2 x0

2 2 ? 4 ? x0 ? 4 ? x0 ?x ? ? ?4 2 2 x0 2 2 0
2 x0 8 2 ? 2 ? 4 ? 0 ? x0 ≤ 4? . 2 x0

?

因为

2 x0 8 2 2 2 ? 2 ≥ 4 ? 0 ? x0 ≤ 4 ? ,且当 x0 ? 4 时等号成立,所以 AB ≥ 8 . 2 x0

故线段 AB 长度的最小值为 2 2 . 4、解: (I)由题意知 c ? 1, b ? 3 ,则 a ? b ? c ? 4 ,
2 2 2

所以椭圆 M 的方程为

x2 y 2 1 ? ? 1 ,椭圆 M 的离心率为 . ………….5 分 2 4 3
y0 ). 2

(II)设 A( x0 , y0 ), P( x1 , y1 ) ,则 B ( ? x0 , ? y0 ), C ( x0 ,

x0 2 y0 2 ? ?1① 由点 A, P 在椭圆上,所以 4 3
点 A 不是椭圆 M 的顶点,②-①得,

x12 y12 ? ?1 ② 4 3

y12 ? y02 3 ?? . 2 2 x1 ? x0 4

法一:又 k PB

3 y0 3 y y1 ? y0 ? , k BC ? 2 ? 0 , 且点 B, C , P 三点共线, x1 ? x0 2 x0 4 x0

所以

y1 ? y0 3 y0 y 4( y1 ? y0 ) ? . , 即 0 ? x1 ? x0 4 x0 x0 3( x1 ? x0 )
y0 y1 ? y0 4( y1 ? y0 ) y1 ? y0 4( y12 ? y0 2 ) 4 3 ? ? ? ? ? ? (? ) ? ?1, 2 2 x0 x1 ? x0 3( x1 ? x0 ) x1 ? x0 3( x1 ? x0 ) 3 4

所以, k AB ?kPA ? 即 AB ? AP .

……………9 分
17

法二:

由已知 AB 与 AP 的斜率都存在, kPA ? kPB ? 又 k PB ? k BC ? 则 k AB ?k PA ?
3 y0 x , 得 k PA ? ? 0 , 4 x0 y0

y1 ? y0 y1 ? y0 y ? y0 ? ? x1 ? x0 x1 ? x0 x ? x0 2
2 1 2 1

2

3 ? ( x12 ? x0 2 ) 3 ? 4 2 ?? . 2 x1 ? x0 4

y0 ? x0 ?( ) ? ?1 , x0 y0

即 AB ? AP . (III)法一:

……………9 分

1 3k 设 k AB ? k ,由(II)知 k AP ? ? , kBP ? ,联立直线 AP 与 BP 方程: k 4
1 ? 3k 1 y ? y0 ? ? ( x ? x0 ), 2 y0 ? ( ? ) x0 ? y ? k 4 k 得 x1 ? ,将 k ? 0 代入得 ? 3k 1 x0 ? y ? y ? 3k ( x ? x ), ? 0 0 ? 4 k ? 4
2 y0 ? ( x1 ? 3 y0 x0 ? ) x0 4 x0 y0 x (4 x 2 ? 5 y0 2 ) ? 0 20 . 3 y0 x0 4 x0 ? 3 y0 2 ? 4 x0 y0

q?

2 x0 2 x0 4 x0 2 ? 3 y0 2 S? ABC 16 3 ? 3 ? ( 2 ? 1) , ? ? ? 2 2 2 3 y0 y0 S? APC x1 ? x0 x0 (4 x0 ? 5 y0 ) ? x0 2 2 4 x0 ? 3 y0

因为 y02 ? (0,3) ,所以 q ? (3, ??) . 法二:

1 3k 设 k AB ? k ,由(II)知 k AP ? ? , kBP ? ,联立直线 AP 与 BP 方程: k 4
1 ? 3k 1 5k 1 k y ? y0 ? ? ( x ? x0 ) 2 y0 ? ( ? ) x0 x0 ( ? ) ? ? k 4 k 4 k ? x (1 ? 2 ) , ? 得 x1 ? ? 0 3 k 1 3 k 1 3k 1 3 k ? y ? y ? (x ? x ) ? ? ? 0 0 ? 4 k 4 k 4 k ? 4
q? 2 x0 S? ABC ? ? S? APC x1 ? x0

2 x0 4 ? 3? 2 , k k x0 (1 ? 2 ) ? x0 3k 1 ? 4 k
……………14 分

因为 k 2 ? (0, ??) ,所以 q ? (3, ??) . 5、解:(Ⅰ)依题 a ?

2? , c ? 2? 2 ? ? 2 ? ? ,

所以椭圆 C 离心率为 e ?

?
2?

?

2 .……………………………3 分 2
x0 x 2 2 ? y0 y ? 1 ,得 x ? ,则 A( , 0) . 2 x0 x0
18

(Ⅱ)依题意 x0 ? 0 ,令 y ? 0 ,由

令 x ? 0 ,由

x0 x 1 1 ? y0 y ? 1 ,得 y ? ,则 B(0, ) . 2 y0 y0

则 ?OAB 的面积 S ?OAB ?

1 1 2 1 OA OB ? ? . 2 2 x0 y0 x0 y0

因为 P( x0 , y0 ) 在椭圆 C :

x2 x2 ? y 2 ? 1上,所以 0 ? y0 2 ? 1 . 2 2

所以 1 ?

xy 1 x0 2 2 ,则 ? 2. ? y0 2 ? 2 0 0 ,即 x0 y0 ? 2 x0 y0 2 2
1 1 OA OB ? ? 2. 2 x0 y0
…………8 分

所以 S?OAB ?

当且仅当

x0 2 2 ? y0 2 ,即 x0 ? ?1, y0 ? ? 时, ?OAB 面积的最小值为 2 . 2 2
2 y0

(Ⅲ)由

?2

? 1?

2 x0 ? 0 ,解得 ? 2? ? x0 ? 2? . 2? 2

①当 x0 ? 0 时, P(0, ? ) , Q(?? , 2? ) ,此时 kF2 P ? ?1 , kF2Q ? ?1. 因为 kF2Q ? kF2 P ,所以三点 Q, P, F2 共线. 当 P(0, ?? ) 时,也满足. ②当 x0 ? 0 时,设 Q(m, n) , m ? ?? , FQ 的中点为 M ,则 M ( 1

m?? n , ) ,代入直线 l 的方程,得: 2 2

x0m ? 2 y0n ? x0? ? 4? 2 ? 0 .
设直线 FQ 的斜率为 k ,则 k ? 1 所以 2 y0m ? x0 n ? 2 y0? ? 0 .
2 ? x0 m ? 2 y0 n ? x0 ? ? 4? 2 ? 0 2 x0 ? ? 4 x0? 2 4 x0 y0? ? 8 y0? 2 由? ,解得 m ? . ?? ,n ? 2 2 2 2 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0 ? 2 y0 m ? x0 n ? 2 y0 ? ? 0 2 2 x0 ? ? 4 x0? 2 4 x0 y0? ? 8 y0? 2 ? ? , ). 2 2 2 2 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0

2y n ? 0, m?? x0

所以 Q(

2 当点 P 的横坐标与点 F2 的横坐标相等时,把 x0 ? ? , y0 ?

?2
2

代入 m ?

2 2 x0 ? ? 4 x0? 2 ? ? 中得 m ? ? ,则 2 2 4 y0 ? x0

Q, P, F2 三点共线.
当点 P 的横坐标与点 F2 的横坐标不相等时,
19

直线 F2 P 的斜率为 kF2 P ?

y0 . x0 ? ?

由 ? 2? ? x0 ? 2? , x0 ? ?2? .
4 x0 y0? ? 8 y0? 2 2 2 4 y0 ? x0 4 x0 y0? ? 8 y0? 2 ? ? 2 2 2 x0 2? ? 4 x0? 2 2 x0 2? ? 4 x0? 2 ? 8 y0 ? ? 2 x0 ? ? 2 ? 2 2 4 y0 ? x0

所以直线 F2Q 的斜率为 kF Q
2

?

4 x0 y0? ? 8 y0? 2 x0 y0 ? 2 y0? y ( x ? 2? ) ? ? 20 0 2 2 2 4 x0? ? 8 y0 ? x0? ? 2 y0 x0 ? ? x0 ? 2? 2
y0 ( x0 ? 2? ) y0 . ? ( x0 ? ? )( x0 ? 2? ) x0 ? ?
2 2

?

因为 kF Q ? kF P ,所以 Q, P, F2 三点共线. 综上所述 Q, P, F2 三点共线. …………………………………………14 分
6、解:(Ⅰ)依题意可得 2b ? 2 ,且 a ? b ? c ? 4 ,
2 2 2

解得 b ? 1 . 所以椭圆 C 的方程是

x2 ? y 2 ? 1. 4

………………… 5 分

? x2 2 ? ? y ? 1, 2 2 (Ⅱ)由 ? 4 消 x ,得 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0 . ? x ? my ? 1 ?
设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 P 1 ( x1 , ? y1 ) . 且 y1 ? y2 ? ?

2m 3 , y1 y2 ? ? 2 . 2 m ?4 m ?4

经过点 P 1 ( x1 , ? y1 ) , Q( x2 , y2 ) 的直线方程为 y ? y1 ?

y2 ? y1 ( x ? x1 ). x2 ? x1

令 y ? 0 ,则 x ?

x2 ? x1 (x ? x ) y ? x ( y ? y ) x y ? x y y1 ? x1 ? 2 1 1 1 1 2 ? 2 1 1 2 . y2 ? y1 y1 ? y2 y1 ? y2

又 x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ? 1,

6m ? 2 (my2 ? 1) y1 ? (my1 ? 1) y2 2my1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? ? m ? 4 ?1 ? 3 ?1 ? 4 . 故当 y ? 0 时, x ? 2m y1 ? y2 y1 ? y2 ? 2 m ?4
即直线 PQ 与 x 轴交于定点 (4 , 0) . 1 ………………… 13 分

20

7、解:(Ⅰ)由已知得 a ? 2 ,

…………1 分 …………2 分 ……………3 分
y

c 1 又 e ? ? ,所以 c ? 1 , a 2
即b ? 3 ,
2

所以椭圆 C 的标准方程为

x y ? ? 1 .………4 分 4 3
H

2

G Q P

M

(Ⅱ) 设 G( x1 , y1 ), H ( x2 , y2 ) ,直线 l : y ? kx ? 2 . …5 分

B

O

A

x

? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 y 2 得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16kx ? 4 ? 0 …… 6 ?1 ? ? 3 ?4
?16k 4 12 , x1 ? x2 ? , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 8k 6 , ) 即 Q(? ……………7 分 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 1 1 2 ∵ ? ? 16(12k 2 ? 3) ? 0, ? k ? ,即 k ? . 2 4 1 因为 0 ? k ? 1 ,所以 ? k ? 1 . ……………8 分 2
所以 x1 ? x2 ? 又



S1 S?PGH | GH | , ? ? S2 S?PBQ | BQ |

而 | BQ |? (?

2 8k ?6 6 1? k 2 ? 2 )2 ? ( 2 )2 ? , ……9 分 k 4k ? 3 4k ? 3 (4k 2 ? 3)k 4 12k 2 ? 3 , 4k 2 ? 3
……………10 分

| GH |? 1 ? k 2

S1 | GH | 2 3 ? 4k 4 ? k 2 , ? S2 | BQ | 3
1 ? ? k2 ?1 4
2 设t ? k ,(

……11 分

1 ? t ? 1) 4
……………13 分

S1 2 3 S ? 4t 2 ? t ,? 1 ? ? 0,2? . S2 3 S2
8、解:

(Ⅰ)因为 B( ?1,0) ,所以 A(?1, y0 ) ,…………………1 分 代入

3 x2 y2 ? ? 1( y ? 0) ,解得 y0 ? ,…………………2 分 2 4 3

代入直线 y ? kx ? 1 ,得 k ? ?

1 . 2
21

…………………3 分

(Ⅱ)解法一:设点 E (0,1) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

? x2 y2 ?1 ? ? ,所以 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kx ? 8 ? 0 ,…………………4 分 因为 ? 4 3 ? ? y ? kx ? 1
? ? ? ? 96(2k 2 ? 1) ? ?8k ? 所以 ? x1 ? x2 ? …………………6 分 3 ? 4k 2 ? ?8 ? x1 x2 ? ? 3 ? 4k 2 ?
又因为 S1 ?

1 1 1 | OE | (| x1 | ? | x2 |) ? ? 1? | x1 ? x2 |? | x1 ? x2 | ,…………………7 分 2 2 2

而 | x ? x |? 1 2 所以 S ? 1 1

96(2k 2 ? 1) , 3 ? 4k 2

96(2k 2 ? 1) 2 6 2k 2 ? 1 ,…………………8 分 = 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

2 6 2k 2 ? 1 2 6 所以 , = 3 ? 4k 2 3
所以

2k 2 ? 1 1 = ,解得 k ? 0 ,…………………9 分 3 ? 4k 2 3
2? 2 6 3 ?4 6. 1 3

所以 | AD |?

…………………10 分

法二: 解法一:设点 E (0,1) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

? x2 2 ? ? y ?1 , 因为 ? 4 ? ? y ? kx ? 1

所以 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kx ? 8 ? 0 ,

…………………4 分

? ? ? ? 96(2k 2 ? 1) ? ?8k ? 所以 ? x1 ? x2 ? …………………6 分 3 ? 4k 2 ? ?8 ? x1 x2 ? ? 3 ? 4k 2 ?
点 O 到直线 AD 的距离为 d ?

1 1? k2

,

…………………7 分

22

| AD |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2
所以 S ? 1 | AD | ?d ? 1 1

96(2k 2 ? 1) …………………8 分 3 ? 4k 2

2

96(2k 2 ? 1) 2 6 2k 2 ? 1 2 6 = = 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3
…………………9 分

所以

2k 2 ? 1 1 = ,解得 k ? 0 , 3 ? 4k 2 3
2? 2 6 3 ?4 6. 1 3
1 2 1 | x1 ? x2 | 2

所以 | AD |?

…………………10 分

(Ⅲ)因为 S2 ? ( y1 ? y2 ) | x1 ? x2 | ,…………………11 分

所以

S1 1 ? ? ,…………………12 分 1 S2 ( y1 ? y2 ) | x1 ? x2 | y1 ? y2 2

而 y1 ? y2 ? kx1 ? 1 ? kx2 ? 1 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ,…………………13 分

S1 1 3 ? 4k 2 3 1 ? ? ? ? 所以 S ? 8 k 6 6 2 .…………………14 分 2 k ?2 2 3 ? 4k

0 , 9、解:(Ⅰ)由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以点 ? 3 ,
x2 ? y 2 ? 1. 曲线 C 的方程为 4
(Ⅱ)存在△ AOB 面积的最大值. 因为直线 l 过点 E ? ?1,0? , 所以可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 或 y ? 0 (舍).

?

? ?

3, 0 为焦点,长半轴长为 2 的椭圆,故

?

...……………3 分 ...……………4 分

? x2 ? ? y 2 ? 1, 2 2 由条件得 ? 4 整理得 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0 , ? x ? my ? 1 ?
? ? (?2m)2 ? 12(m2 ? 4) ? 0 . y1 ) , B( x2 , y2 ) ,其中 y1 ? y2 . 设 A( x1 ,
解得 y1 ? y2 ?

2m ?3 , y1 y2 ? 2 , 2 m ?4 m ?4

...……………7 分

则 y2 ? y1 ?

4 m2 ? 3 , m2 ? 4
23

则 S?AOB ?

1 2 m2 ? 3 2 OE y2 ? y1 ? ? 2 2 m ?4 m2 ? 3 ?

1 m2 ? 3
...……………10 分

2 t ? 3, 设 t ? m ? 3 ,则 g (t ) ? t ? ,

1 t

? ? 上为增函数,所以 g (t ) ? 则 g (t ) 在区间 ? 3 , ?

?

4 3 . 3

所以 S?AOB ?

3 3 ,当且仅当 m ? 0 时等号成立,即 ( S ?AOB ) max ? . 2 2 3 . 2
....……………13 分 ………………2 分

所以 S?AOB 的最大值为

10、(Ⅰ)解:焦点坐标为 (0,1) ,准线方程为 y ? ?1 . (Ⅱ)证明:由题意,知直线 l 的斜率存在,故设 l 的方程为 y ? kx ? m . 由方程组 ?

? y ? kx ? m,
2 ? x ? 4 y,

得 x 2 ? 4kx ? 4m ? 0 ,

由题意,得 ? ? 16k 2 ? 16m ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4m , 由抛物线方程 x ? 4 y ,得 y ?
2

………………4 分

1 1 2 x ,所以 y ? ? x , 2 4
1 2 1 x1 ? x1 ( x ? x1 ) , 4 2
1 ○ 2 ○ ………………6 分

所以抛物线在点 A 处的切线方程为 y ? 化简,得 y ?

1 1 2 x1 x ? x1 , 2 4

1 1 2 x2 x ? x2 . 2 4 1 1 1 1 联立方程○ 1 ○ 2 ,得 x1 x ? x1 2 ? x 2 x ? x 2 2 , 2 4 2 4 1 1 即 ( x1 ? x 2 ) x ? ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) , 2 4
同理,抛物线在点 B 处的切线方程为 y ? 因为 x1 ? x 2 ,所以 x ?
1 ( x1 ? x 2 ) , 2

1 1 ,得 y ? x1 x2 ? ?m , 代入○ 4

所以点 Q(

x1 ? x2 , ?m) ,即 Q(2k , ?m) . 2

所以点 Q 在直线 y ? ?m 上.

………………8 分

24

(Ⅲ)解:假设存在点 P,使得四边形 PEQF 为矩形, 由四边形 PEQF 为矩形,得 EQ ? FQ ,即 AQ ? BQ ,

1 1 x1 ? x 2 ? ?1 . 2 2 1 1 由(Ⅱ),得 x1 x 2 ? (?4m) ? ?1 , 4 4
所以 k AQ ? k BQ ? ?1,即 解得 m ? 1 . 所以 P(0,1) . 以下只要验证此时的四边形 PEQF 为平行四边形即可.
1 1 中,令 y ? 0 ,得 E ( x1 ,0) . 在○ 2

………………10 分

1 同理得 F ( x 2 ,0) . 2
所以直线 EP 的斜率为 k EP ? 1 ? 0

直线 FQ 的斜率 k FQ

1 x1 2 0 ? (?1) ?2 , ? ? x1 ? x 2 1 x1 x2 ? 2 2 0?

?

?2, x1

………………12 分

所以 k EP ? k FQ ,即 EP // FQ . 同理 PF // EQ . 所以四边形 PEQF 为平行四边形. 综上所述,存在点 P(0,1) ,使得四边形 PEQF 为矩形.
11、解:(Ⅰ)由条件可知, c ? 1, a ? 2 ,故 b ? a ? c ? 3 ,
2 2 2

………………14 分
………3 分

x2 y 2 ? ? 1. 椭圆的标准方程是 4 3
(Ⅱ)由已知 A, B, M 三点共线, 设点 A( x1 , y1 ) ,点 B( x2 , y2 ) . 若直线 AB ? x 轴,则 x1 ? x2 ? 4 ,不合题意.

………4 分

………5 分 …6 分

当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) .

由?

? y ? k ( x ? 4) 2 2 ?3x ? 4 y ? 12
2 2 2 2

消去 y 得, (3 ? 4k ) x ? 32k x ? 64k ?12 ? 0 .①
4 2 2 2

………8 分

由①的判别式△= 322k ? 4(4k ? 3)(64k ?12) ? 144(1 ? 4k ) ? 0 , …9 分

25

解得 k ?
2

1 , 4

………10 分

x1 ? x2 ?

32k 2 64k 2 ? 12 x x ? , . 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

………11 分



x1 ? x2 1 16k 2 4 2 ? 2 ? ,可得 k 2 ? ,即有 k ? ? . 8 2 4k ? 3 7 4

………12 分

即所求直线方程为 y ? ?

2 ( x ? 4) . 4

………13 分

12、解:(Ⅰ)由(Ⅰ)由已知



【2 分】

解得



所求椭圆方程为

【4 分】

(Ⅱ) 曲线 可得 设 , .

消去 得 与直线 只有一个公共点, (*) 故 ,
【8 分】



又由 ,

, ,
【10 分】

, 以 为直径的圆过定点
c 3 , a 2 ? b2 ? c 2 , ? a 2

【14 分】 ……………… 2 分

13、(Ⅰ)解:由题意,得 又因为点 A(1,

3 ) 在椭圆 C 上, 2

26

所以 12 ? 32 ? 1 ,
a 4b

……………… 3 分

解得 a ? 2 , b ? 1 , c ? 3 , 所以椭圆 C 的方程为
x2 ? y2 ? 1. 4

……………… 5 分

(Ⅱ)证明:当直线 l 的斜率不存在时,由题意知 l 的方程为 x ? ?2 ,
1 . 易得直线 OP 2 的斜率之积 k1 ? k2 ? ? 1 , OP 4

…………… 6 分 …………… 7 分

当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y ? kx ? m .

? y ? kx ? m, ? 由方程组 ? x 2 2 ? ? y ? 1, ?4

得 (4k 2 ? 1) x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 4 ? 0 ,

……………… 8 分

因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 所以 ? ? (8km)2 ? 4(4k 2 ? 1)(4m2 ? 4) ? 0 ,即 m2 ? 4k 2 ? 1 . ……………… 9 分

? y ? kx ? m, 由方程组 ? 2 2 ? x ? y ? 5,

得 (k 2 ? 1) x2 ? 2kmx ? m2 ? 5 ? 0 ,

……………… 10 分

设P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 所以 k1 ? k2 ?

?2km m2 ? 5 , , x ? x ? 1 2 k2 ?1 k2 ?1

……………… 11 分

y1 y2 (kx1 ? m)(kx2 ? m) k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

?

k2 ?

m2 ? 5 ?2km ? km ? 2 ? m2 m 2 ? 5k 2 k2 ?1 k ?1 ? , 2 m ?5 m2 ? 5 k2 ?1

……………… 13 分

将 m2 ? 4k 2 ? 1 代入上式,

?k 2 ? 1 1 ?? . 2 4k ? 4 4 1 综上, k1 ? k2 为定值 ? . 4
得 k1 ? k2 ?

……………… 14 分

27


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