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2014年全国高考理科数学试题及答案-陕西卷


2014 年陕西高考数学试题(理)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合 M ? {x | x ? 0}, N ? {x | x2 ? 1, x ? R} ,则 M

N ?(



A.[0,1]

B.[0,1)

C. ( 0 , 1 ]

D.(0,1)


2. 函数 f ( x ) ? cos(2 x ?

?
6

) 的最小正周期是(
C .2?


A.

? 2
1 0

B.?
x

D.4?

3. 定积分

? (2 x ? e )dx 的值为(
B.e ? 1

A.e ? 2

C .e

D.e ? 1


4. 根据右边框图,对大于 2 的整数 N ,输出数列的通项公式是(

A.an ? 2n

B. a ? 1) n ? 2 (n

C.an ? 2n

D.an ? 2n?1

5. 已知底面边长为 1,侧棱长为 2 则正四棱柱的各顶点均在同一个球 面上,则该球的体积为( )

A.

32? 3

B.4?

C .2?

D.

4? 3

6. 从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中, 任取 2 个点,则这 2 个点的 距离不小于该正方形边长的概率为( )

A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5


7. 下列函数中,满足“ f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ”的单调递增函数是( A. f ? x ? ? x
1 2

B. f ? x ? ? x

3

?1? C. f ? x ? ? ? ? ?2?

x

D. f ? x ? ? 3

x

8. 原命题为“若 z1 , z2 互为共轭复数,则 z1 ? z2 ” ,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断 依次如下,正确的是( A.真,假,真 ) C.真,真,假 D.假,假,假

B. 假,假,真

9. 设样本数据 x1 , x2 ,

, x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi ? xi ? a ( a 为非零常数,

i ? 1, 2,
A. 1+a, 4

,则 y1 , y2, ,10 )

y10 的均值和方差分别为(
C. 1, 4



B. 1 ? a, 4 ? a

D. 1, 4+a

10. 如图,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距着陆点 A 的水平距离 10 千米处下降,已知下降飞 行轨迹为某三次函数图像的一部分,则函数的解析式为( )

1 3 3 x ? x 125 5 3 3 x ?x C. y ? 125
A. y ?

B. y ?

2 3 4 x ? x 125 5 3 3 1 x ? x D. y ? ? 125 5

第二部分(共 100 分)
二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分). 11.已知 4a ? 2, lg x ? a, 则 x =________. 12.若圆 C 的半径为 1,其圆心与点 (1,0) 关于直线 y ? x 对称,则圆 C 的标准方程为_______. 13. 设 0 ? ? ?

?
2

cos? ?, b ? ? cos? , 1? ,若 a // b ,则 tan ? ? _______. ,向量 a ? ? sin 2? ,

?

?

14. 观察分析下表中的数据: 多面体 三棱锥 五棱锥 立方体 面数( F ) 5 6 6 顶点数( V ) 6 6 8 棱数( E ) 9 10 12

V, E 所满足的等式是_________. 猜想一般凸多面体中, F ,
15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)

A. (不等式选做题)设 a, b, m, n ? R ,且 a2 ? b2 ? 5, ma ? nb ? 5 ,则 m2 ? n2 的最小值为

B. (几何证明选做题)如图, ?ABC 中, BC ? 6 ,以 BC 为直径的
半圆分别交 AB, AC 于点 E , F ,若 AC ? 2 AE ,则 EF ?

C. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 (2, ) 到直线 6

?

? sin(? ?

?

6

) ? 1的距离是

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)

?ABC 的内角 A, b, c. B, C 所对的边分别为 a,

b, c 成等差数列,证明: sin A ? sin C ? 2 sin ? A ? C ? ; (I)若 a , b, c 成等比数列,求 cos B 的最小值. (II)若 a ,
17.(本小题满分 12 分) 四面体 ABCD 及其三视图如图所示, 过棱 AB 的中点 E 作平行于 AD ,BC 的平面分别交四面

DC, CA 于点 F , G, H. 体的棱 BD,

(I)证明:四边形 EFGH 是矩形; (II)求直线 AB 与平面 EFGH 夹角 ? 的正弦值. 18.(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1), B(2,3), C (3,2) ,点 P ( x, y ) 在 ?ABC 三边围成的 (含边界)上 (1)若 PA ? PB ? PC ? 0 ,求 OP ; (2)设 OP ? m AB ? n AC(m, n ? R) ,用 x, y 表示 m ? n ,并求 m ? n 的最大值. 区域

19.(本小题满分 12 分) 在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的市场价格和这块地上的产量 具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:

(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (2)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 ...2000 元 的概率. 20.(本小题满分 13 分) 如图, 曲线 C 由上半椭圆 C1 : 物线 C2 : y ? ?x 的离心率为
2

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 和部分抛 a 2 b2

其中 C1 ? 1( y ? 0) 连接而成,C1 , C2 的公共点为 A, B ,

3 . 2

(1)求 a , b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1 , C2 分别交于 P, Q (均异于点 A, B ) ,若 AP 21.(本小题满分 14 分) 设函数

? AQ ,求直线 l 的方程.

f ( x) ? ln(1 ? x), g ( x) ? xf '( x), x ? 0 ,其中 f '( x) 是 f ( x) 的导函数.

(1) g1 ( x) ? g ( x), gn?1 ( x) ? g ( g n ( x)), n ? N? ,求 gn ( x) 的表达式; (2)若

f ( x) ? ag ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围;
? g (n) 与 n ? f (n) 的大小,并加以证明.

(3)设 n ? N ? ,比较 g (1) ? g (2) ?

参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. B 6. C 2. B 7. D 3. C 8. B 4. C 9. A 5. D 10. A

二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分). 11.

10

12. x2 ? ( y ?1)2 ? 1 15. A.

13.

1 2
B. 3 C. 1

14. F ? V ? E ? 2

5

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)

?ABC 的内角 A, b, c. B, C 所对的边分别为 a,

b, c 成等差数列,证明: sin A ? sin C ? 2 sin ? A ? C ? ; (I)若 a , b, c 成等比数列,求 cos B 的最小值. (II)若 a ,
(Ⅰ)证明:因为 a, b, c 成等差数列,所以 2b ? a ? c 根据正弦定理,得 2sin B ? sin A ? sin C 又因为 sin B ? sin( A ? C ) ,所以 sin A ? sin C ? 2sin( A ? C ) (Ⅱ)解:因为 a, b, c 成等比数列,所以 b ? ac
2

根据余弦定理,得 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 2ac ? b 2 2ac ? ac 1 ? ? ? 2ac 2ac 2ac 2
1 ,这时三角形为正三角形。 2

仅当 a ? c ? b 时, cos B 取得最小值 17. (本小题满分 12 分)

四面体 ABCD 及其三视图如图所示, 过棱 AB 的中点 E 作平行于 AD ,BC 的平面分别交四面

DC, CA 于点 F , G, H. 体的棱 BD,

(I)证明:四边形 EFGH 是矩形; (II)求直线 AB 与平面 EFGH 夹角 ? 的正弦值. (Ⅰ)证明:

BC // 平面 EFGH ,

平面 EFGH ? 平面 BDC ? FG ,平面 EFGH ? 平面 ABC ? EH

? BC // FG, BC // EH ,? FG // EH ,
同理 EF // AD, HG // AD,? EF // HG , 所以,四边形 EFGH 是平行四边形 又

AD ? 平面 BDC ,

? AD ? BC,? EF ? FG

? 四边形 EFGH 是矩形
(Ⅱ)解:分别以 DC, DB, DA 为 x, y, z 轴正方向建立空间直角坐标系,则 A(0, 0,1) , B(0, 2, 0) ,

1 F (0,1, 0) , E (0,1, ) , G (1, 0, 0) 2
所以 AB ? (0, 2, ?1) , FE ? (0, 0, ) , FG ? (1, ?1,0) , 设平面 EHGF 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? FE ? n ? FG ? 0 , 解得 n ? (1,1, 0) 所以 cos ? AB, n ??

1 2

AB ? n 2 10 ? ? 5 | AB || n | 5 2
10 5

所以 sin ? ?| cos ? AB, n ?|? 18.(本小题满分 12 分)

在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1), B(2,3), C (3,2) ,点 P ( x, y ) 在 ?ABC 三边围成的区域(含 边界)上 (1)若 PA ? PB ? PC ? 0 ,求 | OP | ; (2)设 OP ? mAB ? nAC(m, n ? R) ,用 x, y 表示 m ? n ,并求 m ? n 的最大值 解: (Ⅰ)由题意 A(1,1), B(2,3), C (3, 2), P( x, y) ,

PA ? PB ? PC ? (1? x,1? y) ? (2 ? x,3 ? y) ? (3 ? x, 2 ? y) ? (0,0)
所以 ?

?1 ? x ? 2 ? x ? 3 ? x ? 0, ? x ? 2, 解得 ? ?1 ? y ? 3 ? y ? 2 ? y ? 0, ? y ? 2,
x2 ? y2 ? 2 2

所以 | OP |?

(Ⅱ)因为 OP ? mAB ? nAC ,所以 ( x, y) ? m(1, 2) ? n(2,1) , 即?

? x ? m ? 2n, , ? y ? 2m ? n,

两式相减,得 m ? n ? y ? x , 令 y ? x ? t ,由图知,当直线 y ? x ? t 过点 B(2,3) 时, t 取得最 大值 1,故 m ? n 的最大值为 1 19.(本小题满分 12 分) 在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的市场价格和这块地上的产量 具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:

(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (2)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 ...2000 元的概率. 解: (Ⅰ)设 A 表示事件“作物产量为 300kg” , B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg” ,

由题设知 P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.4 利润=产量 ? 市场价格 ? 成本

? X 所有可能的取值为
500 ?10 ? 1000 ? 4000, 500 ? 6 ? 1000 ? 2000, 300 ?10 ? 1000 ? 2000, 300 ? 6 ? 1000 ? 800

P( X ? 4000) ? P( A)P(B) ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.4) ? 0.3 P( X ? 2000) ? P( A)P(B) ? P( A)P(B) ? (1 ? 0.5) ? 0.4 ? 0.5 ? (1 ? 0.4) ? 0.5
P( X ? 800) ? P( A) P( B) ? 0.5 ? 0.4 ? 0.2
所以 X 的分布列为

X
P

4000 0.3

2000 0.5

800 0.2

(Ⅱ)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元” ( i =1,2,3) , 由题意知 C1 , C2 , C3 相互独立,由(Ⅰ)知,

P(Ci ) ? P( X ? 4000) ? P( X ? 2000) ? 3 ? 0.5 ? 0.8(i ? 1, 2,3) ,
3 季的利润均不少于 2000 元的概率为

P(C1C2C3 ) ? P(C1 )P(C2 )P(C3 ) ? 0.83 ? 0.512 ;
3 季中有 2 季利润不少于 2000 元的概率为

P(C1C2C3 ) ? P(C1C2C3 ) ? P(C1C2C3 ) ? 3? 0.83 ? 0.2 ? 0.384 ;
所以,这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为 0.512+0.384=0.896 20.(本小题满分 13 分) 如 图 , 曲 线 C 由 上 半 椭 圆 C1 :

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 和 部 分 抛 物 线 a 2 b2

C2 : y ? ?x2 ? 1( y ? 0) 连接而成, C1 , C2 的公共点为 A, B ,其中 C1 的离心率为
(1)求 a , b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1 , C2 分别交于 P, Q (均异于点 A, B ) ,若 AP

3 . 2

? AQ ,求直线 l 的方程.

解: (Ⅰ)在 C1 , C2 的方程中,令 y ? 0 ,可得 b ? 1 ,且 A(?1,0), B(1,0) 是上半椭圆 C1 的左右顶点。 设 C1 的半焦距为 c ,由 所以 a ? 2 , b ? 1

c 3 2 2 2 ,及 a ? c ? b ? 1 得 a ? 2 ? a 2

y2 ? x 2 ? 1( y ? 0) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,上半椭圆 C1 的方程为 4
易知,直线 l 与 x 轴补充和也不垂直,设其方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 代入 C1 的方程,整理得

(k 2 ? 4) x2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0
设点 P 的坐标为 ( x p , y p ) , 因为直线 l 过点 B,所以 x ? 1 是方程(*)的一个根, 由求根公式,得 x p ?

(*)

?8k k2 ? 2 ,从而 y p ? 2 , 2 k ?4 k ?4

所以,点 P 的坐标为 (

k 2 ? 2 ?8k , ) k2 ? 4 k2 ? 4

同理,由 ? 所以 AP ?

? y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ? y ? ? x ? 1( y ? 0)
2

得点 Q 的坐标为 (?k ? 1, ?k 2 ? 2k )

2k (k , ?4), AQ ? ? k (1, k ? 2) k ?4
2

因为 AP ? AQ ,所以 AP ? AQ ? 0 ,即

?2k 2 [k ? 4(k ? 2)] ? 0 , k2 ? 4
8 3

因为 k ? 0 ,所以 k ? 4(k ? 2) ? 0 ,解得 k ? ? , 经检验, k ? ? 符合题意, 故直线 l 的方程为 y ? ? ( x ? 1) 21.(本小题满分 14 分) 设函数

8 3

8 3

f ( x) ? ln(1 ? x), g ( x) ? xf '( x), x ? 0 ,其中 f '( x) 是 f ( x) 的导函数.

(1) g1 ( x) ? g ( x), gn?1 ( x) ? g ( g n ( x)), n ? N? ,求 gn ( x) 的表达式; (2)若

f ( x) ? ag ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围;
? g (n) 与 n ? f (n) 的大小,并加以证明.

(3)设 n ? N ? ,比较 g (1) ? g (2) ? 解:由题设得, g ( x) ?

x ( x ? 0) 1? x

x x x (Ⅰ)由已知, g1 ( x) ? , g 2 ( x) ? g ( g1 ( x)) ? 1 ? x ? x 1? x 1? 2x 1? 1? x x x g3 ( x) ? ,?,可得 g n ( x ) ? 1 ? 3x 1 ? nx
下面用数学归纳法证明 ① 当 n ? 1 时, g1 ( x ) ?

x ,结论成立 1? x x 1 ? kx

② 假设 n ? k 时结论成立,即 g k ( x ) ? 那么 n ? k ? 1 时,

x x g k ?1 ( x) ? g ( g k ( x)) ? 1 ? kx ? x 1 ? (k ? 1) x 1? 1 ? kx

即结论成立 由①②可知,结论对 n ? N? 成立。 (Ⅱ)已知 f ( x) ? ag ( x) 恒成立,即 ln(1 ? x ) ? 设 ? ( x) ? ln(1 ? x) ? 则 ? ?( x) ?

a 恒成立 1? x

ax ( x ? 0) , 1? x

1 a x ?1? a ? ? 2 1 ? x (1 ? x) (1 ? x) 2

当 a ? 1 时, ? ?( x) ? 0 (仅当 x ? 0, a ? 1时等号成立) 所以 ? ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,又 ? (0) ? 0 , 所以 ? ( x) ? 0 在 [0, ??) 上恒成立, 所以 a ? 1 时, ln(1 ? x ) ?

a 恒成立(仅当 x ? 0 时等号成立) 1? x

当 a ? 1 时,对 x ? (0, a ? 1] 有 ? ?( x) ? 0 ,所以 ? ( x) 在 (0, a ? 1] 上单调递减, 所以 ? (a ? 1) ? ? (0) ? 0 即 a ? 1 时,存在 x ? 0 ,使 ? ( x) ? 0 ,故知 ln(1 ? x ) ? 综上可知, a 的取值范围是 (??,1] (Ⅲ)由题设知 g (1) ? g (2) ? ... ? g (n) ?

a 不恒成立, 1? x

1 2 n ? ? ... ? , 2 3 n ?1

n ? f (n) ? n ? ln(n ? 1) ,
比较结果为 g (1) ? g (2) ? ... ? g (n) ? n ? ln(n ? 1) 证明如下:

1 1 1 ? ? ... ? ? ln( n ? 1) , 2 3 n ?1 x ,x ?0 在(Ⅱ)中取 a ? 1 ,可得 ln(1 ? x) ? 1? x 1 1 n ?1 ? ln 令 x ? , n ? N ? ,则 n n ?1 n
证法一:上述不等式等价于 下面用数学归纳法证明。

1 ? ln 2 ,结论成立 2 1 1 1 ? ln( k ? 1) ② 假设当 n ? k 时结论成立,即 ? ? ... ? 2 3 k ?1
① 当 n ? 1 时, 那么,当 n ? k ? 1 时,

1 1 1 1 1 k ?2 ? ? ... ? ? ? ln(k ? 1) ? ? ln(k ? 1) ? ln ? ln(k ? 2) 2 3 k ?1 k ? 2 k ?2 k ?1
即结论成立, 由①②可知,结论对 n ? N? 成立。

1 1 1 ? ? ... ? ? ln( n ? 1) , 2 3 n ?1 x ,x ?0 在(Ⅱ)中取 a ? 1 ,可得 ln(1 ? x) ? 1? x 1 n ?1 1 ? 令 x ? , n ? N ? ,则 ln n n n ?1 1 故有 ln 2 ? ln1 ? , 2 1 ln 3 ? ln 2 ? , 3
证法二:上述不等式等价于 ??

ln(n ? 1) ? ln n ?

1 , n ?1 1 1 1 ? ? ... ? 2 3 n ?1

上述各式相加可得 ln( n ? 1) ? 结论得证。 证法三: 如图,

x x dx 是由曲线 y ? ,x ? n及 0 x ?1 x ?1 1 2 n x 轴所围成的曲边梯形的面积,而 ? ? ... ? 2 3 n ?1

?

n

是图中所示各矩形的面积和。 所以
n n 1 2 n x 1 ? ? ... ? ?? dx ? ? (1 ? )dx ? n ? ln(n ? 1) , 0 2 3 n ?1 0 x ?1 x ?1

结论得证。


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