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2017年高考数学第二轮复习专题:极坐标与参数方程(含答案)


高考数学第二轮复习专题:极坐标与参数方程
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

一、选择题(题型注释)

二、填空题(题型注释) 三、解答题(题型注释)
? 2 t, ?x ? 3 ? ? 2 1.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数).在极坐标系 2 ? y? 5? t ? ? 2 (与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴) 中,

圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A, B ,若点 P 的坐标为 (3, 5) ,求 PA ? PB 2. (本小题满分 10 分)

) ,曲线 C 的方程为 ? ? 2 2 sin(? ? ) ;以极点为坐 2 4 标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率是 ? 1 的直线 l 经过点 M .
在极坐标系中,点 M 坐标是 (3, (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)求证直线 l 和曲线 C 相交于两点 A 、 B ,并求 | MA | ? | MB | 的值. 3. (本题满分 10 分)曲线 C1 的参数方程为 ?

?

?

? x ? 2 cos? (其中 ? 为参数) ,M 是曲 ? y ? 2 ? 2 sin ?

线 C1 上的动点,且 M 是线段 OP 的中点,P 点的轨迹为曲线 C 2 ,直线 l 的方程为

? ? sin( x ? ) ? 2 ,直线 l 与曲线 C 2 交于 A,B 两点。
4
(1)求曲线 C 2 的普通方程; (2)求线段 AB 的长。 4.选修 4-4:坐标系与参数方程

?x ? 1 ? t (Ⅰ)求直线 ? ( t 为参数)的倾斜角的大小. ?y ?1? t
(Ⅱ)在极坐标系中,已知点 A(2, ? ), B(2,
?ABC 的面积的最小值.

4? ) , C 是曲线 ? ? 2sin ? 上任意一点,求 3

5.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原 ? y ? sin ?

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点 O 为极点,

x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C2 的 极 坐 标 为
?
6
.

? ? sin ? ? cos? ,曲线 C3 的极坐标方程为 ? ?
(1)把曲线 C1 的参数方程化为极坐标方程;

(2)曲线 C3 与曲线 C1 交于点 O、A ,曲线 C3 与曲线 C2 交于点 O、B ,求 AB . 6. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos? ? y ? sin ?

, ( ? 为参数) , 以原点 O 为

极 点 , x 轴 正 半 轴 为 极 轴 , 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为

? sin(? ?

?
4

) ? 4 2.

(1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C 2 的直角坐标方程; (2)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C 2 上点的距离的最小值.

1 ? x? t ? 2 ? 7. .已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程是 3 ?y ? 2 ? t ? ? 2

??
与曲

sin ? 以极点为原点,极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系,点 M (0,2) ,直线 l 1 ? sin 2 ?

线 C 交于 A,B 两点. (1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)线段 MA,MB 长度分别记|MA|,|MB|,求|MA|· |MB|的值. 8.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴的正半轴重合,直线 l 的 极坐标方程为 ? sin ? ? ? 数) . (1)求直线 l 的直角坐标方程及曲线 C 的普通方程; (2)求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离. 9. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 平面直角坐标系中, 已知曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 1 ,将 曲线 C1 上所有点横坐标, 纵坐标分别伸长为原来的 2 倍和 3 倍后, 得到曲线 C2 . (1)试写出曲线 C2 参数方程; (2) 在曲线 C2 上求点 P ,使得点 P 到直线 l : x ? y ? 4 5 ? 0 的距离最大, 并求距离最 大值.
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? ?

?? 3 2
?? 4? 2

,曲线 C 的参数方程是 ?

? ? x ? cos ? ( ? 是参 ? ? y ? 3 sin ?

10 . 已 知 直 线 l 经 过 点 P ( ,1) , 倾 斜 角 α =

? ? ? 2 cos(? ? ) .
4

1 2

? ,圆 C 的极坐标方程为 6

(1)写出直线 l 的参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程; (2)设 l 与圆 C 相交于两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积. 11.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 :

x = ? 2,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点
2 2

为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C1 , C2 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M

, N ,求

?C2 MN 的面积.
? 1 3 x? ? t ? ? 2 2 12.已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ,直线 l 的参数方程为 ? ?x ? 1 ? 1 t ? ? 2 2
( t 为参数) ,点 A 的极坐标为 ?

? 2 ?? C l P ? 2 ,4? ? ,设直线 与圆 交于点 、 Q . ? ?

(1)写出圆 C 的直角坐标方程; (2)求 AP ? AQ 的值. 13.选修 4—4:极坐标与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半 ? y ? sin ?

轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? . (1)写出 C1 的极坐标方程和 C2 的直角坐标方程; (2)已知点 M 1 、 M 2 的极坐标分别为 ? 1,

? ?? ? 和 ? 2, 0 ? ,直线 M 1M 2 与曲线 C2 相交于 ? 2?

P, Q 两点,射线 OP 与曲线 C1 相交于点 A ,射线 OQ 与曲线 C1 相交于点 B ,求

1 OA
2

?

1 OB
2

的值.

) ,曲线 C 的方程为 ? ? 2 2 sin(? ? ) ;以极点 2 4 为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率是 ? 1 的直线 l 经过点 M . (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程;
14.在极坐标系中,点 M 坐标是 (3,
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?

?

(2)求证直线 l 和曲线 C 相交于两点 A 、 B ,并求 | MA | ? | MB | 的值.

3 ? x?? t?2 ? ? 5 15.已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 sin ? ,直线 l 的参数方程是 ? (t 为 ?y ? 4 t ? 5 ?
参数). (I)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与 x 轴的交点是 M , N 为曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值.

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参考答案 1. (1) x2 ? ( y ? 5)2 ? 5. (2) PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 2. 【解析】 试题分析: (1)由 ? ? 2 5 sin ? 得 x2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0, 即 x2 ? ( y ? 5)2 ? 5. ( 2 ) 将 l 的 参 数 方 程 代 入 圆 C 的 直 角 坐 标 方 程 , 得 (3 ?
t2 ? 3 2 t? 4 ? 0 . 分) (7

(4 分)

2 2 2 t ) ? ( t )2 ? 5 , 即 2 2

? ?t ? t ? 3 2, 由于 ? ? (3 2)2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t 2 是上述方程的两实根,所以 ? 1 2 ? ?t1 .t2 ? 4.

又直线l过点P(3, 5) ,故由上式及 t 的几何意义得: PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 2. (10 分)

考点:本题主要考查参数方程,简单曲线的极坐标方程,直线与圆的位置关系。 点评:容易题,涉及参数方程、极坐标的题目,往往难度不太大,在直线与圆锥曲线位置关 系问题中,考查韦达定理应用的题目居多。

? 2 t ?x ? ? ? 2 2. 解: (1) 直线 l 参数方程 ? , 曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ; 2 ? y ?3? t ? 2 ? ? 2 t ?x ? ? ? 2 (2) ? 代入 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ,得 t 2 ? 3 2t ? 3 ? 0 2 ? y ?3? t ? 2 ?
∵? ? 6 ? 0, ∴直线 l 的和曲线 C 相交于两点 A 、B , 设 t 2 ? 3 2t ? 3 ? 0 的两个根是 t1、t 2 ,

t1t 2 ? 3 ,∴ | MA | ? | MB | ?| t1t 2 |? 3 .
【解析】 试题分析:解: (1)∵点 M 的直角坐标是 (0,3) ,直线 l 倾斜角是 135? , …………(1 分)

? 2 x?? t ? ?x ? t cos 135 ? 2 ∴直线 l 参数方程是 ? ,即 ? , ………(3 分) ? 2 ? ? y ? 3 ? t sin135 y ?3? t ? 2 ?
?

? ? ? 2 2 sin(? ? ) 即 ? ? 2(sin ? ? cos? ) ,
4
两边同乘以 ? 得 ? 2 ? 2( ? sin ? ? ? cos? ) ,曲线 C 的直角坐标方程 曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ;………………(5 分)
答案第 1 页,总 10 页

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? 2 t ?x ? ? ? 2 (2) ? 代入 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ,得 t 2 ? 3 2t ? 3 ? 0 2 ? y ?3? t ? 2 ?
∵ ? ? 6 ? 0 ,∴直线 l 的和曲线 C 相交于两点 A 、 B ,………(7 分) 设 t 2 ? 3 2t ? 3 ? 0 的两个根是 t1、t 2 , t1t 2 ? 3 , ∴ | MA | ? | MB | ?| t1t 2 |? 3 . ………………(10 分)

考点:本题考查了极坐标与参数方程的运用 点评: 近几年的高考试题对选修 4-4 的考查都是以极坐标方程与参数方程混合命题, 我们在 复习的过程中要注意训练化极坐标方程和参数方程为普通方程 3. (1) x ? ( y ? 4) ? 16 ;
2 2

(2) AB ? 2 14

【解析】略 4. (Ⅰ)倾斜角的大小为

1 1 3? . (Ⅱ) ?ABC 的面积的最小值为 AB ? h ? 3 ? . 2 2 4

【解析】本试题主要是考查了参数方程和极坐标方程的综合运用。

?x ? 1 ? t (1)利用参数方程 ? ,消去参数 t 的值的,得到直线的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 , ?y ?1? t
从而得到倾斜角的大小。 ( 2 ) 将 极 坐 标 A , B, 化 为 直 角 坐 标 , 依 题 意 得 点 A, B 的 直 角 坐 标 分 别 为

A(?2,0), B(?1,? 3) ,那么直线 AB 方程为 3x ? y ? 2 3 ? 0 ,曲线 ? ? 2sin ? 的直角坐
标方程为 x ? ( y ? 1) ? 1,
2 2

,利用直线与圆的位置关系来判定三角形面积的最小值即由点 C 到圆的最短距离得到。 解: (Ⅰ)因为直线的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,所以倾斜角的大小为

3? .……3 分 4

( Ⅱ ) 依 题 意 得 点 A, B 的 直 角 坐 标 分 别 为 A(?2,0), B(?1,? 3) , 直 线 AB 方 程 为

3x ? y ? 2 3 ? 0 ,曲线 ? ? 2sin ? 的直角坐标方程为 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1,
点 C 到圆的最短距离为 h ?

1? 2 3

1? 3 1 1 所以 ?ABC 的面积的最小值为 AB ? h ? 3 ? .………………7 分 2 2
5. (1) ? ? 2 cos? ; ( 2)

?r ? 3?

1 , 2

3 ?1 . 2

答案第 2 页,总 10 页

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【解析】 试题分析: (1)先将曲线 C1 化为普通方程,再利用 ? 求出 A, B 的极坐标,在利用极坐标的意义得 AB ?
2

? x ? ? cos? 将其化为极坐标方程; (2) ? y ? ? sin ?

?1 ? ?2 可得结果.

2 试题解析: (1)曲线 C1 的普通方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 ,

由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? , 得

? 2 ? 2 ? c o s?? , 0 所 以 曲 线 C1 的 极 坐 标 方 程 为

? ? 2cos? .
(2)设点 A 的极坐标为 ? ? ,

? ?

??

?? ? ? ,点 B 的极坐标为 ? ? 2 , ? , 6? 6? ?

则 ?1 ? 2cos

?
6

? 3, ?2 ? sin

?
6

? cos

?
6

?

1 3 , ? 2 2

所以 AB ? ?1 ? ?2 ?

3 ?1 . 2

考点: (1)参数方程与普通方程; (2)极坐标方程与普通方程; (3)两点间的距离. 6. (1)

x2 ? y2 ? 1 , x ? y ? 8 ? 0 ; (2) 3 2 3

【解析】 试题分析: (1) 将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程, 需要根据参数方程的结构特征, 选取恰当的消参方法,常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法; (2)将 参数方程转化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解、漏解,若 x, y 有范围限 制,要标出 x, y 的取值范围; (3)直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式 x ? ? cos? 及

y ? ? sin ? 直接代入并化简即可;而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形,构造形如

? cos? , ? sin ? , ? 2 的形式,进行整体代换,其中方程的两边同乘以(或同除以) ? 及
方程的两边平方是常用的变形方法.

? x ? 3 cos? 试题解析: (1)由曲线 C1 : ? ? y ? sin ?
x2 ? y2 ? 1 3

? x ? cos? ? 得? 3 ? ? y ? sin ?

即:曲线 C1 的普通方程为:

答案第 3 页,总 10 页

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由曲线 C 2 : ? sin(? ?

?
4

) ? 4 2 得:

2 ? (sin ? ? cos? ) ? 4 2 2
5分

即:曲线 C 2 的直角坐标方程为: x ? y ? 8 ? 0 (2)由(1)知椭圆 C1 与直线 C 2 无公共点, 椭圆上的点 P( 3 cos? , sin ? ) 到直线 x ? y ? 8 ? 0 的距离为

d?

3 cos? ? sin ? ? 8 2

2 sin(? ? ? 2

?
3

) ?8

所以当 sin(? ?

?
3

) ? 1 时, d 的最小值为 3 2

10 分

考点:1、参数方程与普通方程的互化;2、点到直线的距离公式. 7.解: (1)直线 l 的普通方程为: 3x ? y ? 2 ? 0 ,

? ? cos2 ? ? sin ? ,? ? 2 cos2 ? ? ? sin ? ,
1 ? x? t ? 2 ? (6 分) (2)将 ? 代入 y ? x 2 得 ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2

? 曲线 C 直角坐标方程 y ? x 2

t 2 ? 2 3t ? 8 ? 0 , | MA | ? | MB |?| t1t2 |? 8 .
【解析】略 (12 分)

y2 5 2 ? 1; 8. (1) x ? y ? 3 ? 0 , x ? (2) . 3 2
2

【解析】 试题分析: (1)先利用两角和的正弦公式展开,再利用 ? cos? ? x, ? sin ? ? y 进行化简, 即得直线 l 的普通方程,借助同角三角函数基本关系式的平方关系消去参数,即得到曲线 C 的普通方程; (2)利用曲线 C 上的点的参数坐标,利用点到直线 l 的距离公式和配角公式以 及三角函数的图象与性质进行求解. 试题解析: (1)由 ? sin(? ?

?
4

)?

3 2 得: 2

? sin ? cos

?
4

? ? cos ? sin

?
4

?

3 2 2 2 3 2 ? y? x? ? x ? y ?3 ? 0 , 2 2 2 2
答案第 4 页,总 10 页

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? x ? cos ? ? y2 ? x ? cos ? ? 2 ?1 . 由? 得? y 平方相加得: x ? ? sin ? 3 ? ? y ? 3 sin ? ? 3 ?
cos ? ? 3 sin ? ? 3 12 ? 12 2sin(? ? ) ? 3 6 , ? 2

?

(2)∵ d ?

∴ d max ?

5 5 2 . ? 2 2
? 2 5 3 5? 5 10 ,? , P 点的坐标为 ? ? ?. ? 5 5 ? 2 ? ?

考点:1.曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的互化;2.点到直线的距离公式. 9. (1) ? 【解析】 试题分析: (1)写出 C1 : x2 ? y 2 ? 1的参数方程为 ? 进一步确定 C2 的参数方程. (2) 由 (1) 得点 P

? ? x ? 2 cos ? ? ? y ? 3 sin ?

(? 为参数).(2) d max ?

? ? x ? cos ? ?x ' ? 2x (? 为参数), 根据 ? ? y ? sin ? ? ? y ' ? 3y

?

2 cos ? , 3 sin ? ,利用点 P 到直线 l 的距离公式,写出 d 的表达式,

?

根据三角函数的图象和性质,确定其最大值及 P 点的坐标. 试题解析: ( 1 ) 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 ?

? ? ?x ? c o s ?x ' ? 2x 得 (? 为 参 数 ) , 由 ? ? ?y ? s i n ? y ' ? 3y ?

? ? x ' ? 2 cos ? , ? y ' ? 3 sin ? ? ? ? ? x ? 2 cos ? (? 为参数). ?C2 的参数方程为 ? y ? 3 sin ? ? ?
(2)由(1) 得点 P

?

2 cos ? , 3 sin ? ,点 P 到直线 l 的距离
? 5 cos ?? ? ? ? ? 4 5 2 , tan ? ? 2 5 5 5 10 , d max ? ? 2 3 2

?

d?
,

2 cos ? ? 3 sin ? ? 4 5 2

此时 P 点的坐标为 ? ?

? 2 5 3 5? ,? ?. ? 5 5 ? ? ?

考点:1.曲线的参数方程;2.点到直线的距离公式;3.三角函数的性质. 【名师点睛】作为选考内容,题目的难度一般不大,掌握基础知识、基本方法即可.本题与
答案第 5 页,总 10 页

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平面解析几何、三角函数相结合,综合考查考生的学习理解能力、基本运算能力. 10. (1) ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

1 2

1 1 ; (2) . 4 2

【解析】

1 ? ? x ? ? t cos ? ? 2 6 试题分析: ( 1 )由参数方程的概念可以写成 l 的参数方程为 ? ,化简为 ? y ? 1 ? t sin ? ? 6 ?
? 1 3 x? ? t ? ? ? 2 2 (t 为参数 ) ;在 ? ? 2 cos( ? ? )两边同时乘以 ? ,且 ρ 2 = x2+ y2, ? 4 ? y ? 1? 1 t ? ? 2
ρ cosθ =x,ρ sinθ =y,∴ ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

1 2

1 .(2)在 l 取一点,用参数形式表示 2

? 1 3 x? ? t ? 1 2 1 2 1 1 1 ? 2 2 2 , 再代入 ( x ? ) ? ( y ? ) ? , 得到 t + t- =0, |PA|·|PB|=|t1t2| ? 2 2 2 2 4 1 ? y ? 1? t ? ? 2


1 1 .故点 P 到点 A、B 两点的距离之积为 . 4 4

1 ? ? ? 1 3 x ? ? t cos x? ? t ? ? ? ? 2 6 2 2 试题解析:(1)直线 l 的参数方程为 ? ,即 ? (t 为参数) ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2
由? ?

2 cos(? ? ) ,得 ρ =cosθ +sinθ ,所以 ρ 2=ρ cosθ +ρ sinθ , 4 1 2 1 2 1 2 2 2 ∵ρ =x +y ,ρ cosθ =x,ρ sinθ =y,∴ ( x ? ) ? ( y ? ) ? . 2 2 2

?

? 1 3 x? ? t ? 1 2 1 2 1 ? 2 2 (2)把 ? 代入 ( x ? ) ? ( y ? ) ? . 2 2 2 ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得t+
2

1 1 1 1 t- =0,|PA|·|PB|=|t1t2|= .故点 P 到点 A、B 两点的距离之积为 . 2 4 4 4
2

考点:1.参数方程的应用;2.极坐标方程与直角坐标方程的转化. 11. (Ⅰ) ? cos ? ? ?2 , ? ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 (Ⅱ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得 C1 , C2 的极坐标方程; (Ⅱ)
答案第 6 页,总 10 页

1 2

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将将 ? =

?
4

代入 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin? ? 4 ? 0 即可求出|MN|,利用三角形面积公式即可

求出 ?C2 MN 的面积. 试题解析: (Ⅰ)因为 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? , ∴ C1 的 极 坐 标 方 程 为

? cos ? ? ?2 , C2 的 极 坐 标 方 程 为

? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 .……5 分
(Ⅱ)将 ?=

?
4

代入

2 ? 2 ? 2 ? c o s? ? 4? s i n ?? ? 4 , 0 得 ? ? 3 2? ? 4? 0, 解 得

?1 = 2 2 , ?2 = 2 ,|MN|= ?1 - ?2 = 2 ,
因为 C2 的半径为 1,则 ?C2 MN 的面积

1 1 ? 2 ?1? sin 45o = . 2 2

考点:直角坐标方程与极坐标互化;直线与圆的位置关系
2 12. (1) ? x ? 1? ? y ? 1 ; (2) 2

1 . 2

【解析】 试题分析: ( 1 )在极坐标方程 ? ? 2 cos ? 的两边同时乘以 ? ,然后由 ? 2 ? x2 ? y 2 , (2)将直线 l 的标准参数方程代入圆的直角坐 ? cos? ? x 即可得到圆 C 的直角坐标方程; 标方程,消去 x 、 y 得到有关 t 的参数方程,然后利用韦达定理求出 AP ? AQ 的值. (1)由 ? ? 2cos ? ,得 ? ? 2? cos?
2

? ? 2 ? x2 ? y 2 , ? cos? ? x ,
? x2 ? y 2 ? 2 x 即 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 ,
2 2 即圆 C 的直角坐标方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ; 2

(2)由点 A 的极坐标 ?

? 2 ?? ?1 1? A , ?, ? 2 ,4? ? 得点 直角坐标为 ? ?2 2? ? ?

? 1 3 x? ? t ? ? 2 2 代入 ? x ? 1?2 ? y 2 ? 1 消去 x 、 y ,整理得 t 2 ? 3 ? 1 t ? 1 ? 0 , 将? 2 2 ?y ? 1 ? 1 t ? ? 2 2
设 t1 、 t 2 为方程 t 2 ?

1 3 ?1 1 t ? ? 0 的两个根,则 t1t2 ? ? , 2 2 2
答案第 7 页,总 10 页

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所以 AP ? AQ ? t1t2 ?

1 . 2

考点:1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化;2.韦达定理 13 . ( 1 ) C1 的 极 坐 标 方 程 为

? 2 cos 2 ?
4

? ? 2 sin 2 ? ? 1 ; C2 的 直 角 坐 标 方 程 为

x 2 ? ? y ? 1? ? 1 ;
2

(2)

1 OA
2

?

1 OB
2

?

5 . 4

【解析】
2 2 试题分析: ( 1 ) 利 用 sin ? ? cos ? ? 1 进 行 消 参 得 到 C1 的 直 角 坐 标 方 程 , 再 利 用

(2)首先 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,得到 C1 的极坐标方程,同时得到 C2 的直角坐标方程; 确定 M1 , M 2 的直角坐标, 进而确定 PQ 与曲线 C2 的关系, 进而判断出 OA ? OB , 设点 A, B 的参数方程分别为 A ? ?1 , ? ? , B ? ? 2 , ? ?

? ?

??

1 1 5 . ? ? : ? ,代入 C1 中化简整理得到 2 2 4 2? OA OB

试题解析: (1)曲线 C1 的普通方程为

x2 ? y2 ? 1, 4
3分

化成极坐标方程为

? 2 cos 2 ?
4

? ? 2 sin 2 ? ? 1
2

曲线 C2 的直角坐标方程为 x 2 ? ? y ? 1? ? 1 (2)在直角坐标系下, M 1 ? 0,1? , M 2 ? 2, 0 ? , 线段 PQ 是圆 x 2 ? ? y ? 1? ? 1 的一条直径
2

5分

? ?POQ ? 90?

由 OP ? OQ

得 OA ? OB

A, B 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上的两点, 4
? ?

在极坐标下,设 A ? ?1 , ? ? , B ? ? 2 , ? ?

??
? 2?

分别代入

?12 cos 2 ?
4

? ?12 sin 2 ? ? 1 中,

答案第 8 页,总 10 页

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? cos ?
2 1 2

4
1

? ?12 sin 2 ? ? 1 和

? 2 2 cos 2 ? ? ?

? ? 4

??
? 2?

?? ? ? ? 2 2 sin 2 ? ? ? ? ? 1 2? ?

cos 2 ? ? 2 ? ? sin 2 ? , ?1 4


1

?22
1
2

sin 2 ? ? ? cos 2 ? 4
1 ? 5 . 4
10 分

1

?

2 1

?

1

?2

2

?

5 4



OA

?

OB

2

考点:1.参数方程化为直角坐标;2.极坐标化为直角坐标方程. 14.解: (1)∵点 M 的直角坐标是 (0,3) ,直线 l 倾斜角是 135? , …………(1 分)

? 2 x?? t ? ?x ? t cos 135 ? 2 ∴直线 l 参数方程是 ? ,即 ? , ………(3 分) ? 2 ? ? y ? 3 ? t sin135 y ?3? t ? 2 ?
?

? ? ? 2 2 sin(? ? ) 即 ? ? 2(sin ? ? cos? ) ,
4
两边同乘以 ? 得 ? 2 ? 2( ? sin ? ? ? cos? ) ,曲线 C 的直角坐标方程 曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ;………………(5 分)

? 2 t ?x ? ? ? 2 (2) ? 代入 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ,得 t 2 ? 3 2t ? 3 ? 0 2 ? y ?3? t ? 2 ?
∵ ? ? 6 ? 0 ,∴直线 l 的和曲线 C 相交于两点 A 、 B ,………(7 分) 设 t 2 ? 3 2t ? 3 ? 0 的两个根是 t1、t 2 , t1t 2 ? 3 , ∴ | MA | ? | MB | ?| t1t 2 |? 3 . ………………(10 分)

【解析】略 15. (1) x ? y ? 2 y ? 0 ; (2) 5 ? 1 .
2 2

【解析】 试题分析: (1)根据 ? ? x ? y , ? cos? ? x, ? sin ? ? y 可以将极坐标方程转化为坐标方
2 2 2

程, (2)将直线的参数方程转化成直角坐标方程,再根据平时熟悉的几何知识去做题. 试题解析: (1) ? ? 2 sin ? 两边同时乘以 ? 得 ? ? 2? sin ? ,则 x ? y ? 2 y
2 2 2

答案第 9 页,总 10 页

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曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程为: x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 (2)直线 l 的参数方程化为直角坐标方程得: y ? ?

4 ( x ? 2) 3

令 y ? 0 得 x ? 2 ,即 M (2,0) ,又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为 (0,1) , 半径 r ? 1 ,则 MC ? 5 .

? MN ? MC ? r ? 5 ? 1.
考点:1.极坐标与直角坐标的转化,2.参数方程与直角坐标方程的转化.

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