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§8.2 空间图形的基本关系与公理


步步高大一轮复习讲义

空间图形的基本关系与公理

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知识网络

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要点梳理

忆一忆知识要点

1.平面的基本性质
两点 公理1:如果一条直线上的_____在一个平面内,那么 这条直线上所有的点都在这个平面内.

A? l, B ? l, A?? , B ?? ? l ? ? .
公理2:经过________________的三点,有且只有一个平 不在同一条直线上 面(即可以确定一个平面). 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 ? 有且只有_____通过这个点的公共直线. 一条 (1) P ? ? ? ? ? ? ? ? ? l 且 P ? l .
(2) P ? ? ? ? 且? ? ? ? l ? P ? l .
?
P
l

(3) A ? ? ? ? 且 B ? ? ? ? ? ? ? ? ? AB. 主页

要点梳理

忆一忆知识要点

2. 直线与直线的位置关系 平行 ?______ ?共面直线? 相交 (1)位置关系的分类? ?______
(2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 P 作直

任何 ?异面直线:不同在______一个平面内

锐角或直角 线 l1∥a,l2∥b,把 l1 与 l2 所成的_____________叫作异面直
线 a,b 所成的角(或夹角).

(0, ? ] ②范围:_________. 2
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要点梳理

忆一忆知识要点

3.直线与平面的位置关系 有______、_______、___________三种情况. 相交 在平面内 平行 4.平面与平面的位置关系 有______、_______两种情况. 平行 相交 5.平行公理 同一条直线 平行于___________的两条直线平行. 6.等角定理

空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,
那么这两个角____________. 相等或互补
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基础自测
题号 答案

1 2
3 4 5

②③④
①②④

27
C B
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题 型一

平面的基本性质

【例 1】如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证: (1)E, C, D1, F 四点共面; (2)CE, D1F, DA 三线共点.

(1)由EF∥CD1可得; (2)先证CE与D1F相交于P,再证P∈AD.
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题 型一

平面的基本性质

证明:(1)连接 EF,CD1,A1B. 1 1 证明:(1)连接 EF,CD1,A1B. 1 1 ∵E、F 分别是 AB、AA1 的中点, 1 ∵E、F 分别是 AB、AA1 的中点, 1 ∴EF∥BA1. 1 ∴EF∥BA1. 1 又 A1B∥D1C,∴EF∥CD1, 1 1 1 又 A1B∥D1C,∴EF∥CD1,
1 1 1

∴E、C、D1、F 四点共面. 1 ∴E、C、D1、F 四点共面. 1 (2)∵EF∥CD1 ,EF<CD1 , 1 1 (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, 1 1 ∴CE 与 D1F 必相交,设交点为 P, 1 ∴CE 与 D1F 必相交,设交点为 P, 1 则由 P∈CE,CE?平面 ABCD,得 P∈平面 ABCD. 则由 P∈CE,CE?平面 ABCD,得 P∈平面 ABCD.

同理 P∈平面 ADD1 A1 1 1 同理 P∈平面 ADD1 A1 .. 1 1 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA, 1 1 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA,
1 主页 1

∴E、C、D1、F 四点共面. ∴E、C、D , 四点共面. ∴E、C、D1 、F ∴E、C、D 、F 四点共面. C,∴EF∥CD1111、F 四点共面. ∴E、C、D1、F 四点共面.

(2)∵EF∥CD1,EF<CD 1,, (2)∵EF∥CD 1 ,EF<CD1 (2)∵EF∥CD (2)∵EF∥CD1 11,EF<CD1 , 、F 四点共面.,EF<CD1,1, (2)∵EF∥CD 1,EF<CD1 1

∴CE 与与DD11F 必相交,设交点为 P, D ∴CE 与 F 1 必相交,设交点为 P, ∴CE 与 111 1必相交,设交点为P,P, D1,EF<CDDFF 必相交,设交点为 P, ∴CE 与 , 必相交,设交点为

则由 P∈CE,CE?平面 ABCD,得 P∈平面 ABCD. 则由 P∈CE,CE ?平面 ABCD,得 P∈平面 ABCD. P∈CE,CE?平面 则由 P∈CE,CE?平面 ABCD,得 P∈平面 ABCD. F 则由 P∈CE,CE?平面 ABCD,得P∈平面 ABCD. 必相交,设交点为 P, ABCD,得 P∈平面 ABCD.

同理 P∈平面 ADD11A11.. P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD 1 1 同理 P∈平面 ADD 同理 P∈平面 ADD A1A11 ,CE?平面 ABCD,得A1..

又平面 ABCD∩平面 ADD 1A1=DA, 又平面 ABCD∩平面 ADD A1=DA, 又平面 ABCD∩平面 又平面 .ABCD∩平面 ADD 1A11=DA, 面 ADD1A1ABCD∩平面 ADD1A111=DA, 1 =DA,

∴P∈直线 DA.∴CE、D1F、DA三线共点. ∴P∈直线 DA.∴CE、D1F、DA 三线共点. ∴P∈直线 A1=DA, 1 三线共点. ∴P∈直线 DA.∴CE、D1F、DA 三线共点. D∩平面 ADD1DA.∴CE、D11F、DA 三线共点.

DA.∴CE、D1F、DA 三线共点.

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探究提高
所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交 于一点. (1)证明三线共点的依据是公理3. (2)证明三线共点的思路是:先证两条直线交于一 点,再证明第三条直线经过该点,把问题化归到证明点在 直线上的问题. 实际上,点共线、线共点的问题都可以化归为点在 直线上的问题来处理.

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变式训练 1

如图所示,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠BAD ∥ 1AD,BE // 1FA,G、H 分别为 FA、FD =∠FAB=90° ,BC ? ? 2 2 的中点. (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么?

明:由已知 FG=GA,FH=HD, (1)证明:由已知 FG=GA,FH=HD, 明:由已知 FG=GA,FH=HD, 证明:由已知 FG=GA,FH=HD, // 1 // 1AD.又1BC // 1AD, GA,FH=HD, // AD.又1BC 可得 GH ? GH 可得 1 ? // 2AD.又2BC ? 2AD, 2AD, // 1 ? 可得 GH 1 1 // // 可得 GH ?AD, // ? 2 AD.又 BC ? 2 AD, AD.又 BC // BC, ? ∴GH ∴GH2 // BC, ? 2 ? 2 ? // ∴GH ? BC, // ∴GH ? BC, , ∴四边形 BCHG 为平行四边形. ∴四边形 为平行四边形. ∴四边形 BCHG BCHG 为平行四边形. HG ∴四边形 BCHG 为平行四边形. 为平行四边形.
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1 // 1AF,G 为 FA 中点知,BE // FG, (2)解:方法一 由 BE ? 1AF,G 为 FA 中点知,BE ? FG, // 1 // // 2 // (2)解:方法一 由 BE ? 1 AF,G 为 FA 中点知,BE ? FG, 由 变式训练 1 BE // 1 AF,G 为 FA 中点知,BE // FG, // (2)解:方法一 由 BE // 2 (2)解:方法一 由 BE // AF,G 为 FA 中点知,BE // FG, ? 1 ? (2)解:方法一 由 BE ? 2AF,G 为 FA 中点知,BE ? FG, 2 (2)解:方法一 由 BE ? 2 AF,G 为 FA 中点知,BE ? FG, // 2 (2)解:方法一 BEFG? ∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴EF∥BG. ? 为平行四边形,∴EF∥BG. // 2 ∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴EF∥BG. ∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴EF∥BG. ∴四边形 // ∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴EF∥BG. 共面. 由(1)知 BG ? CH,∴EF∥CH,∴EF 与 CH // // ∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴EF∥BG. 共面. 由(1)知 BG ? CH,∴EF∥CH,∴EF 与 CH 共面. // ? CH,∴EF∥CH,∴EF 与 CH 由(1)知 BG // CH,∴EF∥CH,∴EF 与 CH 共面. BG // ? 由(1)知 ? 由(1)知 BG ? CH,∴EF∥CH,∴EF 与 CH 共面. // 由(1)知 BG ? CH,∴EF∥CH,∴EF 与 又 D∈FH,∴C、D、F、E 四点共面. CH 共面. D∈FH,∴C、D、F、E 四点共面. 又 D∈FH,∴C、D、F、E 四点共面. 又 D∈FH,∴C、D、F、E 四点共面. 又 D∈FH,∴C、D、F、E 四点共面. 又 D∈FH,∴C、D、F、E 四点共面. 方法二 方法二 又 方法二 方法二 方法二 如图所示,延长 FE,DC 分别与 AB 交于点 M,M′, 方法二 如图所示,延长 FE,DC 分别与 AB 交于点 M,M′, 方法二 如图所示,延长 FE,DC 分别与 AB 交于点 M,M′, 如图所示,延长 FE,DC 分别与 AB 交于点 M,M′, FE,DC 分别与 AB 交于点 M,M′, 如图所示,延长 FE,DC 分别与 AB 交于点 M,M′, 1 如图所示,延长 FE,DC 分别与 AB 交于点 M,M′, // 1AF,∴B ∵BE ? 1AF,∴B 为 MA 中点. 如图所示,延长 为 MA 中点. // // 2 ∵BE ? 1 AF,∴B 为 MA 中点. // ?1 ∵BE // 2AF,∴B 为 MA 中点. // 2 ? ∵BE ? 1 ∵BE ? 2AF,∴B 为 MA 中点. // 1 1 // 1 AF,∴B 为 MA 中点. ∵BE ? 2 AD, ∵BC ? 2AD, // 1 1 ∵BC // 2 // 2 AD, ∵BC ? 1 AD, ∵BC // AD, // 2 ? 1 ∵BC ? 2AD, ∵BC ?M′A 中点, ∴B 为?M′A 中点, 为 2 ∵BC // 2 AD, ∴B 为 M′A 中点, 2 ∴B 为 M′A 中点, ∴B ∴B 为 M′A 中点, FE 与 DC 交于点 M(M′), ∴M 与 M′重合,即 ∴B 与 M′重合,即 ∴M 为 M′A 中点, FE 与 DC 交于点 M(M′), ∴M 与 M′重合,即 FE 与 DC 交于点 M(M′), 与 M′重合,即 FE 与 DC 交于点 M(M′), ∴M 与 M′重合,即 FE 与 DC 交于点 M(M′), ∴M 与 M′重合,即 FE 与 DC 交于点 M(M′), ∴C、D、F、E 四点共面. ∴M ∴C、D、F、E 四点共面. ∴C、D、F、E 四点共面. 四点共面. ∴C、D、F、E 四点共面. 主页 ∴C、D、F、E

题 型二

空间两条直线的位置关系

【例 2】已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是边 AB、AD 的中点,F、G 分别是边 BC、CD 上的点. (1)求证:BC 与 AD 是异面直线; (2)求证:EG 与 FH 相交.
证明: (1)假设 BC 与 AD 共面, 证明: (1)假设 BC 与 AD 共面,

证明: (1)假设 BC 与 AD 共面, (1)假设 BC AD 共面, 证明: 不妨设它们所共平面为 α,则 B、C、A、D∈α. 证明:不妨设它们所共平面为 α,则 共面, (1)假设 BC 与与 AD 共面, B、C、A、D∈α. 不妨设它们所共平面为 不妨设它们所共平面为 α,则 B、C、A、D∈α. 不妨设它们所共平面为 α,则 面为 α,则 B、C、A、D∈α. α,则 B、C、A、D∈α. ∴四边形 ABCD 为平面图形, B、C、A、D∈α. ∴四边形 ABCD 为平面图形,

∴四边形 ABCD 为平面图形, ∴四边形 ABCD ABCD为空间四边形相矛盾. ∴四边形 ABCD 为平面图形, 平面图形, 这与四边形 ABCD 为空间四边形相矛盾. 这与四边形 为平面图形, 这与四边形 ABCD 这与四边形 是异面直线. 这与四边形 ABCD 为空间四边形相矛盾. D 为空间四边形相矛盾. 为空间四边形相矛盾. ∴BC 与 AD 是异面直线. ∴BC 与 AD ABCD 为空间四边形相矛盾.
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∴BC AD 是异面直线. ∴BC 与与 AD 是异面直线. 直线. ∴BC 与 AD 是异面直线.

【例 2】已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是 边 AB、AD 的中点,F、G 分别是边 BC、CD 上的点. (1)求证:BC 与 AD 是异面直线; (2)如图,连接 AC,BD, (2)求证:EG 与 FH 相交. (2)如图,连接 AC,BD, (2)如图,连接 AC,BD, 则 EF∥AC,HG∥AC, (2)如图,连接AC,BD, (2)如图,连接 AC,BD, (2)如图,连接 AC,BD, 则 EF∥AC,HG∥AC, 则 EF∥AC,HG∥AC, 则 EF∥AC,HG∥AC, 因此 EF∥HG;同理 EH∥FG, 则 EF∥AC,HG∥AC, 则 EF∥AC,HG∥AC, 因此 EF∥HG;同理 EH∥FG, 因此 EF∥HG;同理 EH∥FG, 因此 EF∥HG;同理 EH∥FG, 因此 EF∥HG;同理 EH∥FG, 则 EFGH 为平行四边形. 因此 EF∥HG;同理 EH∥FG, 则 EFGH 为平行四边形. 则 EFGH 为平行四边形. 则 EFGH 为平行四边形. 则 EFGH 为平行四边形. EFGH 是 又 EG, FH为平行四边形. 则 EG, FH 是 EFGH 的对角线, EFGH 的对角线, 又 EG, FH 是 EFGH 的对角线, 又 EG, FH 是 EFGH 的对角线, 又 EG, FH 是 EFGH 的对角线, 又 ∴EG 与 HF 相交. 的对角线, EFGH 又 EG, FH 是相交. ∴EG 与 HF 相交. ∴EG 与 HF 相交. ∴EG 与 HF 相交. ∴EG 与 HF 探究提高HF 相交. ∴EG 与

? ?

? ?

(1)证明直线异面通常用反证法;(2)证明直线相交,通常 用平面的基本性质,平面图形的性质等.
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变式训练 2 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 的 A1C1 面上有一点 P(如图所示,

其中 P 点不在对角线 B1D1)上. (1)过 P 点在空间作一直线 l, l∥直线 BD, 使 应该如何作图? 并说明理由;

(2)过 P 点在平面 A1C1 内作一直线 m, m 与直线 BD 成 α 角, 使 其中 α∈ (0, ? ] ,这样的直线有几条,应该如何作图?

2

解:(1)连接B1D1 ,BD, 在平面A1C1内过P作直线l,使l∥B1D1, 则 l 即为所求作的直线. ∵B1D1∥BD, l∥B1D1 ,

∴l∥直线BD.如图(1)
图(1) 主页

(2)在平面 A1C1 内作直线 m,使直线 m 与 B1D1 相交成 α 角, (2)在平面 A1C1 内作直线 m,使直线 m 与 B1D1 相交成 α 角, 变式训练 2 ∵BD∥B1D1, ∵BD∥B1C , D 内作直线 m,使直线 m 与 (2)在平面 A 1C 11内作直线 m,使直线 m 与 B 1D 1相交成 α 角, A1C1 内作直线 m,使直线 m 与 B1D1 相交成 α 角, (2)在平面 B11D11 相交成 α 角, (2)在平面 A11 11 ∴直线 m 与直线 BD 也成 α 角, ∴直线 m 与直线 BD 也成 α 角, ∵BD∥B1D1, ∵BD∥B1D1, ∵BD∥B11D11, 即直线 m 为所求作的直线,如图(2). 即直线 m 与直线 BD 也成 α 角, m 为所求作的直线,如图(2). ∴直线 m 与直线 BD 也成 α 角, ∴直线 ∴直线 m 与直线 BD 也成 α 角, 由图知 m 与 BD 是异面直线,且 m 与 BD 所成的角 α∈ (0, ? ] . 由图知 m 为所求作的直线,如图(2). 所成的角 α∈ (0, ? ] . m 与 BD 是异面直线,且 m 与 BD 即直线 m 为所求作的直线,如图(2). 2 即直线 即直线 m 为所求作的直线,如图(2). 2 图(2) 由图知 m 与 BD 是异面直线,且 m 与 BD 所成的角 α∈ (0, ? ] .. m 与 BD 是异面直线,且 m 与 BD 所成的角 α∈ (0, ? ] 由图知 由图知 m 与 BD 是异面直线,且 m 与 BD 所成的角 α∈ (0, ? 2 π 2 2 π时,这样的直线 m 有且只有一条, 当 α= 当 α= 2时,这样的直线 m 有且只有一条, 2 π π π 时,这样的直线 m 有且只有一条, 当 α= 2时,这样的直线 有两条. 当 α≠ α≠ 有两条. 当 α= 2时,这样的直线 m 有且只有一条, 当 α= 2时,这样的直线 m 有且只有一条, 2 π π π 时,这样的直线 m 有两条. 当 α≠ 当 α≠ 2时,这样的直线 m 有两条. 当 α≠ 2时,这样的直线 m 有两条. 2 主页

题 型三

异面直线所成的角

【例 3】已知正方体 ABCD—A1B1C1D1. (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小; (2)若 E、F 分别为 AB、AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所 成角的大小. 解: (1)如图所示,连接 B1C, 解: (1)如图所示,连接 B1C, 解: (1)如图所示,连接 B1C, 由 ABCD—A1B1C1D1 是正方体, 由 ABCD—A1B1C1D1 是正方体, 由 ABCD—A1B1C1D1 是正方体, 易知 A1D∥B1C, 易知 A1D∥B1C, 易知 A1D∥B1C, 从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角. 从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角. 从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角. ∵AB1=AC=B1C, ∵AB1=AC=B1C, ∵AB1=AC=B1C, ∴∠B1CA=60° . ∴∠B1CA=60° ∴∠B1CA=60° .. 即 A1D 与 AC 所成的角为 60° . 即 A1D 与 AC 所成的角为 60° A1D 与 AC 所成的角为 60° 即 ..
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(2)如图所示,连接 AC, BD,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, AC, (2)如图所示,连接 三 BD,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 题 型 AC, BD,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 异面直线所成的角 (2)如图所示,连接 AC, BD,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, (2)如图所示,连接 AC, BD,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, (2)如图所示,连接 AC, BD,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, (2)如图所示,连接 AC, BD,在正方体 ABCD—A B C D 中, AC⊥BD,AC∥A (2)如图所示,连接 1C1, 1 1 1 1 AC⊥BD,AC∥A1C1, AC⊥BD,AC∥A1C1, C1, AC⊥BD,AC∥A 1C1, AC⊥BD,AC∥A11C1, 的中点, AC⊥BD,AC∥A C , ∵E、F 分别为 AB、AD 的中点, AC⊥BD,AC∥A1 1 ∵E、F 分别为 AB、AD 的中点, ∵E、F 分别为 AB、AD 的中点, 分别为 AB、AD ∵E、F 分别为 AB、AD 的中点, ∵E、F 分别为 AB、AD 的中点, ∵E、F 分别为 ∴EF∥BD, AB、AD 的中点, ∵E、F ∴EF∥BD, ∴EF∥BD, ∴EF∥BD, ∴EF∥BD, ∴EF∥BD, ∴EF⊥AC. ∴EF∥BD, ∴EF⊥AC. ∴EF⊥AC. ∴EF⊥AC. ∴EF⊥AC. . ∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. ∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. ∴EF⊥A1C1. 1C1 ∴EF⊥A1C1.. ∴EF⊥A 1C1 所成的角为 90° ∴EF⊥A EF 即 A1C1 与 C1. 所成的角为 90° . ∴EF⊥A1 即 A1C1 与 EF 所成的角为 90° . 即 A1C1 与 EF 所成的角为 90° A1C1 与 EF . 即 A1C1 与 EF 所成的角为 90°. . 即 A1C1 与 EF 所成的角为 90° . 即 A C 与 EF 所成的角为 90° 探究提高 即 1 1 . 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移 的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移; 利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平 移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.
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变式训练 3

如图所示, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面是边长为 2 的菱形, ∠DAB =60° ,对角线 AC 与 BD 交于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平 面 ABCD 所成的角为 60° . (1)求四棱锥的体积; (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 解: (1)在四棱锥 P—ABCD 中,∵PO⊥平面 ABCD, 与 PA 所成角的余弦值. 解: (1)在四棱锥 P—ABCD 中,∵PO⊥平面 ABCD, 解: (1)在四棱锥 P—ABCD 中,∵PO⊥平面 ABCD, 解: ∴∠PBO 是 P—ABCD 中,∵PO⊥平面 ABCD, 解: (1)在四棱锥 P—ABCD 中,∵PO⊥平面 ABCD, (1)在四棱锥 P—ABCD ABCD 所成的角, 解: ∴∠PBO 是 PB 与平面 中,∵PO⊥平面 ABCD, (1)在四棱锥 PB 与平面 ABCD 所成的角, 解: (1)在四棱锥 P—ABCD 中,∵PO⊥平面 ∴∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∴∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∴∠PBO=60° , ∴∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∴∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∴∠PBO 是 PB ∴∠PBO=60° 与平面 ABCD 所成的角, , ∴∠PBO=60° , ∴∠PBO=60° , 在 Rt△AOB 中,BO=AB· 30° sin =1, ∴∠PBO=60° , ∴∠PBO=60° , , ∴∠PBO=60° 在 Rt△AOB 中,BO=AB· 30° sin 30° 在 Rt△AOB 中,BO=AB· 30° sin =1, 在 Rt△AOB 中,BO=AB· 60° =1, =1, ∵PO⊥OB,∴PO=BO· sin 30° tan 在 Rt△AOB 中,BO=AB· 30° 3, sin = 在 Rt△AOB 中,BO=AB· sin ==1, 在 Rt△AOB 中,BO=AB· 30°3, ∵PO⊥OB,∴PO=BO· sin = =1, tan 60° =1, ∵PO⊥OB,∴PO=BO· 60° 3, 1 tan ∵PO⊥OB,∴PO=BO· 60° 3, 3. tan = ∵PO⊥OB,∴PO=BO· 60° 3, tan 60° ∵底面菱形的面积 S=1 ×2× 60° 3, 3×2=2 ∵PO⊥OB,∴PO=BO· tan = 3, = ∵PO⊥OB,∴PO=BO· = 2 tan 1×2× 3×2=2 3. ∵底面菱形的面积 S=1×2× 3×2=2 3. 1×2× 3×2=2 3. ∵底面菱形的面积 S=2 1 ∵底面菱形的面积 S=2 ×2× 3×2=2 3. 1 1 ∵底面菱形的面积 S=2 ×2× 3×2=2 3. ∵底面菱形的面积 S=2 ×2× 3×2=2 3. 3× 3=2. ∵底面菱形的面积 S= ∴四棱锥 P—ABCD 的体积 VP—ABCD=1 ×2 22 3 1×2 3× 3=2. ∴四棱锥 P—ABCD 的体积 VP—ABCD= 1×2 3× 3=2. 1 ∴四棱锥 P—ABCD 的体积 VP—ABCD=3 ×2 3× 3=2. ∴四棱锥 P—ABCD 的体积 VP—ABCD=3 ×2 3× 3=2. 主页 =1 1 ∴四棱锥 P—ABCD 的体积 V

(2)取 AB 的中点 F,连接 EF,DF,如图所示. (2)取 AB 的中点 F,连接 EF,DF,如图所示. (2)取 AB 的中点 F,连接 EF,DF,如图所示. (2)取 AB 的中点 F,连接 EF,DF,如图所示. (2)取 AB 的中点 F,连接 EF,DF,如图所示. (2)取 AB PB 中点,∴EF∥PA, ∵E 为 的中点 F,连接 EF,DF,如图所示. ∵E 为 PB 中点,∴EF∥PA, ∵E 为 PB中点,∴EF∥PA, ∵E 为 PB为异面直线 DE 与 PA 所成的角(或其补角). ∵E 为 PB 中点,∴EF∥PA, ∴∠DEF 中点,∴EF∥PA, ∵E 为 PB 中点,∴EF∥PA, ∴∠DEF 为异面直线 DE 与PA 所成的角(或其补角). ∴∠DEF 为异面直线 DE 与PA 所成的角(或其补角). PA ∴∠DEF 为异面直线 DE 与 与 PA 所成的角(或其补角). 在 Rt△AOB 中,AO= 3=OP, 所成的角(或其补角). ∴∠DEF 为异面直线 DE 与 PA 所成的角(或其补角). DE ∴∠DEF 为异面直线 在 Rt△AOB 中,AO= 3=OP, 在 Rt△AOB 中,AO= 3=OP, Rt△AOB 中,AO= 3=OP, 6 ∴在 Rt△POA中,AO= 3=OP, 在 Rt△AOB 中,AO= 6,∴EF= 2 .6 在 Rt△AOB 中,PA= 3=OP, ∴在 Rt△POA 中,PA= 6,∴EF= 6.6. 6 ∴在 Rt△POA 中,PA= 6,∴EF= ∴在 Rt△POA 中,PA= 6,∴EF= 2 . 6 2 在正三角形 ABD中,PA= PDB 中,DF=DE= 3, ∴在 Rt△POA 和正三角形 6,∴EF= ∴在 Rt△POA 中,PA= 6,∴EF=22 . . 2 在正三角形 ABD 和正三角形 PDB 中,DF=DE= 3, ABD 和正三角形 PDB 中,DF=DE= 3, 在正三角形 ABD 和正三角形 PDB 中,DF=DE= 3, 在正三角形 由余弦定理得

在正三角形 ABD 和正三角形 PDB 中,DF=DE= 3, ABD 和正三角形 在正三角形DE2+EF2-DF2 PDB 中,DF=DE= 3, 由余弦定理得
由余弦定理得 2 由余弦定理得 cos∠DEF= 2 EF 由余弦定理得 2+EF22-DF222 DE +EF 由余弦定理得 +EF 2-DF 2 DE 2DE· -DF cos∠DEF= DE 2 cos∠DEF=6?2 2DE· 22 6 cos∠DEF= DE2+EF -DF 2 EF ? DE 2DE· 2 2DE·EF ? 3?2+? ? -?+EF -DF 3?EF cos∠DEF= ? 26 ? cos∠DEF=? 2 2DE· 46 ? 6? -?2DE· 66= 2. 2 ? 6?2 2 EF 2= =? 3?22+ ? ? 2 ? 3? +? ? -? 3? 2 EF 2 4 3? ? ? 3? 2 ? ?2 ???-? 3? 23 4 6 2 +? 2 6 26 4 ? 2? 2×??3×?2-? 3? 2 4 = 2. ??2 = 3? + = = = ?? 3?2+? 26? -? 3? 3 26= 4 .2. = = = 24 4 2 ?2?6 6 ? 33 4 2× 3× = 2× ?3×? 2 6 = 2 =4 2 . 4 . 2× 3× 2 与 PA 所成角的余弦值为 2. = = 2= 3 所以异面直线 DE 6 26 4 3 2 4 2× 3× 2× 3× 2与 PA 所成角的余弦值为 222 主页 所以异面直线 DE .

思想与方法
构造衬托平面研究直线相交问题

(5分)在正方体ABCD—A1B1C1D1 中,E,F分别为棱 AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1, EF, CD都 无数 相交的直线有________条.

在EF上任意取一点M, 直线A1D1与M确定一个平面, 这个平面与CD有且仅有1个 交点N, 当M取不同的位置就 确定不同的平面, 从而与CD有不同的交点N, 而直线MN与这3条异面直线都有交点.
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构造衬托平面研究直线相交问题

在A1D1上任取一点P, 过点P与直线EF作一个平面α, 因CD与平面α不平行, 所以它们相交, 设它们交于点Q,连接PQ, 则PQ与EF必然相交, 即PQ为所求直线. 由点P的任意性, 知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交.
批阅笔记

(1)本题难度不大,但比较灵活.对平面的基本性质、空 间两条直线的位置关系的考查难度一般都不会太大. (2)误区警示:本题解法较多,但关键在于构造平面, 但不少学生不会构造平面,因此失分较多.这说明学生还是 缺少空间想象能力,缺少对空间直线位置关系的理解.
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感悟提高
方法与技巧 1.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线 或点确定一个平面,再证其余直线 或点也在这个平面内(即 “纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线, 只要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理3可知 这些点在交线上,因此共线. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和 平面内不经过该点B的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线 不可能共面,从而可得两线异面.
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感悟提高
方法与技巧

3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通 过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决.根 据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶 点位置无关,往往将角的顶点取在其中的一条直线上,特 别地,可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点 或异面线段的端点.总之,顶点的选择要与已知量有关, 以便于计算,具体步骤如下: (1)利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条 同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上; (2)证明作出的角即为所求角; (3)利用三角形来求解.
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感悟提高
失误与防范

1.异面直线是不同在任何一个平面内的两

条直线,而不是分别在两个平面内.一定要理
解定义. 2.求异面直线所成的角要特别注意异面直 线所成角的范围是(0°, 90°].

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预祝各位同学, 2013年高考取得好成绩!

教师备课题库

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知识网络
空间几何体的结构 空间几何体 空间几何体的体积、表面积

柱、锥、台、球的结构特征 三视图与直观图的画法

点、线、面之间的位置关系

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知识网络

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要点梳理
1.平面的基本性质
名称 图示 文字表示 如果一条直线 上的 两点 在 一个平面内, 那么这条直线 在此平面内 符号表示

公理 1

A∈l, B∈l,且 A∈α, B∈α ?l?α

A ? ? , B ? ? ? AB ? ? .
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要点梳理
1.平面的基本性质
名称 公理 2 图示 文字表示 不在一条直线 过___________ 上的三点,有且 只有一个平面 如果两个不重合 的平面有一个公 共点,那么它们 有且只有一条 _____________ 过该点的公共直 线 主页 符号表示

公理 3

P∈α, 且P∈β ?α∩β=l且P∈l

要点梳理
1.平面的基本性质
公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么 它们有且只有一条过该点的公共直线.
(1) P ? ? ? ? ? ? ? ? ? l 且 P ? l .
(2) P ?? ? ? ? ? ? P ? l. ??? ?l ?
?

A?? ? ? ? (3) ? ? ? ? ? ? AB. B ?? ? ? ?
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?

P

l

要点梳理
2.空间两直线的位置关系

(1)位置关系的分类
有且只有一个公共点 没有 没有

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要点梳理
2.空间两直线的位置关系
(2)平行公理 互相平行 公理4: 平行于同一直线的两条直线_____________.

a

b
?

c

a // b ? ? ? a // c c // b ?

(3)等角定理 对应平行 空间中如果两个角的两边分别___________,那 么这两个角相等或互补.
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要点梳理
2.空间两直线的位置关系 (4)异面直线所成的角
b

b
b?
O

α

a

O

a?

α

a? a

①定义:设a, b是两条异面直线,经过空间中任一 锐角或直角 点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的_____________ 叫做异面直线a, b所成的角(或夹角). (0, π ] ②范围:_______. 2
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要点梳理
3.直线和平面的位置关系
位置关系 图示 符号表示

公共点个 数
无数个

直线l在平面α 内
直线l与平面α 相交 直线l与平面α 平行 主页

l?α

l∩α=A

1个

l∥α

0个

要点梳理
4.平面与平面的位置关系
位置 关系 两平面 平行

图示

符号表示

公共点个数

α∥β

0个

两平面 相交

a∩β=l
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无数个

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例1.正四面体ABCD中, E, F分别是棱BC, AD的 中点, CF, DE是一对异面直线,试作出异面直线 CF与DE的夹角. A A M B E
?DEM
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F D

F

N B
E
?CFN

D
C

C

A F B E C P D B E C
?FCP

A

F
D

?EDK

K
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【1】在四面体S-ABC中,SA⊥BC, 且SA =BC,E, F分别为SC,AB 的中点,那么异面直线 EF与SA 所成的角等于( C ).

A.900
C.450

B.600
D.300
E D

S
A

D F B

C
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【2】分别和两条异面直线相交的两条直线的位置 关系是( D ) A.相交 B.异面 C.平行 D.相交或异面

若两条直线与两条异面直线有三个交点,则相交; 若两条直线与两条异面直线有四个交点,则异面.
经过空间一点一定可作一平面与两异面直线都平行吗?

若该点在某一条直线上,则不正确.
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求异面直线所成的角的三个步骤:
①选点.即在两条异面直线的一条上选一个特殊 点(也可选其它点,如中点或题中的已知点) ②定面.就是利用选出的特殊点和要移动的线确 定一个平面(这面应尽量是多面体的面或简单 截面,这是关键的一步). ③作线.在确定的平面内,过特殊点作要移 动线的平行线,从而得出异面直线的角.
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解题是一种实践性技能,就象游泳、 滑雪、弹钢琴一样,只能通过模仿和实 践来学到它! ——波利亚 主页


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